齊明點在顯微物鏡組里的應用

胡長城

摘 要：利用費馬原理推導出球形透鏡的齊明點位置，并把齊明點應用于物鏡組上。在給定參數的條件下設計一個物鏡組，計算得出該物鏡組中第二個透鏡的曲面曲率半徑、凹凸組合類別、出射光的孔徑角和成像放大率。

關鍵詞：齊明點；物鏡組；放大率

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2017）6-0061-3

透鏡是由兩個折射球面組成的光具組，兩球面間是構成透鏡的介質，通常是玻璃。光經過兩個表面的折射形成會聚或是發散的效果。在光具組成像的過程中，要求物是傍軸條件。傍軸條件要求成像光束的孔徑小，這樣的限制在實際應用中往往行不通，比如高倍顯微鏡物鏡需要傍軸小物能以大孔徑成像，所以實際應用中往往要突破傍軸條件的限制，從而不可避免地會帶來幾何像差。球差和彗差是比較常見幾何像差，在透鏡的某些特殊點處可以消除球差和彗差。例如，物體位于球形折射面的球心處和齊明點處，成像不產生球差和彗差。本文根據費馬原理推導球形折射面的齊明點位置，并詳細討論了一道物理競賽題目中關于齊明點在顯微物鏡組中的應用。[1-2]

1 由費馬原理推導球面的齊明點位置

對單個折射球面齊明點的位置的求解：如圖1（a）所示，設真空中放置一個半徑為R、折射率為n的玻璃球。在軸線上有一點P，在此放置一個小物體，物體向上發出的任一條光線經過球面折射后反向延長線嚴格交于一點Q，下面通過費馬原理計算P和Q的位置。

因為所成的像是虛像，所以段的光程是虛的。物點P與像點Q之間的光程為：

（PAQ）=n-=n-（1）

由費馬原理可知物點與像點之間的光程是定值，則光程（PAQ）與γ無關，即：

=0

=+=0，即

[n22（2+R2）-2（2+R2）]+（2n22-

22）cosγ=0（2）

（2）式對任意γ恒成立，整理得：

n22（2+R2）=2（2+R2），

2n22=22

因≥0，故得兩組解：

==0或=，=nR。第一組解對應物體位于球心的情形，第二組解對應球面的齊明點位置。

上面討論的是折射率為n的介質球的齊明點。假設在折射率為n的介質中有半徑為R的空氣球，如圖1（b）所示。那么這個空氣球的齊明點的位置應與上述討論的位置相同，但物和像的位置與折射率為n的介質球相反，即物放置在距離空氣球的球心nR處，成像在距空氣球的球心處。

（a） （b）

2 齊明點應用于透鏡組的論述

下面的論述是基于一道物理競賽習題，取自競賽題目的相關參數。題目的部分內容如下：

設某顯微鏡的物鏡是折射率為n1，半徑為R1的半球，其平底面和物同浸在折射率與物鏡材料相同的油中，物即位于一個齊明點上。

①試設計物鏡組第二個透鏡的兩球面的半徑R2和R3，使其物、像也是齊明點。已知該透鏡材料的折射率為n2，透鏡前球面與第一個透鏡后球面的間距為d1，透鏡中央厚度為d2；

②估算從第二個透鏡出射的光的孔徑角β；

③求經兩個透鏡成像后的放大率k；

④設n1=1.5，n2=1.6，R1=3 mm，d1=2.0 mm，d2=1.5 mm，求R2，R3，β和k的數值。

分析如下：物體在球形折射面的球心處時不產生球差和彗差，物體在齊明點處也不產生球差和彗差。無論物體位于球心還是齊明點均要求光照射在凹球面，所以凸透鏡的形狀不能是雙凸形的凸透鏡，只能是凹凸形的凸透鏡。題目中的顯微物鏡的配置如圖2所示。設半徑為R2的折射曲面為∑2，半徑為R3的折射曲面為∑3。原題目的解答中說明物s放在半徑為R1的半球的齊明點上（作為已知條件給出），折射之后的像s'成在其另一個齊明點上，同時s'位于曲面∑2的中心處，光線無折射地射入透鏡中，成像在原來的位置，這個位置正好是曲面∑3的齊明點，折射成像于另一個齊明點上。但是解答中沒有明確說明這樣成像的理由，本文進行了詳盡的論述。

如圖3所示是構成凹凸透鏡的球面配置，為保證半徑為R2的球在左側，半徑為R3的球在右側，且兩個球相交構成凹凸形的透鏡，則兩個球面的半徑應滿足存在條件：

2R2+d2>2R3（3）

第一步：確定R2、R3的數值，分三種情況討論如下。

設s'是∑2面的物，s'的像s''是∑3面的物

① 圖4中s'位于∑2面的齊明點上，s'的像s''位于∑3面的齊明點上

s'到∑2面的頂點O2的距離為n1R1+R1+d1。同時s'位于∑2面的齊明點上，這時等效為在折射率為n2的介質中，有半徑為R2的空氣球，s'到O2的距離為n2R2+R2，則n1R1+R1+d1=n2R2+R2，代入數據求得R2≈3.65385 mm。s'經過∑2面成像于s''，s''到∑3面的頂點O3的距離為R2+R2+d2，同時s''位于∑3面的齊明點上，則R2+R2+d2=R3+R3，代入數據求得R3≈4.57692 mm。R2和R3的數值代入存在條件（3）中，滿足①這種情況的凹凸透鏡不存在。

② 圖4中s'位于∑2面的齊明點上，s'的像s''位于∑3面的球心點上

同情況①，∑2面的半徑R2≈3.65385 mm。s'的像s''位于∑3面的球心上，則R3=R2+R2+d2，代入數據得R3≈7.43750 mm。R2和R3的數值代入存在條件（3）中，滿足②這種情況的凹凸透鏡不存在。

③ 圖4中s'位于∑2面的球心點上，s'的像s''位于∑3面的齊明點上

s'到∑2面的頂點O2的距離為n1R1+R1+d1，同時s'位于∑2面的球心處，則R2=n1R1+R1+d1，代入數據得R2=9.50000 mm。s'發出的光線無折射地進入∑2面內，s'的像s''位于∑3面的齊明點上，則R2+d2=R3+R3，代入數據解得R3≈6.76923 mm。R2和R3的數值代入存在條件（3）中，滿足③這種情況下的凹凸透鏡存在。

第二步：確定放大率k，也同樣分三種情況討論如下

物s放在半徑為R1的半球的齊明點上，經過半球折射成像后的橫向放大率

k1=n

① 圖4中s'位于∑2面的齊明點上，s'的s''像位于∑3面的齊明點上

s'位于∑2面的齊明點上，經過∑2面折射后的橫向放大率

k2==

s''位于∑3面的齊明點上，經過∑3面折射后的橫向放大率 k3==n

顯微透鏡組的放大率

k=k1k2k3=n··n=n

代入數據求得這種情況下顯微透鏡組的放大率為2.25。

② 圖4中s'位于∑2面的齊明點上，s'的像s''位于∑3面的球心點上

s'位于∑2面的齊明點上，情況同①，則

k2=

s''位于∑3面的球心上，經過∑3面折射后的橫向放大率

k3==n2

顯微透鏡組的放大率

k=k1k2k3=n··n2=

代入數據求得這種情況下顯微透鏡組的放大率為1.41。

③ 圖4中s'位于∑2面的球心點上，s'的像s''位于∑3面的齊明點上

s'位于∑2面的球心上，經過∑2面折射后的橫向放大率

k2==

s''位于∑3面的齊明點上，經過∑3面折射后的橫向放大率

k3==n

顯微透鏡組的放大率

k=k1k2k3=n··n=n·n2

代入數據求得顯微透鏡組的放大率為3.6。經過上述分析發現， 情況③下的顯微透鏡組的放大率最大。

第三步：確定出射光的孔徑角β

如圖2所示的配置情況下，出射光的孔徑角為β=tan-1（）≈tan-1（）（忽略透鏡邊緣的厚度），其中tanβ1==，s's''=n2R3-，代入數據得β=19.97°。如果不忽略邊緣厚度，根據幾何關系可求得β≈20.28°，這里就不詳細論述了。

物體在球形折射面的球心處或是齊明點處，不產生球差和彗差。無論物位于球心還是齊明點均要求光照射在凹球面，所以凸透鏡的形狀是凹凸形的凸透鏡。進一步分析發現，按原題目中提供的參數設計齊明透鏡組，只有物s的像s'位于∑2面的球心，且∑2面的球心是面的齊明點時，才能構成凹凸透鏡；并且通過定量計算發現，在這種情況下，對應的顯微透鏡組的放大率是最大的。

參考文獻：

[1]趙凱華.光學[M]. 北京：高等教育出版社，2004：76-85.

[2]鄭永令.國際物理奧賽的培訓與選拔[M].上海：復旦大學出版社， 2006：31-31.

[3]韋超，周光忠.光學成像試題賞析[J].物理教學探討，2006，24（14）：12-14.

（欄目編輯 王柏廬）