數學分析思想在高中數學解題中的應用探究

摘要：本文針對數學分析思想在高中數學解題中的應用進行分析，從泛函分析思想、調和分析思想及復分析思想三個角度展開論述。數學分析思想與高中數學解題融合，有助于學生提高解題效率，提高解答能力。

關鍵詞：數學分析思想 高中數學解題 數學問題

數學分析思想是高等數學思想的重要組成部分，對學習數學知識與解答數學問題有著較為積極的作用。數學分析的思想主要包含泛函分析思想、調和分析思想及復分析思想等，其體現了數學的多元化特征。在高中數學學習的過程中，高中生需要加強數學分析思想的研究，將具體的數學問題與數學思想相結合，尋找合適的數學分析方法，提高自身數學學習能力。

一、泛函分析

泛函分析是現代數學分析的重要內容之一，對現代數學思維的發展產生了重要影響，也直接影響了現代科學技術的發展[1]。泛函分析思想主要涉及函數空間、非交換幾何、非線性泛函分析以及算子代數等內容[2]。泛函分析是通過數學分析的方式，融合高等代數、空間解析幾何等知識，整合數據，它是發現數學知識之間相互關聯的重要途徑，有助于學生提高數學解答能力。

在《正弦函數的圖像和性質》一節的學習中，我們可以在回顧分析三角函數線的概念及作法基礎上，繪制正弦線、余弦線。以“比較sin125°與sin145°的大小”問題為例，設任意角α的終邊與單位圓相交于點P（x，y），過點作x軸的垂線，垂足為M，則有向線段MP為角α的正弦線，有向線段om為角α的余弦線，據此繪制圖1。

描點作圖發現 不能得出該點的精確位置，已知一個角α，應用幾何方法可得對應的正弦值sinα大小。我們可在此基礎上，進一步分析并以幾何方法繪制點 。數學分析可將幾何與代數相互融合，并在點、線、面融合的方式下，進一步發現數學問題中的規律，掌握答題方法。

二、調和分析

調和分析是現代分析數學的核心內容之一，華羅庚先生認為，將已知函數展開為Fourier級數的運算就叫做調和分析[3]。調和分析在空間理論研究中應用范圍較廣，特別是將拓撲理論推廣到VMO空間中，其對拓撲學研究帶來了較大影響。

在《曲線和方程》一節中，針對直角坐標系中直線與方程之間的關系，可以通過建立直角坐標系的方式進行分析。以問題“設M為直線上任意一點，則點的橫縱坐標相等，即x=y或x-y=0.圓心為C（0，0） ，半徑為r的圓C的方程為x2+y2=r2”為例，設M（x0，y0）為圓C上任意一點，則它到圓心O的距離等于r，滿足方程 ，即 ，（x0，y0）是方程x2+y2=r2的解。

數學知識相互融合，有助于學生發散思維，形成曲線與方程融合的思維。并可使學生進一步認識“曲線的方程”、“方程的曲線”等概念，進而明確方程曲線的意義。

三、復分析

代數與分析學科中，復數域通常為基礎數學的重要內容，復變函數的微積分理論即為經典復分析的主要內容之一，而Cauchy積分理論，復Riemann幾何理論等均為常見的數學理論[4]。復分析分為復變量函數論、多個復變量函數論，在圓柱體等幾何圖形研究中應用廣泛，它是現代數學研究的重要輔助工具。

比如《三視圖》一節，為降低立體圖形的分析難度，我們可以在三維直角坐標系中對其進行多個方位的投影，并將三個投影放置在一個平面上。

長方形的三視圖如圖2所示，將三個投影圖放在一個平面內，按一定的布局排列，可得長方體的三視圖。幾何體在三視圖中必須畫出其輪廓線，能夠看到的線即為實線，不能看到的線即為虛線。同時需要保證比例尺寸一致，不能出現比例失調的問題。原圖形需要嚴格控制尺寸，在三視圖中也需要明確標記，且應用尺寸線通過細實線標出。而原幾何體的一個面上的線，在三視圖中則不能體現。具體如下圖3所示：

從不同的角度出發可以得到不同的三視圖。故而在數學分析過程中，我們需要從多個角度進行分析，從一個幾何體的三視圖出發，進行分析。以問題“畫出圓柱，圓錐，圓臺的三視圖”為例，我們可以從最簡單的旋轉體入手，在繪圖的過程中逐步培養空間想象能力、邏輯思維能力。

四、結語

解答高中數學問題的過程中，數學分析思想對培養數學思維、提高解答能力等均能產生重要影響。解答數學問題需要將復分析思想、調和分析等融入其中，實現代數與幾何知識的融合。并通過大量的數學解答訓練，找到適合自己的解題思路。在新課程改革背景下，學生對于數學知識需要靈活應用，綜合各類解題思路、解題方法，從多個角度分析，并在多個解答模式下深入理解數學原理，不斷提高解題能力。

參考文獻：

[1]胡曉明.關于高中數學解題教學中的變式訓練的相關研究[J].中國校外教育，2016，（22）：59-60.

[2]李昀晟.化歸思想在高中數學解題過程中的應用分析[J].數學理論與應用，2015，（04）：124-128.

[3]麥康玲.數學分析思想在高中數學解題中的應用[J].科教文匯（下旬刊），2015，（05）：110-111.

（作者簡介：李源起，沈陽市第二十中學，高中學歷。）