多表面LED二次光學透鏡設計的偏折能力分配法

周士康，陳春根

(上海三思科技發展有限公司，上海 201100)

引言

LED透鏡都至少有兩個光學表面。但大多數LED透鏡的計算方法只能計算單個自由曲面的形狀。如偏微分方程法[1]、剪裁法[2]、間斷法[3]、連續法[4]，這些方法都是把其中一個表面做成球面的，這樣就只需設計一個表面了。這樣做的缺點是一個面的“負擔”太重了，光學設計質量必然下降，有些設計任務則完成不了。光通量線方法提出了同時設計兩個表面的方法[5]，用分配每個面“負擔”的方法解決了這個問題。

這種方法還可以推廣到多透鏡即兩個以上透鏡的同時計算。

我們可能首先想到用多透鏡會使光線損失增加，對正入射光線來說，由于表面多了，損失是會變大，但對斜入射光線來說，多透鏡可能會反而減少光線的反射。我們知道，所有的光學表面都無法避免菲涅爾反射[6]，而且是入射角越大反射越多。在垂直入射時一般材料的表面反射率一般是4%左右，但入射角變大時，其反射率也變大。以材料折射率為1.5為例，射向透鏡的光線當入射角為60°時反射率為10%。射離透鏡的光線反射比射向透鏡的反射更多，當入射角為30°時反射率就達到10%了，大角度時甚至會出現全反射。這說明反射率是應該考慮的重要問題，但已往的LED透鏡光學計算中很少注意這一問題。這也是優秀的光學設計不采用大的入射角的原因。LED的透鏡一般都是單個透鏡，這樣在要求偏折光線比較大的情況下，透鏡的曲率變化就必須比較大，也就是說在透鏡的邊緣部分其入射角都會比較大。從菲涅爾反射定律知道，入射角度越大則反射越多。如果做成多透鏡，雖然反射面增加了，反射也增加了，但由于面多了，每個面“擔負”偏折光線的“責任”也小了。且這些面可以做成比較平坦，它們的菲涅爾反射也會在一定程度上減少。

另一方面，更重要的是，作為菲涅爾反射光學系統中雜散光的重要來源，菲涅爾反射的減少將降低雜散光的水平。

第三個好處是透鏡的總重量會比單透鏡大大減少。這在大口徑透鏡的情況下特別重要。一般可以減少重量40%。

第四個好處是減少注塑透鏡的變形。LED透鏡多數是注塑成形的，而大口徑LED透鏡不但重量大，而且中心和邊緣的透鏡厚度差也大，而零件厚度差大是注塑后變形的重要原因，這在大口徑LED透鏡中是一個嚴重問題。若使用多透鏡則透鏡的厚度差變小，變形也會變小。

多透鏡也有明顯的缺點，如正入射光線總反射多、結構復雜等，但從以上這些分析知道，在某些情況下將LED的透鏡設計成多透鏡組是有好處的。這就要求設計者做出合適的選擇。

當然，多透鏡另外一個缺點是在設計上將比單透鏡更困難，但本文的方法可解決這一問題。本方法稱為“偏折能力分配法”。簡單說就是把對光線進行偏折的要求分配到每個表面。本方法還可以在不改變配光的情況下改變透鏡的形狀以適應不同設計的需求。

1 光通量線方法計算透鏡形狀

習慣上偏折角這概念用得比折射角少，但在本文中用偏折角卻比較合適。偏折角被定義為光線的入射角和折射角之差。每個面都會引起光線偏折，各面引起的所有偏折角的和就是LED二次透鏡的總偏折角。

本文的計算是基于非成像光學逆向計算自由曲面形狀的光通量線方法[5]，其步驟可以結合圖1簡述如下：

圖1 光通量線方法示意Fig.1 Schematic diagram of light flux ray method

1)把LED的光強分布按能量等分為n份，分割線就是透鏡的n條入射線。n越大計算越精確，但這里簡化為n=8。圖1的左方給出LED的8條光通量線。它們是把LED的光通量分成相等的8份而求得的，代表的是方向。這8條入射線構成一個n=8的角度數列。

2)把照明的要求轉換為能量在像面上的分布，不難求得透鏡的n條出射光線角度數列，與入射線的數列一一對應。圖1是以平行光輸出為例的光通量線。

3)由上述n個“數列對”分別用折射定律求得n個“小面”。

4)連接這n個小面構成透鏡表面。當n很大時就是一個平滑的透鏡表面。

但是，以上的方法計算的是一個表面，這就相當于一個實際透鏡的第2個面，而其第1面是必須是一個不對光線起偏折作用的球面。由于只有一個面，其偏折光的“負擔”重，光線的入射角度很大。下面介紹如何讓每一個面的“負擔”減輕。

在求得透鏡的入射線和出射線數列后，就求得了n個偏折角。把這n個偏折角按權重分隔成m份，m為透鏡的表面數目，這就得到了個角度，也就是每個面前后的入射角和出射角。然后用文獻[5]所述的光通量線方法可以一次性求得m×n個小面。當n足夠大時就可得到平滑表面的透鏡。這里m=2,4,6，…，就對應于單透鏡、雙透鏡、三透鏡等。下面還將看到，權重的給定方法還會影響透鏡的形狀。

下面以單透鏡(m=2)為例用圖形來簡單說明在平均分配的情況下的偏折能力分配法。圖2中左邊的放射狀線為從LED發出的光通量線，右方水平線為照明方的光通量線，本例中仍令n=8并以平行光出射為例。虛線與水平線的夾角就是偏折角，把這8個角再用8條點劃線等分，這就得到了第3個角度數列，這就是透鏡內部光通量線的角度。

圖2 偏折角及偏折能力分配Fig. 2 Bending angle and distributing the bending light capacity

由這三個數列就可以按文獻[5]的方法同時求得兩個面n=8時的各8個小面的方向和位置，如圖3所示?？梢悦黠@地看到，其光線的入射角比圖1的小多了。

圖3 單透鏡的計算結果Fig.3 Calculating result of single lens

2 偏折能力分配法計算多透鏡表面形狀

偏折能力分配法設計多透鏡的關鍵步驟就是給定每一個表面的偏折能力的權重，權重越大，則經過此面后的光線偏折越多。

2.1 雙面單透鏡的計算

令一個單透鏡的兩個表面的偏折能力的權重分別為C1和C2，兩個面把所有光線分成了三部分，每部分都有n條光線，它們的角度為

θ1i,θ2i,θ3i(i=1，…，n)

(1)

其中：θ1i(i=1，…，n)為從LED發出的n條光線，由第1節的方法已經求得。θ(m+1)i(i=1，…，n)是最后一個面即第m面的出射的n條光線的出射角，也就是為滿足照度分布而計算出的光通量線角度，也是已知的。按照偏折能力權重的定義，我們有

(2)

對n個i都成立。這樣可以得到

(3)

這就得到了所有光通量線的角度。當兩個面的權重相等時可得：

(4)

即等權重時θ2為總偏折角的角平分線。圖3的情況實際上就是單透鏡用等偏折角分配計算得到的例子。

2.2 多透鏡的計算

推廣到多透鏡的情況，設表面數為偶數m，令m個面的偏折力的權重分別為

C1,C2,C3，…，Cm

(5)

每兩個面之間的第i條光線角度為

θ1i,θ2i,θ3i，…，θ(m+1)i

(6)

其中，只有θ1i和θ(m+1)i為已知。由于本文的權重定義為對偏折角的權重，因此各面的單位權重引起的偏折角相同，即

(7)

式(7)對所有的i都成立。這樣可以得到

(j=2，…，m,i=1，…，n)

(8)

許多情況下我們可令各面的權重相等，此時，把偏折角平分到每個面，則式(8)可簡化為

(j=2，…，m,i=1，…，n)

(9)

多透鏡的公式包含了單透鏡，也就是當m=2時，式(8)和式(9)分別變為式(3)和式(4)。

計算m個表面形狀得到n×m個小面的方法與上述兩個表面時相同。

由于上述權重出現在比例式中，以上各面權重不需要歸一。更有意思的是權重并不需要都是正數，也就是說允許“負”權重，其物理意義是光線反向偏折。下面第4節將介紹權重的大小和正負對透鏡形狀有很大影響，這種正負權重的設置方法也是偏折能力分配法的魅力所在。

3 無影燈雙透鏡的設計

LED的手術無影燈相比傳統的鹵素燈或環形節能燈有許多優點，越來越多的廠家開始生產LED的無影燈。由于無影燈要在一米遠的位置形成一個最小半徑只有0.05 m的光斑，其半光束角只有3°，這對LED是很高的要求。先估算透鏡的大小，此時用一個超越幾何光學的原理的光學擴展量(Etendue)來估計口徑是很合適的。按照Etendue原理，n2πR2sin2θ在光學系統中是一個不變量，其中n為折射率，R為半徑，θ為光束角。這意味著要達到的光束角越小則透鏡的口徑應該越大，這是任何光學系統都不能違反的原則。對LED為Nichia219的光源，用Etendue原理估算可得其透鏡直徑應該達到40 mm以上。

按前文的說明，對這樣的透鏡，做成雙透鏡是一個合適的選擇。令四個面的偏折能力相等，按照上述方法計算的雙面單透鏡結果如圖4所示。為了較清晰地顯示光線走向，計算時取較少的光通量線數目n=100。

圖4 無影燈雙透鏡計算結果Fig.4 Calculating result of double lenses of surgical luminaries

實際加工后的透鏡組見圖5。測量結果表明，雙透鏡的無影燈模塊的光斑照度的“飽滿度”、中心照度、光斑直徑、照明深度、無影度等都能很好地滿足國標的要求[7]。

圖5 LED無影燈雙透鏡模組Fig.5 Double lenses module of LED surgical luminaries

透鏡總重量為12 g，與同樣照明要求時設計的單透鏡相比重量減少了40%。而且由于中心和邊緣的厚度差相對較小，其變形也比單透鏡小得多。而且由于入射角小了，雜散光也少，照度分布也比較“干凈”。雖然多了兩個面，其表面反射和安裝復雜性也會增加，但得到的光學性能的提高還是十分吸引人的。有關LED無影燈的設計方法見文獻[8-9]中的介紹。

我們還計算了同樣條件下的雙面單透鏡[圖6(a)]和六面三透鏡[圖6(b)]的結果，這里取n=20。單透鏡雖然簡單，但單面菲涅耳反射大，重量大，注塑變形大，而三透鏡雖然菲涅耳反射小，但總的小角度反射大，加工安裝復雜。也可以不用全部透射式的，而是設計成內反射透鏡(TIR)，但結果是尺度、雜散光、重量和變形都較大。綜合考慮結果，我們還是采用了雙透鏡設計。

圖6 無影燈單透鏡和三透鏡的計算結果Fig. 6 Calculating result of single and triplet lenses of surgical luminaries

4 用偏折能力權重控制透鏡形狀

前面已經提到，選擇透鏡兩個面不同的偏折力權重C1,C2可以改變兩個面的形狀。為簡單起見，以下還是以單透鏡為例。圖7以輸出平行光為例給出了六種不同偏折力權重的透鏡的計算結果，其中對應的偏折力權重分別為

(a)C1=-1，C2=4；

(b)C1=0，C2=1；

(c)C1=1，C2=4；

(d)C1=1，C2=1；

(e)C1=1，C2=0；

(f)C1=4，C2=-1。

計算方法都相同，只要簡單地修改C1，C2的值就可以修改透鏡的形狀而不改變照明的要求。

圖7 用偏折能力權重控制透鏡形狀Fig.7 Control lens shape by change the weight of bending light capacity

例如，情形(d)是常用的等權重的結果。情形(b)是C1=0的計算結果，相當于經過第1面的光線不偏折，也就是第1面為球面。情形(e)是C2=0的計算結果，在本例的平行光輸出的要求下，得到的結果是第2面為平面。很有意思的是權重可以取負值，如情形(a)是入射面權重為負值，其結果是入射后的光線向反方向偏折。而情形(f)是出射面權重取負值，其結果是經過該面后面的光線向相反方向偏折。

這樣，在同樣的照明要求下，針對不同的裝配要求，設計者有了更多的透鏡形狀的選擇余地。

[1] DING Y, LIU X, ZHENG ZR, et al. Freeform LED lens for uniform illumination[J]. Opt Express, 2008, 16: 12958-12966.

[2] RIES H, MUSCHAWECK J. Tailoring freeform lenses for illumination[J]. Proc SPIE, 2001, 4442:43-50.

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[6] 李軍依，王淑穎，李進，等. 菲涅耳公式的研究及數值模擬[J]. 大學物理實驗，2016, 29(2):34-37.

[7] 國家醫藥行業標準:YY 0627—2008[S].

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[9] 上海三思科技發展有限公司. 可變光斑LED無影燈的光學設計方法：201210165923.3[P].2017-04-19.