陸宗斌
在《微積分學中一個重要函數》一文中,我們對第一個重要極限
中的函數 進行了一系列的討論,指出了一些顯著的特點,但也掛一漏萬,對于導數的計算也沒有展開討論,本文就進行這方面的討論。
由于 的定義域為 ,所以由求導公式、法則可以得:
……①
顯然,除了 點外, 處處可導, 連續。
作為 的一個可去間斷點,我們可以補充定義后使其成為連續函數:
這樣就有了 在 點處作為連續函數的導數問題,下面就從多個角度進行討論:
1 幾何圖象觀察(上文中有圖象)
通過對 圖象的觀察,可以猜測: 在 點處不但是連續的,而且是光滑的,加上對稱性, 在 點處應該有水平切線,即 。
2 直接定義計算
因為 不是初等函數了,所以由導數的定義計算:
……②
可以看到,②式這一極限計算僅用代數式的恒等變型是相當困難的,應采取其他辦法。
(1)等價代換法 由第一個重要極限可知:當 時, ,于是
②式
似乎簡單之極,但這是錯誤的做法!一則等價代換不適用于有加減運算的函數極限;二則,假設這個方法及計算是正確的,那么就有
即, 是比 高階的無窮小,也就是 了,顯然假設錯誤。
(2)羅必塔法則 兩次使用羅必塔法則
②式
3 利用連續性計算
利用 時的導函數 ,取 時①式的極限:
注:上式中第三個等號是通過羅必塔法則計算而得到的。
通過上面的計算,我們可以得到:
顯然, 在 點處是連續的。
那么, 二階導數呢?更高階的導數呢?另外等價代換時為什么出錯?羅必塔法則使用正確合理嗎?……,使用冪級數就能很好地說明及解決這些問題。
4 利用冪級數進行討論
正弦函數有冪級數展開式:
等式兩邊同除 后,左邊就是 ,這時 不能為 ,而右邊冪級數中 ,原因是 為 的可去間斷點,冪級數恰好去除了這個間斷點,所以,的求導就成為逐項(冪函數的)求導
(若增加余弦函數的冪級數展開式,我們可以將①式進行展開,其結果與上式一樣。)
所以 ,計算十分簡單。
同時, 的高階導數計算也容易多了
……
另外,等價代換問題也可以解釋了,正弦函數及其展開式兩邊同減
在由②式相關的下面極限中
當 時,為無窮小量;當 時,等于 ;當 時,為無窮大量。
是一個與 同階的無窮小量。說明 與 是有差距的,但誤差不大,等價無窮小相減后會成為(比自身)更高階的無窮小,也就是誤差更小,但仍有差距。如果代換后成為直接抵消就是沒有了差距,所以前面的計算是巧合,等價無窮小代換是有條件的。
可以看到, 與 是最簡單也是最熟悉的函數,僅作一個相除而得到的函數 ,諸多性質發生了變化,引出的許多問題及解決方法貫穿整個微積分學,用級數解釋無窮小等價代換、解決求導問題(包括高價導數)、解決可積而積不出問題、…,都十分簡單、方便。
(作者單位:蘇州健雄職業技術學院)