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考慮軟黏土率效應和強度軟化的圓柱擴孔理想彈塑性解析解

2018-06-25 01:47田攀周航尹鋒李建斌
關鍵詞:彈塑性孔壁軟化

田攀 ,周航 ,尹鋒 ,李建斌

(1. 重慶大學 土木工程學院,重慶,400045;2. 重慶大學 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室,重慶,400045)

圓柱孔擴張理論自1972年VESIC[1]將其用于樁基承載力問題之后,便在巖土工程領域包括土體原位試驗、隧道開挖、錨桿和樁基礎承載力等實際問題中得到了廣泛的應用[2]。BUTTERFIED等[3]提出了平面應變條件下的柱孔擴張理論;蔣明鏡等[4]基于統一強度理論和體積平衡原理,研究了應變軟化Tresca材料的擴孔問題;賈尚華等[5]研究了砂土中柱孔擴孔理論中的擴孔壓力與擴孔半徑分布分析;肖昭然等[6?7]研究了飽和土體中圓柱孔擴張問題的彈塑性解析解;鄒金峰[8]基于塑性力學大變形理論,推導了柱孔和球孔擴張彈塑性解析解,并利用該解析解計算了飽和土體的劈裂灌漿壓力;章定文等[9?11]研究了不同初始條件下的柱孔擴張彈塑性解析解。在實際工程問題中,常見的飽和軟黏土土在擴孔作用下通常表現為Tresca材料特性[12]。EINAV等[13]分析樁體貫入試驗中的貫入阻力發現:由于樁體剛度和周圍土體剛度相差巨大,從而強大的擠壓作用將會使樁周土體實際的應力應變關系與理想的Tresca應力應變關系有差別,呈現出時間效應;DAYAL等[14]根據拉伸試驗得出土體的峰值強度比土體強度高5%~20%,呈現出應變率效應;梁發云等[15]研究了Tresca材料考慮應變軟化特性的擴孔解析解?;谝陨戏治隹芍?,雖然基于Tresca屈服準則的擴孔理論有很多,但是目前的解答均未考慮土體的率效應和土體強度軟化作用,為此,本文作者提出一種考慮土體應變率和強度軟化的擴孔理想彈塑性解。

1 理論模型的建立

1.1 基本假設

1)圓孔周圍土體為各向同性的飽和土體,土體初始各向同性應力為σ0。

2)彈性區土體應力應變關系服從胡克定律。

3)柱孔擴張服從平面應變。

4)對于不排水的飽和黏土,在孔擴張過程中,土體的體積應變始終為0。

5)孔洞邊界變化率均勻變化。

圖1所示為無限飽和土體中柱孔擴張示意圖。

1.2 方程的建立

1.2.1 塑性區應力

柱孔擴張理論下的應力平衡方程為

式中:σr和σθ分別為極坐標系下的徑向應力以及切向應力;r為塑性區半徑。

理想彈塑性Tresca屈服條件為

式中:su為不排水抗剪強度。

將式(2)代入式(1),平衡方程改寫為

圖1 柱孔擴張Fig. 1 Cylindrical cavity expansion

根據基本假定,在塑性區無體積變化,即

將式(4)兩邊同時對時間求導得

式中:r0為初始塑性區半徑;a0和a分別為初始圓孔半徑和擴孔后圓孔半徑,ZHOU等[16]指出貫入儀器直徑為初始圓孔直徑,而貫入儀器直徑為40~150 mm,故取初始圓孔直徑a0=100 mm;和分別為徑向坐標的變化率和孔洞邊界的變化率,取

在塑性區的環向應變同時符合指數原則:

將式(4)和(5)代入式(6)得

EINAV等[13]指出土體抗剪強度會受到土體應變率和土體強度退化的影響,存在如下關系:

式中:ξ為在高斯點處的累積塑性剪應變;su0為初始剪切強度;μ為應變率系數,且BISCONTIN等[17]指出μ為0.05~0.30;為最大剪應變率的絕對值;為參考點剪切應變率;ξ95和δrem為強度軟化系數,其中δrem為土體靈敏度的倒數;ξ95為土體強度退化到95%的累積塑性剪應變。

累積塑性剪應變ξ為

由于孔擴張過程中土體不排水(體應變為0),從而有εr=-εθ,因此,ξ可以寫成

將式(4)和(6)代入式(10)得

在彈塑性交界處塑性剪應變ξb為

由式(12)可得:塑性區半徑rb為

另外,最大剪切應變率同樣存在如下關系:

將式(7)代入式(14)化簡得

將式(11)和(15)代入式(8),su可改寫為

當r=rb時,將式(13)代入式(16)得彈塑性交界處su,b為

由式(17)可以確定彈塑性區交界處土體強度su,b,從而根據方程(13)可以確定塑性區半徑。

將式(16)代入式(3)后,積分變形可得

式中:i為正整數;A為常數。

當r=a時,由式(18)可得擴孔后的孔壁壓力σa為

將方程(16)代入方程(19),可得σa:

式(20)可以通過數值積分獲得解答。

由式(2)和(18)可得塑性區應力分布:

式中:a≤r≤rb。

式(21)和(22)同樣可以通過數值積分獲得解答。

1.2.2 彈性區應力

根據 CARTER等[18]對于不排水的飽和黏土中的擴張理論,其彈性解為:

2 理論模型的驗證

SHUTTLE[19]基于 Tresca屈服準則提出了一種理想柱孔擴張彈塑性解,為了驗證本文解的正確性,取μ=0,δrem=1,即在不考慮應變率和強度軟化下,本文解與Shuttle解對比結果如圖2和圖3所示。從圖2和圖3可知:在不考慮應變率和強度軟化情況下,本文孔壁正應力以及應力沿徑向分布解析解與 Shuttle解相吻合,驗證了本文解的合理性。

從圖 2可以看出:當μ=0.3,δrem=0.2,ξ95=50,G/su0=330,即考慮應變率和強度軟化影響時,由于受應變的影響,歸一化的柱孔孔壁壓力比未考慮時的要大,且孔壁壓力隨著擴孔半徑的增加,孔壁壓力可分為快速變化區、緩變區和衰減區3個區域:當擴孔半徑小于1.5倍初始半徑時,孔壁壓力處于快速變化區,當擴孔半徑超過 2.5倍初始半徑時,由于受強度軟化參數的影響,孔壁壓力處于衰減區,其余區域屬于緩變區,其孔壁壓力隨著擴孔半徑的增加緩慢變化。從圖3還可得到:離孔壁越遠,徑向應力越小,切向應力先減小后增加再減小,在塑性區其應力方向會發生改變,考慮應變率和強度軟化時的彈塑性分界位置位于未考慮應變率和強度軟化的左側,說明考慮應變率和強度衰減后,其塑性區范圍將會減小,同時在塑性區范圍內,其徑向應力和切向應力的強度變化率較未考慮時的要大。而在彈性區,考慮應變率和強度軟化的曲線與未考慮時的重合。由以上分析可知:土體應變和強度軟化將會影響擴孔理想彈塑性解析解。

圖2 歸一化的孔壁壓力隨著擴孔半徑的變化Fig. 2 Variation of normalized cylindrical cavity pressure with cavity expansion radial

圖3 歸一化的徑向應力和切向應力沿著徑向分布Fig. 3 Normalized radial and circumference stress along radial distance

3 參數分析

3.1 剛度系數G/su0對擴孔彈塑性解的影響

圖4所示為歸一化的圓柱孔壁壓力隨著剛度系數的變化,其中,μ=0.15,δrem=0.2,ξ95=10。從圖 4可以看出:隨著擴孔半徑增加,孔壁壓力先快速增加,然后緩慢變化,最后當擴孔半徑超過初始半徑的3倍時,孔壁應力保持不變;同時,隨著剛度系數G/su0的增加,孔壁應力將會變大,且變化幅度呈現減小趨勢。由于剛度系數反映土體抵抗剪切變形能力,說明土體抗剪強度將會對考慮應變率和強度軟化的擴孔孔壁應力造成影響。

圖4 歸一化的孔壁壓力隨著G/su0的變化Fig. 4 Variation of normalized cylindrical cavity pressure with G/su0

3.2 應變率系數μ對擴孔彈塑性解的影響

歸一化的孔壁壓力、徑向應力和切向應力分布隨μ的變化分別如圖 5和圖 6所示,其中,δrem=0.2,ξ95=50,G/su0=330。從圖 5可得:隨著應變率系數μ的增加,孔壁壓力也相應增大,孔壁壓力的增長幅度與應變率系數μ的增長幅度基本一致,同時,當應變率系數μ=0.3時,當擴孔半徑超過2.5倍初始半徑時,其位于衰減區的孔壁應力呈現下降趨勢,即孔壁處應力呈現應力軟化現象。另外,從圖5還可以得出:應變率系數μ越大,孔壁處強度軟化現象越明顯,且只有當擴孔半徑需要超過2.5倍初始半徑時,才能夠在塑性區呈現出這種現象。

圖5 歸一化的孔壁壓力隨著μ的變化Fig. 5 Variation of normalized cylindrical cavity pressure with μ

圖6 歸一化的徑向、切向應力分布隨μ的變化Fig. 6 Variation of normalized radial and circumference stress with μ along radial distance

從圖6可以得出:應變率系數μ越大,其徑向應力和切向應力的彈塑性邊界越靠近孔壁,即塑性區范圍將會越小。同時,分析塑性區應力可得:由于應變率系數μ將會提高孔壁峰值應力,且μ越大,孔壁塑性區相同位置處,其徑向應力和切向應力越大。分析塑性區應力變化率可得:μ越大,塑性區應力降低越快,即塑性區強度軟化越顯現,而位于彈性區的徑向應力和切向應力并不會受到應變率系數μ的影響。

3.3 強度軟化系數ξ95和δrem對擴孔彈塑性解的影響

圖7和圖8所示分別為歸一化的徑向應力和切向應力對強度軟化系數ξ95和δrem的影響,其中,μ=0.2,G/su0=330。從圖7可知:離孔壁越遠處,徑向應力越小,而切向應力先減小,后增大,再減小,同時切向應力在塑性區方向會發生改變。而隨著ξ95增大,在相同位置處,其應力也會變大。從圖7還可以看出:當ξ95超過1時,強度軟化系數ξ95對于應力沿著徑向分布的影響很小。ξ95越大,塑性區越小,但減小的弧度較小。由于ξ95越小,則累計塑性剪應力越小,也就是發生剪切變形越小,土體呈現壓縮變形,即造成在孔壁附近的切向應力較小,而徑向應力較大。此外,由于強度軟化系數越大,塑性區土體強度軟化越快,從而造成應力下降速度越快,而土體屈服強度在不變的情況下,因此,會造成塑性區半徑越小,從而越靠近孔壁。

從圖8可以看出:強度軟化系數越大δrem越大,其孔壁應力越大,同時塑性區范圍越小,應力減小得越快,強度軟化現象表現得更加明顯,同時δrem增長得越快,其對于應力分布的影響越小。由于δrem與土體靈敏度呈現倒數關系,從而可以推斷在柱孔擴張過程中,土體靈敏度將會影響土體中應力沿著徑向分布。

圖7 歸一化的徑向應力和切向應力分布隨ξ95的變化Fig. 7 Variation of normalized radial and circumference stress with ξ95 along radial distance

圖8 歸一化的徑向應力和切向應力分布隨δrem的變化Fig. 8 Variation of normalized radial and circumference stress with δrem along radial distance

4 結論

1)剛度系數G/su0越大,孔壁應力越大,應變率效應越明顯。

2)應變率系數μ越大,擴孔后,孔壁應力越大,塑性區范圍越小。應變率系數μ越大,強度軟化現象越明顯,同時,只有當擴孔半徑超過初始半徑2.5倍時,孔壁應力才會表現強度軟化現象。

3)強度軟化系數ξ95越大、塑性累積應變越大,強度衰減得越快,而強度軟化系數δrem越大,土體靈敏度越小,強度軟化現象越明顯。

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