單粒子未知態的分級量子通信

雷 佳, 柏明強, 周思齊, 廖 婷

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

量子糾纏是量子力學的核心,并且在量子信息處理中扮演著重要的角色.幾乎所有的量子通信任務都離不開量子糾纏,如量子隱形傳輸、量子稠密編碼、量子克隆、遠程態制備、量子秘密共享等.其中,量子秘密共享指的是發送者將一個量子秘密通過一定的方式拆分,然后將拆分后的量子秘密發送給不同的接收者,只有部分或所有接收者共同合作才能恢復最初的量子秘密信息.1999年,Hillery等[1]提出了基于GHZ態的量子秘密共享方案.隨后,人們又陸續提出利用Bell態、W態、Cluster態及多粒子糾纏態等作為量子信道的量子秘密共享方案[2-9].量子秘密共享又被叫做量子信息分離.

最初的量子信息分離方案對于量子信息分離都是對稱的,即接收者都需要其他所有的接收者協助才能恢復量子秘密,那么有沒有只需要一部分接收者協助就能恢復發送者的秘密呢？文獻[10-12]提出了分級量子分離方案.在該方案中,具有多名接收者,不同的接收者對量子信息的恢復能力不同.根據接收者對未知態的恢復能力,將他們分為2個等級.高級接收者只需要部分接收者協助就可以恢復發送者的未知態,低級接收者需要所有的接收者合作才能重構發送者的未知態.2013年Bai等[13]提出了以8粒子Cluster態作為量子信道的分級量子信息分離方案,2014年王作棟等[14]提出了二粒子分級量子信息分離方案,Peng等[15]提出了利用4粒子非最大糾纏態分級量子信息分離方案.

以上的分級量子信息分離方案,都是將接收者分為2個等級,那么能不能將接收者分為3個等級呢？于是本文提出了利用一個4粒子Cluster態和一個3粒子GHZ態[16-17]作為量子信道,實現任意單粒子未知態的三級量子通信方案.發送者Alice將單粒子未知態分發給6個接收者,接收者對未知態的恢復能力不同,其中,Bob只需要2個接收者協助就可以恢復Alice發送的未知態,Charlie1(Charlie2)需要3個接收者的協助才可以恢復Alice發送的未知態,David1(David2、David3)需要4個接收者協助才可以恢復Alice發送的未知態.

1 分級量子通信

假設Alice有一個單粒子未知態,形式為

|φ〉x=α|0〉x+β|1〉x,

(1)

其中,α、β是復數并滿足|α|2+|β|2=1.Alice作為分級量子通信中的發送者,發布一個秘密態|φ〉x給6個接收者,他們之間的量子信道由一個4粒子Cluster態和一個3粒子GHZ態構成.

|1100〉-|1111〉)1234,

(2)

其中，粒子x和1屬于Alice,粒子2屬于Bob,粒子3和4分別屬于Charlie1和Charlie2,粒子5、6、7分別屬于David1、David2、David3.此時系統總態為

|ψ〉x1234567=|φ〉x?|C4〉1234?|G〉567=

|011000〉+|011111〉)+

α|01〉(|100000〉+|100111〉-

|111000〉-|111111〉)+

β|10〉(|000000〉+|000111〉+

|011000〉+|011111〉)+

β|11〉(|100000〉+|100111〉-

|111000〉-|111111〉)]x1234567.

(3)

Alice向6個接收者發送一個秘密態|φ〉x使任何一個接收者在部分或全部接收者的幫助下都能重構這個秘密態.為了達到這個目的,Alice首先對其兩粒子執行Bell測量{|Ψ±〉x1,|Φ±〉x1},然后通過經典信道將測量結果發送給接收者,其中,4種Bell基為

|Ψ±〉

|Φ±〉

(4)

Alice執行Bell測量之后,系統的塌縮態為|ψ±〉234567或|φ±〉234567,其中

|ψ±〉234567=x1〈Ψ±|ψ〉x1234567=

|011000〉+|011111〉)234567±

|111000〉-|111111〉)234567,

|φ±〉234567=x1〈Φ±|ψ〉x1234567=

|111000〉-|111111〉)234567±

|011000〉+|011111〉)234567.

(5)

1.1選擇Bob恢復秘密假設Alice選擇讓Bob來恢復秘密態.首先,Bob和David1聯合以粒子5為控制粒子,粒子2為目標粒子執行受控非門,然后系統塌縮態變成如下形式：

|011000〉+|111111〉)234567±

|111000〉-|011111〉)234567,

|111000〉-|011111〉)234567±

|011000〉+|111111〉)234567.

(6)

β|1〉2)|00000〉234567+

β|0〉2)|00000〉234567+

(7)

為了幫助Bob重建最初的秘密態,其他接收者選取合適的測量基對他們自己的粒子進行測量，并公布他們的測量結果.通過(7)式,很顯然,如果Charlie1和Charlie2選取{|0〉,|1〉}對他們的粒子進行測量,他們的測量結果總是相同的.同樣的,David1、David2和David3也選取{|0〉,|1〉}對自己的粒子進行測量,他們的結果也是相同的.因此只需要Charlie1和Charlie2中的任意一個和David1、David2和David3中的任意一個將測量結果發送給Bob,Bob通過相應的幺正操作就可以重構初始未知態,從而實現秘密恢復,完成本次量子通信.

不失一般性,假設Alice、Charlie1和David1的測量結果分別為|ψ+〉x1、|0〉3和|1〉5,則Bob得到的測量結果為

|ψ〉2=β|0〉2-α|1〉2.

(8)

|ψ1〉2=α|0〉2+β|1〉2.

(9)

對于該方案的所有可能的詳細測量結果,測量后的塌縮態,Bob需要做的幺正變換見表1.

表 1 Alice、Bob、Charlie1和David1的測量結果,Bob手中粒子的塌縮態及所做的幺正操作

注：表中I為單位算子,σx=|0〉〈1|+|1〉〈0|,σz=|0〉〈0|-|1〉〈1|和σy=i|1〉〈0|-i|0〉〈1|為常見的Pauli算子,下同.

1.2選擇Charlie1恢復秘密因為|φ〉x1234567在交換粒子3、4的順序時是不會改變的,所以Charlie1和Charlie2在這個協議中具有相同的地位.不妨考慮讓Charlie1來恢復Alice的秘密態|φ〉x,Charlie1首先以粒子5為控制粒子,粒子3為目標粒子做受控非門,然后以粒子2為控制粒子,粒子3為目標粒子做受控非門,然后對粒子2做Hadamard門變換,則|ψ±〉234567和|φ±〉234567變為如下形式

β|1〉3)|ξ1〉24567+

(α|1〉3±β|0〉3)|ξ2〉24567+

(α|0〉3?β|1〉3)|ξ3〉24567+

(α|1〉3?β|0〉3)|ξ4〉]24567,

β|0〉3)|ξ1〉24567+

(α|0〉3±β|1〉3)|ξ2〉24567+

(α|1〉3?β|0〉3)|ξ3〉24567+

(α|0〉3?β|1〉3)|ξ4〉]24567,

(10)

其中

|ξ1〉=(|00000〉+|11111〉)24567,

|ξ2〉=(|00111〉+|11000〉)24567,

|ξ3〉=(|10000〉+|01111〉)24567,

|ξ4〉=(|10111〉+|01000〉)24567.

從(10)式可以知道,如果David1、David2和David3選擇{|0〉,|1〉}對自己的粒子進行測量,他們的測量結果是一樣的,因此Charlie1只需要得到Bob、Charlie2和David1(David1或David1)的測量結果并做相應的幺正操作即可恢復Alice的量子態信息.換句話說,Charlie2只需要其他5個接收者中的3個就可以恢復Alice的量子態秘密.完成本次量子通信.不失一般性,假設Alice、Bob、Charlie2和David1的測量結果分別為|φ-〉x1、|0〉2、|1〉4和|1〉5,則Charlie1獲得的測量結果為

|φ〉3=α|1〉3-β|0〉3.

(11)

|φ1〉3=α|0〉3+β|1〉3.

(12)

對于該方案的所有可能的詳細的測量結果,測量后的塌縮態,Charlie1需要做的幺正變換見表2.

1.3選擇David3恢復秘密因為|φ〉x1234567在交換粒子5、6、7的順序時是不會改變的,所以David1、David2和David3在這個協議中具有相同的地位.考慮另一種情況,所有接收者都同意讓David3來恢復Alice的秘密態|φ〉x,David3首先以粒子2為控制粒子,粒子6和粒子7為目標粒子做受控非門,然后對粒子2和6做Hadamard門變換,則|ψ+〉234567和|φ±〉234567變為如下形式：

表 2 Alice、Bob、Charlie2和David1的測量結果,Charlie1手中粒子的塌縮態及所做的幺正操作

β|1〉7)|φ1〉23456+

(α|0〉?β|1〉)|φ2〉23456+

(α|1〉7±β|0〉7)|φ3〉23456+

(α|1〉7?β|0〉7)|φ4〉]23456,

β|0〉)7|φ1〉23456+

(α|1〉?β|0〉)|φ2〉23456+

(α|0〉7±β|1〉7)|φ3〉23456+

(α|0〉7?β|1〉7)|φ4〉]23456,

(13)

其中

|φ1〉=|00000〉+|10001〉+|11100〉+|01101〉23456,

|φ2〉=|00001〉+|10000〉+|01100〉+|11101〉23456,

|φ3〉=|00010〉+|10011〉+|01111〉+|11110〉23456,

|φ4〉=|00011〉+|10010〉+|11111〉+|01110〉23456.

通過(13)式,David3重構Alice的秘密態需要其他接收者分別對自己的粒子做單粒子測量,并將測量結果通過經典信道發送給David3.由(13)式可知,Charlie1和Charlie2選取{|0〉,|1〉}對他們的粒子進行測量,他們的測量結果總是相同的,因此,只需要他們中的一個協助David3.也就是說,David3需要Bob、Charlie1(Charlie2)、David1和David2共4個接收者的幫助就可以重構發送者的未知態,恢復量子秘密,完成本次通信.一旦他們的測量基被確定,整個系統塌縮態為下面4種形式:

α|0〉7±β|1〉7,α|1〉7±β|0〉7,

α|0〉7?β|1〉7,α|1〉7±β|0〉7,

(14)

當David3得到形如(14)式的塌縮態時需要做的合適的幺正操作如表3.

表 3 Alice、Bob、Charlie2、David1和David2的測量結果,David3手中粒子的塌縮態及所做的幺正操作

2 安全性分析

下面從外部攻擊和內部攻擊2個方面對本方案進行安全性分析.假設有一個偷竊者叫Eva,其在粒子的分配過程中通過糾纏一個輔助粒子來盜取Alice準備發送的量子態信息.如果Alice和接收者們都沒有發現偷竊者Eva,那么在Alice對自己的粒子進行Bell測量后,接收者們和偷竊者Eva構成的量子系統將塌縮為7粒子糾纏態,然而,在協助接收者對自己的粒子進行單粒子測量后,恢復秘密的接收者和Eva所構成的系統將塌縮為一個直積態,因此Eva不會獲取到任何信息.為了更清楚地闡述,假設Eva試圖利用輔助粒子|0〉8糾纏Alice和接收者們的糾纏信道.如果Alice的測量結果為|ψ+〉x1,接收者和Eva所構成的糾纏態為

|0110000〉+|0011110〉)2345678±

|1010000〉-|1111110〉)2345678.

(15)

當Charlie1和David1分別選取基|0〉3和|1〉5對自己的粒子進行測量,Bob和Eva的混合態將塌縮為β|00〉28-α|10〉28.很顯然,Eva的態并沒有改變,由糾纏的對應特性,在這次攻擊中Eva并沒有竊取到任何的量子態信息.

考慮另一種攻擊情況,假設接收者中有一方是不誠實的,即Bob是不誠實的.他想安全獨立的恢復Alice的秘密.為了達到這個目的,Bob通過攔截Alice發送給其他接收者的信道粒子,然后將自己事先準備好的輔助粒子發送給其他接收者.在這種情況下,只有當Alice選擇Bob恢復量子態信息,Bob可以成功地重構未知態并避免安全檢測.但如果Alice選擇除了Bob以外的其他接收者恢復量子態信息,那么其他接收者重構的未知態將不同于Alice發送的.當他們進行公開比較時,竊取行為將會被發現.因此,在整個共享過程中Bob成功的概率只有16.67%.如果檢查態的量足夠大,那么非法用戶Bob將會被發現.

綜上所述,對于某些竊取者的攻擊本分級量子信息分離是安全的.

3 結論

本文探討了利用一個4粒子Cluster態和一個3粒子GHZ態作為量子信道實現單粒子未知態的分級量子通信方案.在該方案中,Bob只需要2個接收者協助就可以重構發送者的未知態,而Charlie1和Charlie2都需要3個接收者的幫助就能恢復發送者的未知態,David1、David2和David3需要4個接收者協助才能恢復未知態,也就是說,Bob比其他的接收者更容易恢復發送者的秘密,David1、David2和David3比其他接收者更難恢復發送者的秘密.換句話說,6個接收者的權限被分為3個等級,Bob作為高級接收者,Charlie1、Charlie2為中級接收者,David1、David2和David3為低級接收者.也可以修改方案實現(2,3)閾值的受控分級量子信息分離.

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