彈性波波場分離方法對比及其在逆時偏移成像中的應用

吳 瀟 劉 洋 蔡曉慧

(①中國石油大學(北京)油氣資源與探測國家重點實驗室，北京 102249； ②中國石油大學(北京)克拉瑪依校區石油學院，新疆克拉瑪依 834000； ③中國石油大學(北京)CNPC物探重點實驗室，北京102249；④南京工業大學巖土工程研究所，江蘇南京 210009)

1 引言

進行彈性波逆時偏移成像時，需要將縱、橫波解耦分離，以得到物理意義明確的成像剖面[1-4]。通常采用的分離法都是基于縱、橫波偏振特性上的差異[5]，統稱為基于Helmholtz分解的波場分離法。波場分離法主要有兩類：一類是直接分離法，另一類是間接分離法。

直接分離法是直接對矢量波場進行散度、旋度計算，得到縱、橫波波場，主要包括空間域分離及波數域分離兩種。最早提出的空間域分離法是直接對波場進行散度、旋度運算得到縱波標量波場和橫波矢量波場，這類方法得到的波場存在振幅和相位畸變，需做校正[6-8]。在此基礎上，Aki等[9]提出空間域矢量分解法，得到的縱波與橫波均為矢量，且在同一分量上與原波場分量極性一致，可直接解決成像時極性反轉問題。但空間域的矢量波場分離法也會在一定程度上改變波場的振幅、相位及物理意義。Zhu[10]研究了改進的空間域矢量分離法，通過求解一個與原波場滿足泊松方程的矢量場，再對該矢量場做波場分解，實現了保幅的波場分離效果。此外， Zhang等[11]發展了在波數域進行分離的方法[12，13]，將空間域波場變換到波數域，通過對波數做歸一化處理，可保證分離后波場的振幅、相位及物理意義。

間接分離法是對矢量波場進行散度、旋度計算，并利用以前時刻分離縱、橫波波場遞推得到下一個時刻的分離縱、橫波波場[14-18]。該方法由馬德堂等[14]提出，直接在波場延拓的過程中得到分離的縱波和橫波波場。在此基礎上，Xiao等[19]通過在原始波場中減去縱波波場，得到分離后的橫波波場，減少了橫波波場遞推的計算量。這一類方法得到的縱、橫波波場與原始波場一致[19，20]。上述兩類方法在彈性波逆時偏移和全波形反演中都得到廣泛應用，促進了多波多分量地震勘探的發展。

本文首先回顧了現有的五種基于Helmholtz分解的波場分離法的基本理論，然后分別利用均勻介質模型、層狀介質模型以及Marmousi模型對其波場分離效果進行對比，并將分離后的縱、橫波場用于彈性波逆時偏移中。通過分析不同波場分離法的優缺點及其波場分離效果對彈性波逆時偏移成像結果的影響，可以為不同情況下采用合適的波場分離法提供有益的參考。

2 彈性波波場分離方法對比

2.1 波場分離方法

在均勻介質中，彈性波波動方程可表示為[9]

(1)

式中：U(x,y,z)為位移矢量；λ和μ為拉梅系數；f(x,y,z)為震源項。由于縱、橫波在x方向和z方向上都有投影，正演模擬和實際野外地震勘探采集數據都是縱、橫波耦合在一起的。在做逆時偏移等成像處理時，首先需要將縱波波場和橫波波場分離開來，從而得到清晰且物理意義明確的成像結果。廣泛使用的是Helmholtz分解[5]。由縱、橫波的偏振特性可知，縱波波場的旋度為零，橫波波場的散度為零，則有

(2)

式中：UP表示縱波分量；US表示橫波分量。

因此，原始波場可完全分解為縱波波場(無旋場)與橫波波場(無散場)兩部分，即

U=UP+US

(3)

2.1.1 直接分離方法

(1)直接分離得到縱、 橫波標量波場的空間域方法

常規的Helmholtz分解方法是在空間域直接對波場進行散度運算和旋度運算[5]，求散度得到縱波標量波場，求旋度得到橫波矢量波場，即

(4)

(2)直接分離得到縱、 橫波矢量波場的空間域方法

Aki等[9]提出了在空間域分離得到縱、橫波矢量波場的方法，分離公式為

(5)

(3)改進的直接分離得到縱、橫波矢量波場的空間域方法

Zhu[10]改進Aki等[9]的方法提高分離精度。改進的方法引入一個新的矢量場W，使其與原速度場U滿足矢量泊松方程

(6)

(7)

利用式(2)與式(3)，可得

(8)

通過求解泊松方程得到W，即可分別計算縱波波場和橫波波場。

(4)直接分離得到縱、 橫波矢量波場的波數域方法

Zhang等[13]將Aki等[9]的方法發展到波數域，以提高分離精度，其計算公式為

(9)

2.1.2 間接分離方法

馬德堂等[14]從波動方程出發，結合縱、橫波偏振特性，推導出縱、橫波分離的彈性波動方程為

(10)

在波場延拓過程中，可通過有限差分方法遞推計算矢量縱、橫波場。

Xiao等[19]和Wang等[20]提出可通過從全波場中減去縱波波場得到橫波波場，即

US=U-UP

(11)

為了敘述方便，以下將直接分離得到縱、橫波標量波場的空間域方法簡稱為常規方法，直接分離得到縱、橫波矢量波場的空間域方法簡稱為空間域直接分離法，改進的直接分離得到縱、橫波矢量波場的空間域方法簡稱為改進的空間域直接分離法，直接分離得到縱、橫波矢量波場的波數域方法簡稱為波數域直接分離法。

圖1展示了以上五種基于Helmholtz分解的波場分離法的發展歷程及相互關系。常規方法改變了縱、橫波場的振幅和相位及原有的物理意義，且存在極性問題?？臻g域直接分離法校正了波場極性，但也存在振幅和相位差異。改進的空間域直接分離法不僅能保證振幅和相位的準確性，同時還具有嚴格的物理意義，但求解泊松方程需要較大的計算量。波數域直接分離法通過對波數進行歸一化處理，保證了分離后的波場與原波場一致，但對每個時刻的波場進行傅里葉變換也需要增加較大的計算量。間接分離法在波場延拓的過程中分別遞推下一時刻的縱、橫波場，提高了分離精度，但分離得到的縱、橫波波場在界面處存在能量異常，需要對模型進行平滑處理[11]。

圖1 基于Helmholtz分解的波場分離法

2.2 波場分離效果對比

分別采用均勻介質模型、層狀介質模型與Marmousi模型進行波場正演模擬，利用以上五種波場分離法對縱、橫波場進行分離，并對波場分離結果進行分析和對比。

2.2.1 均勻介質模型

均勻介質模型尺寸為4000m×4000m，縱、橫波速度分別為4000、2500m/s，密度為2.25g/cm3。采用交錯網格時空域優化有限差分方法[21-23]進行正演模擬，計算邊界應用PML吸收邊界條件[24]?？臻g采樣間隔為10m，時間采樣間隔為1ms。震源采用15Hz的Ricker子波，位于速度模型中心。

圖2為正演模擬得到的0.4s時刻的波場快照及常規方法分離得到的縱、橫波分離結果。分離得到的縱、橫波波場均為標量波場，其中縱波波場在震源左、右兩側存在極性反轉，在震源上、下兩側不存在極性反轉，而橫波波場在震源上、下兩側存在極性反轉，在左、右兩側不存在極性反轉。利用轉換波進行逆時偏移成像時，在成像界面左、右兩側會存在極性反轉現象。

圖2 均勻介質模型常規方法分離結果

圖3 均勻介質模型四種方法分離效果對比 (a)x分量； (b)z分量

從左至右依次為0.4s時刻原始波場、分離得到的橫波波場、縱波波場及分離后波場相加與原始波場的殘差；為便于比較，將四種分離法所得波場各取1/4置于四個象限中，每個波場快照中左上為空間域直接分離法，右上為改進的空間域直接分離法，左下為波數域直接分離法，右下為間接分離法

圖3顯示了采用四種不同矢量分離法得到的x分量和z分量縱、橫波波場。由圖中可見，針對均勻介質，各方法都能得到較好的分離結果，但在波場振幅和相位上還存在一些差異。采用空間域直接分離法得到的縱、橫波波場與原始波場差異較大(圖3左上部分)。其他三種矢量分離法得到縱、橫波波場相加后與原始波場的誤差均較小。其中改進的空間域直接分離法存在極少量的能量泄露(圖3右上部分)。而波數域直接分離法得到的波場中還存在少量由于傅里葉變換引入的噪聲[8]。間接分離法在均勻介質中分離效果最好，得到的縱、橫波場與原始波場一致。如圖4所示， 單道數據對比更清晰地顯示

圖4 抽取的x=2500m處四種矢量分離法得到的z分量橫波波場快照中單道數據對比

第1道為原始波場，第2～第5道依次為空間域直接分離法、改進的空間域直接分離法、波數域直接分離法、間接分離法得到的橫波，第6～第9道依次為四種方法分離得到的縱波，第10～第13道依次為四種方法分離的殘差了分離效果的差異。

2.2.2 層狀介質模型

層狀介質模型(圖5)尺寸為4000m×4000m，上下層縱、橫波速度分別為vP1=4000m/s，vS1=2500m/s，及vP2=5000m/s，vS2=3200m/s，層厚均為2000m。震源位于(2000m，1500m)處，采用相同的參數進行正演模擬。圖6顯示了正演模擬t=0.5s時刻波場快照及常規方法得到的縱、橫波分離結果，與均勻介質模型試算結果類似，縱、橫波分離得干凈，但同樣存在極性問題。圖7～圖10分別顯示了采用四種不同矢量分離法得到的x分量和z分量縱、橫波分離結果。從圖中可看出，各方法都能得到較好的分離結果。其中，當存在速度突變時，采用間接分離法得到的縱、橫波波場在界面處會存在異常，如圖10中箭頭所示。 分析其原因是間接分離法在波場延拓過程中，未考慮在界面處縱、橫波發生轉換的情況，因此在界面處還有能量殘留。

圖5 層狀介質模型示意圖

圖6 層狀介質模型常規方法分離結果

圖7 層狀介質模型空間域直接分離法得到的結果

圖8 層狀介質模型改進的空間域直接分離法得到的結果

圖9 層狀介質模型波數域直接分離法得到的結果

2.2.3 Marmousi模型

采用相同的正演模擬參數，針對Marmousi模型(圖11)進行正演模擬及波場分離測試，Marmousi模型尺寸為5000m×3250m(對應于501×353個網格點)，震源位于(2500m，10m)處。

圖12顯示了正演模擬t=1.0s時刻的波場快照及通過常規方法得到的縱、橫波分離結果。圖13～圖16分別顯示了采用四種不同矢量分離法得到的x分量和z分量縱、橫波分離結果。從圖中可看出，針對Marmousi模型，一次反射和透射的縱、橫波能量都能得到有效分離。其中，波數域直接分離法得到的波場存在極少量傅里葉變換產生的人工噪聲； 間接分離法得到的縱、橫波波場在速度突變處存在能量異常；通過改進的空間域直接分離法的分離效果最好，但相加后的波場與原始波場相比存在少量的能量泄露。與前文理論分析結果一致。

圖10 層狀介質模型間接分離法得到的結果

為了對比各種波場分離法的計算效率，在正演模擬過程中采用不同分離法對每一時刻的波場進行

波場分離，統計了不同方法正演模擬的總耗時，如表1所示?？梢钥闯龈倪M的空間域波場分離法耗時最長，波數域方法和間接分離法耗時適中，兩種空間域分離法耗時最小，與理論分析一致。

圖11 Marmousi模型示意圖

圖12 Marmousi模型常規方法分離結果

圖13 Marmousi模型空間域直接分離法得到的結果

圖14 Marmousi模型改進的空間域直接分離法得到的結果

模 型模型網格尺寸正演模擬時長/s未進行波場分離/s常規方法s空間域直接分離法/s改進的空間域直接分離法/s波數域直接分離法/s間接分離法/s均勻模型401×4010.447.7752.9358.99101.1667.6871.79層狀模型401×4010.559.6665.5273.05124.0283.3888.25Marmousi模型501×3531.0134.37147.05164.31274.71232.11199.83

圖15 Marmousi模型波數域直接分離法得到的結果

圖16 Marmousi模型間接分離法得到的結果

3 彈性波逆時偏移成像

3.1 矢量波場的標量成像條件

采用基于矢量波場的歸一化標量成像條件[25-27]，以下行縱波震源為例

(12)

式中：·表示兩個矢量的內積；S(x,t)和R(x,t)分別表示t時刻的震源波場及檢波點波場，其中x表示成像點空間坐標；IPP和IPS分別表示震源縱波波場與檢波點縱波波場、震源縱波波場與檢波點轉換橫波波場的偏移成像結果。

3.2 Marmousi模型試算

為了對比以上五種分離法得到的縱、橫波波場對于彈性波逆時偏移成像結果的影響，采用Mar-mousi模型進行試算。震源位于地表，共51炮激發，炮間距為10m。正演模擬記錄長度為4.0s，時間采樣間隔為1ms，震源采用雷克子波，主頻為15Hz。對最終的成像結果進行Laplace濾波以去除成像低頻噪聲。其中，對于常規方法的轉換波成像剖面，在單炮偏移剖面的震源右側乘以-1以近似解決極性反轉的問題[28]。

如圖17所示為采用五種不同分離法得到的縱、

圖17 五種不同波場分離法得到縱、轉換波場的逆時偏移成像剖面

橫波波場應用于逆時偏移的成像結果。左側為震源縱波波場與檢波點縱波波場成像結果，右側為檢波點橫波波場與震源縱波波場成像結果?？梢姴▓龇蛛x結果對最終的成像剖面的振幅及界面信息存在一定影響，且轉換波偏移成像結果對波場分離效果更敏感。通過常規方法和空間域直接分離法兩種方法得到的波場由于振幅和相位有畸變，導致最終的成像剖面上深層能量較弱，界面成像模糊。改進的空間域直接分離法和波數域直接分離法得到的波場由于很好地保存了原始波場的特征，最終的成像剖面上深層能量較強，界面刻畫清晰。間接分離法得到的波場同樣也能得到較好的成像結果，但是由于分離得到的波場在界面處存在異常，導致最終成像剖面上界面處也存在一些能量異常。

此外，通過對單炮逆時偏移計算時間(表2)進行對比發現，常規方法所需的分離計算量最小，逆時偏移所需的計算時間也最少，但成像效果較差；空間域直接分離法和間接分離法的計算量相對適中，成像結果也較常規方法的成像結果更清晰；而波數域直接分離法和改進的空間域分離法由于需要對每個時刻的波場進行傅里葉變換，導致所需時間最長，但是成像結果也最好。

表2 采用不同波場分離法進行逆時偏移單炮計算耗時對比

4 結論

通過對比五種基于Helmholtz分解的縱、橫波波場分離效果及相應的逆時偏移成像結果，得到以下結論：

(1)基于Helmholtz分解的五種方法在模型試算中都可以獲得較好的縱、橫波分離結果，但是各方法的計算效率與分離效果存在差異。與常規方法相比，四種矢量分離法都解決了轉換波逆時偏移中存在極性反轉的問題。其中： 間接分離法成像效果很好，但在界面處存在能量異?，F象； 改進的空間域直接分離法和波數域直接分離法均具有較好的保幅性，保存了原始波場的特征，深層構造成像效果更好。

(2)為了使彈性波逆時偏移達到實用化，需要綜合考慮不同波場分離法的實際應用情況，選擇合適的縱、橫波分離法，平衡計算效率與分離精度。