平衡損失函數下具有時間效應和通脹因子的信度估計

張 強，陳 萍

（南京理工大學 理學院，南京210094）

0 引言

信度理論是一種基于歷史索賠數據來計算未來保費的經驗厘定方法，它廣泛應用于汽車保險、工傷賠償金及賠款準備金。當代的信度理論歸功于Bühlmann[1]，他首次在現代統計決策理論框架下建立了無分布限制的信度理論，這為信度理論的發展奠定了統計基礎，關于信度理論的詳細介紹，可見Bü hlmann和Gisler[2]。

大批學者對信度理論進行了研究，并建立了各種各樣的信度模型，這些信度模型極大地依賴于風險間的獨立性及時間分量上的條件獨立性。事實上，在保險實務中，這種假設有時候是不成立的，風險間存在較強的相依性。近年來，關于風險間的相依性的研究引起了越來越多的精算研究者的重視。如，Yeo等[3]建立了風險具有隨機共同效應的信度模型，得到了正態-正態分布下的信度公式。Wen等[4]推廣了Yeo等[3]，提出了共同效應相依的無分布信度模型。之后，Wen和Deng[5]研究了風險等相關結構的信度估計等。另一方面，多數學者對時間分量上相依的信度模型進行了研究，具體包括鄭丹等[6]、Purcaru和Denuit[7,8]、Frees和Wang[9]。最近，Huang和Wu[10]研究了風險相依和時間效應的信度模型。

然而，以上所提到的信度模型總是采用平方損失來刻畫保費與風險的適合程度。有研究發現由于正(負)誤差引起的損失不同，采用對稱損失函數得到的估計不準確。因而，非對稱損失函數得到了廣泛的應用，其中，平衡損失函數是一類常見的非對稱損失函數。Zellner[11]給出了如下形式的平衡損失函數：

其中δ0(X)為目標估計，w∈[0，1]為已知的權重。

本文在平衡損失數下，研究了具有時間等相依及通脹因子的信度模型，分別得到了非齊次和齊次信度估計，并給出了結構參數的無偏估計。

1 模型假設與準備知識

假設某保單組合具有K種保單，每種保單含有ni年歷史索賠數據。記第i種保單前ni年歷史數據為 Xi=(Xi1，…Xin)′，則所有的歷史數據為 {Xij，i=1，2，…，K，j=1，2，…，ni}。類似于經典信度模型的假設，認為第i種保單未來索賠Xi，ni+1是由所有歷史索賠數據決定的。本文研究滿足如下假設的信度估計。

假設1 ：給定 Θi，隨機序列 Xij，j=1，2，…，ni具有條件期望 E(Xij|Θi)=rjμ(Θi)，條件方差 Var(Xij|Θi)=r2jσ2(Θi)以及條件協方差 Cov(Xis，Xit|Θi)=rsrtρ(Θi)，s≠t，i=1，2，…，k，其中r是通貨膨脹因子。

假設2：風險參數 Θ1，Θ2，…，ΘK是相互獨立的，具有相同的結構分布函數 π(θ)，且有 E(μ(Θi))=μ ，E(σ2(Θi))=σ2，E(ρ(Θi))= ρ ，Var(μ(Θi))=τ2。本文的目的是基于所有的歷史數據，來預測未來時期的索賠 Xi，n+1的信度保費，此時需解決如下最優化問題：為了估計 Xi，ni+1，定義下面兩類樣本的線性函數類，分別稱為樣本的非齊次和齊次函數類。所以 Xi，ni+1的非齊次估計?i，n+1與齊次信度估計分別定義為在各自線性函數類使得期望損失(2)最小。

為統計δ0(X)，引入記號：

為方便求解非齊次與齊次信度估計，下面給出一些準備型的引理。

引理1：隨機變量Y在線性空間L(X，1)和Le(X)上的正交投影分別稱為Y的非齊次和齊次信度估計，即有:

其中Cov(X，Y)是Y與X的協方差矩陣，證明可見[2,4]。引理2：在假設1和假設2下，有以下結論成立

其中 Ri=(r，r2，…rnj)'

其中

其中

證明：（a）記 Θ=(Θ1，Θ2，…，ΘK)，由重期望公式，可得：E(Xi)=E(E(Xi|Θi))=E(μ(Θi)Ri)= μRi

從而：

（b）由協方差的雙重期望定理，有：從而，有:

所以有式（6）成立。

可得：

進一步，可得式（7）。

下面將利用正交投影方法求解問題(2)，獲取未來索賠Xi，ni+1的非齊次和齊次信度估計。

2 信度估計

定理1：在假設1和假設2下，通過求解最小化問題（2），可得 Xi，ni+1的非齊次信度估計為：

證明：令Yi=(1-I)δ0i(X)+IXi，n+1,其中 I為獨立于其他變量的0-1隨機變量，且滿足P(I=0)=1-P(I=1)=w。則最小化問題(2)等價于：

由引理2，知 Xi，ni+1的信度估計為：

從Yi的定義有期望E(Yi)為：

事實上，E(X|I)=E(X)，從而：

所以協方差矩陣Cov(Yi，X)為：

利用引理1，計算可得：

而

故 Xi，ni+1的信度估計為：

此結果為經典的B ü hlmann信度估計，具體可見B ü hlmann和Gisler[2]，本文的模型是其的一個推廣。

注 2 ：若取 δ0i(X)=rni+1，則有 E(δ0i(X))=rni+1μ ，通過計算可得：當i≠j時，dij=0，當i=j時+(ρ +τ2)，則

從而可得信度估計：

其中信度因子

當μ未知時，定理1不能直接應用，需將問題（2）的估計限定在樣本的齊次函數類中，來計算Xi，ni+1的齊次信度估計，結果敘述為下面的定理。

定理2：在假設1和假設2下，未來索賠 Xi，ni+1的齊次信度估計為：

其中，而Zi1，Zi2和定理1一致。

證明：由正交投影的平滑性：

注意到

進而，令Y=μ，因為Cov(μ，X)=0，所以：

從而式（17）成立。

在定理1和定理2中，本文給出了Xi，ni+1的非齊次和齊次信度估計，然而包含了未知的結構參數μ，σ2，ρ和τ2。這需要利用歷史索賠數據{Xij，i=1，2，…，K，j=1，2，…，ni}來估計。由定理2的證明，可知μ的一個無偏估計而 σ2，ρ 和 τ2的無偏估計由以下性質給出。

性質1：結構參數σ2的無偏估計為：

因此：

性質2：結構參數ρ的無偏估計為：

所以：

性質3：結構參數τ2的無偏估計為：

從而：

利用雙重期望定理，有：

將式（24）至式（26）代入式（23），則：

所以 E(τ?2)= τ2。

3 數值模擬

下面將對定理1的結果進行數值模擬。為了說明問題，假定 n1=n2=…nK=n，K=5，并且隨機向量 Xi～N(ΘiRi，Σ) 和 Θi～N(μ，τ2) ，i=1，…，K ，這 里 協 方 差 矩 陣

在模擬中，取 δ0i(X)=rni+1，r=1.05，μ=0.6 ，σ2=1.5，ρ=0.45和τ2=2.1。據以上的假設，產生偽隨機數 Xij，j=1，…，n+1，i=1，2，…，5，其中{Xi，n+1，=1，2，…，5}為待估計的真實值，{Xij，j=1，2，…，n，i=1，2，…，5}為樣本值。通過式（10）和式（16），分別得到了信度估計，得到不同權重 w 下不同 n 時?i，n+1與與 Xi，n+1的均方誤差 MSE 和 MSEC，重復執行10000次模擬，得到的結果如表1和表2所示。

表1 w=0.2時的模擬結果

表2 w=0.6時的模擬結果

4 結束語

本文在平衡損失函數下研究了具有時間效應及通脹因子的信度保費。利用正交投影方法，得到了未來保費的非齊次和齊次信度估計。同時，給出了信度因子中未知結構參數的無偏估計。這一結果推廣了經典的信度模型，為非壽險保險公司厘定未來保費提供理論依據。