類似于VNL環的環

王 堯,楊 圳,任艷麗

(1.南京信息工程大學數學與統計學院,江蘇南京 210044)

(2.南京曉莊學院信息工程學院,江蘇南京 211171)

1 引言

本文所研究的環R都是有單位元1的結合環,環同態都是保持單位元不變的.設a∈R是環R中一個元素,稱a是(von Neumann)正則的,如果存在b∈R,使得a=aba.如果還滿足ab=ba,則稱 a 為強正則的.稱 a 是弱正則的,如果存在r′,r′′∈ R,使得a=ar′ar′′.稱a是π-正則的(強π-正則的),如果存在b∈R和正整數n使得an=anban(an=an+1b).稱a是單式正則的,如果存在一個可逆元u∈R使得a=aua.稱一個環R是正則(強正則,弱正則,π-正則,強π-正則,單式正則)環,如果R中所有元素都是正則(強正則,弱正則,π-正則,強π-正則,單式正則)元.顯然正則環是弱正則環.眾所周知,一個環為局部環當且僅當對任意a∈R,a或1?a是可逆的.局部環是環理論中一類極其重要的環,有大量的研究.Contessa[1]拓展局部環的概念,稱一個環R是VNL(Von Neumann Local)環,如果對任意a∈R,都有a或1?a是正則的.VNL環是近年來環論研究的熱點之一(參見文獻[2–5]).此外,Chen[6]稱一個環R是幾乎單式正則環,如果對任意a∈R,都有a或1?a是單式正則的;稱一個環R是幾乎強正則環,如果對任意a∈R,a或1?a是強正則的.

本文進一步拓展局部環的概念,在弱正則環、π-正則環、強π-正則環的基礎上,分別定義和研究幾乎弱正則環、幾乎π-正則環、幾乎強π-正則環的性質.

2 定義及相關環之間的關系

定義2.1稱一個環是幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環),如果對任意a∈R,a或1?a是弱正則(π-正則,強π-正則)的.

由定義知,弱正則環是幾乎弱正則環,局部環、幾乎強正則環和VNL環都是幾乎弱正則環.因此存在以下關系:{局部環}?{幾乎強正則環}?{VNL環}?{幾乎弱正則環}.

另一方面,VNL環和π-正則環都是幾乎π-正則環,幾乎強正則環和強π-正則環都是幾乎強π-正則環,幾乎強π-正則環是幾乎π-正則環.在文獻[7]中,幾乎π-正則環和幾乎強π-正則環被稱作局部π-正則環和局部強π-正則環,其中的命題3.2.16證明:在Abel環條件下,幾乎強π-正則環與幾乎π-正則環是等價的.

下面的例子說明,幾乎弱正則環是弱正則環概念的真推廣.

例 2.2 設 Z4={,,,} 是整數環模理想 (4)的商環,它是幾乎弱正則環但不是弱正則環.事實上,,,都是正則元,?是正則元,因此 Z4是幾乎弱正則環.但不是弱正則的,因此Z4不是弱正則環.

稱一個環R是雙正則的,如果R的每個主理想都是由一個中心冪等元生成的.由文獻[8]中結論,雙正則環是弱正則環.下面的例子說明幾乎弱正則環是VNL環概念的真推廣,幾乎強π-正則環是強π-正則環的真推廣.

例2.3 (1)[9]設R是VNL環但不是雙正則環,S是雙正則環但不是VNL環,則R⊕S是幾乎弱正則環,但它既不是VNL環也不是雙正則環.

(2)[7]設p是任一素數,R=Zp={m/n;m,n∈Z,(n,p)=1}是Z在P處的局部化,則R是局部環,因此也是幾乎強π-正則環.但因為p∈R不是R的π-正則元素,所以R不是強π-正則環.

下面的例子說明,幾乎π-正則環是π-正則環與VNL環概念的真推廣.

例2.4設Z4⊕ Z4. 易證 (,),(,)? (,) 都不是正則的,因此 R 不是 VNL 環.因為R是π-正則環,因此也是幾乎π-正則環.

例2.5令R=R1×R2,其中R1是π-正則環但不是VNL環,R2是VNL環但不是π-正則環.顯然R既不是π-正則環也不是VNL環.但R是幾乎π正則環.

證 因為對任意的(a,b)∈R,其中a∈R1,b∈R2,由R2是VNL環,則b或1?b是正則的.如果b正則的,則b是π-正則的,所以(a,b)是π-正則元素.如果1?b正則的,則1?b是π-正則的,所以(1?a,1?b)是π-正則元素.所以(a,b)或(1?a,1?b)是π-正則的.所以R是幾乎π-正則環,但顯然R既不是π-正則環也不是VNL環.

下面舉例說明幾乎強π-正則環是局部環和強π-正則環的真推廣.

例2.6 R=Z4×Z4是強π-正則環,因此也是幾乎強π-正則環.但(0,1)2=(0,1)不是平凡的冪等元,所以R不是局部環.

例2.7令R=C×D,其中C是強π-正則環但不是幾乎強正則環,D是幾乎強正則環但不是強π-正則環.顯然R既不是強π-正則環也不是幾乎強正則環.但R是幾乎強π-正則環.證明類似例2.5.

下面的例子說明幾乎π-正則環是幾乎強π-正則環的真推廣.

例 2.8 設 Z6={,,,,,} 是整數環模理想 (6) 的商環, 它是正則環. 由文獻[4,定理2.3]知R是正則環當且僅當Mn(R)是VNL環,對于n≥2.因此M2(Z6)是VNL環.因此也是幾乎π-正則環.經過計算可以驗證,在M2(Z6)中,矩陣和都不是強π-正則的.因此M2(Z6)不是幾乎強π-正則環.

綜上,得到相關環的如下關系圖.

命題2.9對任意的交換環R,以下命題等價:

(1)R是VNL環;

(2)R是幾乎強正則環;

(3)R是幾乎弱正則環.

證 顯然.

命題2.10(1)幾乎弱正則環R的中心C(R)是VNL環;

(2)幾乎π-正則環R的中心C(R)是幾乎強π-正則環.

證 (1)對任意x∈C(R),x或1?x是R中弱正則元,如果x在R中弱正則,則存在r′,r′′∈ R 使得 x=xr′xr′′=x2r′r′′∈ x2R. 由文獻 [9]命題 12,可以推出 x=x(xky)x,其中y∈R,k≥1.而且,對任意r∈R,

即xky∈C(R).所以x是C(R)中正則元.同理,如果1?x是R中弱正則元,可以推出1?x也是C(R)中正則元.所以R的中心C(R)是VNL環.

(2)證明見文獻[7]命題3.2.17.

一個環R稱為Abel環,如果R中冪等元都是中心冪等元.文獻[7]的命題3.2.12和文獻[10]的推論3證明:如果R是幾乎π-正則環(幾乎強π-正則環),則對任意e=e2∈R,eRe也是幾乎π-正則環(幾乎強π-正則環).

命題2.11如果R是Abel幾乎弱正則環,則對任意e=e2∈R,eRe也是幾乎弱正則環.

證 對于a∈eRe,存在r∈R使得a=ere,于是有ea=ae=eae=a.因為R是幾乎弱正則環,所以a或1?a是R中弱正則元.若a是弱正則的,則存在b′,b′′∈R,使得a=ab′ab′′=(ae)b′(eae2)b′′=a(eb′e)a(eb′′e),其中 eb′e,eb′′e ∈ eRe,所以 a 在 eRe 中弱正則.若 1? a 在 R 中弱正則,則存在 c′,c′′∈ R 使得 1? a=(1? a)c′(1? a)c′′. 由此可得e? a=e(1 ? a)e=e(1 ? a)c′(1 ? a)c′′e=(e? a)ec′e(e? a)ec′′e,其中 ec′e,ec′′e ∈ eRe. 所以1?a在eRe中弱正則.這證明了eRe是幾乎弱正則環.

引理2.12設A=diag{a1,a2,···,an}是主對角線元素為ai,其余位置都是0的n×n階矩陣.在Mn(R)中,A=diag{a1,a2,···,an}弱正則當且僅當a1,···,an都在R 中弱正則.

定理2.13 設R是一個環,以下命題等價:

(1)R是弱正則環;

(2)對于每一自然數n,Mn(R)是幾乎弱正則環.

證 (1)?(2).由文獻[11]引理1.1,R是弱正則環可以得到Mn(R)是弱正則環,因此也是幾乎弱正則環.

(2)?(1).對任意a∈R,取A=diag{a,1?a,1,···,1}∈Mn(R),In是Mn(R)中單位矩陣.從而In?A=diag{1?a,a,0,···,0}因為Mn(R)是幾乎弱正則環,所以A或In?A在Mn(R)中是弱正則的.由引理2.12知無論A或In?A是弱正則的,均可以得到a在R中弱正則.因此R是弱正則環.

命題2.14(1)單環都是幾乎弱正則環;

(2)如果環R的每個右理想都是由冪等元生成的,則R是幾乎弱正則環.

證 由文獻[8,命題4.7]知單環是弱正則環;如果環R的每個右理想都是由冪等元生成的,則R是弱正則環.因此,它們都是幾乎弱正則環.

文獻[12]中稱一個環R是ELT環,如果R中每個本質左理想都是理想.

命題2.15設R是ELT環,以下命題等價:

(1)R是幾乎弱正則環;

(2)R是VNL環.

證 (2)?(1)顯然成立.

(1)? (2).構造這樣一個本質左理想I=(a〉⊕PLi,其中(a〉是R中由a生成的主左理想,Li是R中所有不含a的左理想.由R是ELT環知I是R的理想.因為R是幾乎弱正則環,對任意a∈R,有a或1?a弱正則.如果a是弱正則的,則存在x′,x′′∈ R 使得 a=ax′ax′′∈ aRaR ? aI. 于是存在 b ∈ R,l∈ Pli使得 a=a(ba+l),a?aba=(1?ab)a∈ (a〉.另一方面,a?aba=al∈ PLi,而(a〉TPLi=0,這推出a=aba,所以a在R中是正則的.如果1?a是弱正則的,類似可證1?a是正則的.綜上,R是VNL環.

引理2.16[8]對于一個約化環R以及a∈R,有

是R的一個理想I,且ITRaR=0,其中lR(a),rR(a)分別表示環R中a的左、右零化子集合.

定義2.17稱一個環是幾乎雙正則環,如果對任意x∈R,RxR或R(1?x)R是由中心冪等元生成的.

命題2.18設R是約化環,則以下命題等價:

(1)R是幾乎弱正則環;

(2)R是幾乎雙正則環.

證 (2)? (1).對于a∈R,RaR或R(1?a)R是由中心冪等元生成的.如果RaR是由中心冪等元生成的,則存在一個中心冪等元e∈R使得RaR=(e),從而aR=aRe?aR(RaR)=(aR)2?aR,因此a在R中是弱正則的.如果R(1?a)R是由中心冪等元生成的,同理可以得到1?a在R中是弱正則的.

(1)?(2).對于a∈R,由假設知a或1?a是弱正則的.如果a在R中弱正則,記rR(a)=B,由引理2.16知B=rR(a)=rR(RaR)=lR(RaR)且BTRaR=0.因為a是弱正則的,所以存在b∈RaR使得a=ab,因此有a?ab=0,a(1?b)=0,1?b∈rR(a),因此RaR+B=R.又因為BTRaR=0,從而有RaR⊕B=R.由文獻[13]引理4知,RaR是由中心冪等元生成的.如果1?a在R中弱正則,同理可得R(1?a)R是由中心冪等元生成的.

命題2.19約化的幾乎強π-正則環是VNL環.

證 任取x∈R,因為R是幾乎強π-正則環,則x或1?x是強π-正則的.假定x是強π-正則的,則存在z∈R和正整數n使得xn=xn+1z,xz=zx.設e=xnzn.因為xn=xn+1z=xn+2z2=···=x2nzn=xnznxn.因此e2=e,x與1?e可交換,

又因為R是約化環,從而有

即x是正則的.假定1?x是強π-正則的,類似可得1?x也是正則的.所以R是VNL環.

命題2.20設環T=S+K,其中S是T的子環,K是T的冪零理想,則T是幾乎強π-正則環當且僅當S是幾乎強π-正則環.

證 假定Kn=0,對于特定的n≥1.

(?=)任取t∈T,t=s+x其中s∈S,x∈K.因為S是幾乎強π-正則的,有s或1?s是強π-正則的.如果s是強π-正則的,則存在k≥1使得skS=sk+1S=···,因此存在s0∈S使得sk=snk+1s0.于是有tk=(s+x)k=sk+x0=snk+1s0+x0tnk+1=(s+x)nk+1=snk+1+x1,其中x0,x1∈K.這樣,tk?tnk+1s0=x0?x1s0∈K.因為Kn=0,(tk?tnk+1s0)n=0,從而得到tnk∈tnk+1T,所以t在T中是強π-正則的.如果1?s是強π-正則的,同理可證1?t是強π-正則的.所以T是幾乎強π-正則環.

(=?)任取s∈S.因為T是幾乎強π-正則的,有s或1?s在T中是強π-正則的.如果s是強π-正則的,則存在k≥ 1使得skT=sk+1T= ···,因此存在t∈T,sk=snk+1t.令t=a+x,其中a∈S,x∈K.這樣就有sk?snk+1a=snk+1x∈K,Kn=0,(sk?snk+1a)n=0,從而有snk∈snk+1S,所以s在S中是強π-正則的.如果1?s在T中是強π-正則的,同理可證1?s在S中也是強π-正則的,即S是幾乎強π-正則環.

文獻[12]中稱環R的右理想I為廣義弱理想(GW理想),如果對任意a∈I,存在一個正整數n,使得Ran?I.

命題2.21設環R中的極大右理想都是GW理想,則以下命題等價:

(1)R是幾乎強正則環;

(2)R是幾乎弱正則環.

證 (1)?(2)由定義可得.

(2)?(1).因為R是幾乎弱正則環,對于任意a∈R,有a或1?a弱正則.如果a是弱正則的,則存在s,t∈R使得a=asat.假設r(a)+aR≠R且M 是R中包含r(a)+aR的極大右理想,則由a(1?sat)=0知1?sat∈r(a)?M.如果sat/∈M,則有M+satR=R,且存在x∈M,r∈R使得x+satr=1.因為M 是GW理想且atrs∈M,故存在一個正整數n使得s(atrs)n∈M,于是有(1?x)n+1=(satr)n+1=s(atrs)natr∈M.又因為x∈M,從而有1∈M,這與M≠R矛盾.因此必有sat∈M,從而得到1∈M,此為矛盾.所以假定不成立,有r(a)+aR=R,因此a在R中是強正則的.如果1?a在R中是弱正則的,利用上述方法可以得到1?a在R中是強正則的.綜上,R是幾乎強正則環.

3 更多的例子

命題3.1幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環)的同態像還是幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環).

證 設R是幾乎弱正則環,σ:R→ R′是一個環同態.對任意a∈R,有a或1?a是弱正則的. 如果 a是弱正則的,則存在 r′,r′′∈ R 使得 a=ar′ar′′. 于是有σ(a)= σ(ar′ar′′)= σ(a)σ(r′)σ(a)σ(r′′),所以 σ(a) 是 R′中弱正則元. 同理可證,如果 1 ? a是R中弱正則元,則1?σ(a)是R′中弱正則元.因此R′也是幾乎弱正則環.對于幾乎π-正則環與幾乎強π-正則環的情況,類似可證.

定理3.2(1)一族環的直積∏{Rα:α∈I}是幾乎弱正則環當且僅當存在α0∈I使得Rα0是幾乎弱正則環,其余α∈I?α0,Rα均為弱正則環.

(2)一族環的直積∏{Rα:α∈I}是幾乎π-正則環當且僅當存在α0∈I使得Rα0是幾乎π-正則環,其余α∈I?α0,Rα均為π-正則環.

(3)一族環的直積∏{Rα:α∈I}是幾乎強π-正則環當且僅當存在α0∈I使得Rα0是幾乎強π-正則環,其余α∈I?α0,Rα均為強π-正則環.

證 (1)充分性.顯然成立.

必要性.假定∏{Rα:α∈I}是幾乎弱正則環.因為Rα是∏Rα的同態像,由命題2.1知每個Rα都是幾乎弱正則環.任取一α0∈I,記∏{Rα:α∈I}=Rα0×S,其中S=∏{Rα:α∈I?α0}.如果Rα0與S都不是弱正則環,則存在非弱正則元r∈Rα0,s∈S.取a=(r,IS?s),則在∏{Rα:α∈I}中,a或1?a都不是弱正則的,得到矛盾.因此,Rα0或S必有之一是弱正則的.如果S是弱正則的,則定理得證.如果S是幾乎弱正則環,則重復以上討論,可得結論.

(2)和(3)的證明與(1)類似.

推論3.3如果R=S×T是幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環),則S和T一個是幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環),另一個是弱正則環(π-正則環,強π-正則環).

兩個幾乎弱正則環的直積未必是幾乎弱正則環.由例2.2,Z4是幾乎弱正則環,但Z4×Z4不是幾乎弱正則環.這是因為,取 a=(,),1 ? a=(,),則在 Z4× Z4中,a 或者 1 ? a 都不是弱正則的.

設D 是環C的一個子環,且1c∈D,則

在普通的加法和乘法定義下構成一個環.

定理3.4下面兩個命題等價:

(1)R[C,D]是幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環);

(2)C是弱正則環(π-正則環,強π-正則環)且D 是幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環).

證 (1)? (2).設 ? :R[C,D]→ D,?(a1,a2,···,an,b,b,···)=b.易見 ? 是一個環同態.由命題3.1知D是幾乎弱正則環.假定C不是弱正則環,則存在x∈C不是弱正則元.取 a=(x,1?x,1,1,···)∈ R[C,D],有 1?a=(1?x,x,0,0,···).由于 R[C,D]是幾乎弱正則環,則a或1?a在R[C,D]中是弱正則的.如果a是弱正則的,則x∈C是弱正則的,矛盾.若1?a是弱正則的,則也有x∈C是弱正則的,矛盾.所以假設不成立,C是弱正則環.

(2)? (1).對任意 (a1,a2,···,an,b,b,···)∈ R[C,D],其中 ai∈ C,b∈ D.因為 C 是弱正則環,所以存在使因為D 是幾乎弱正則環,則b或1?b是D中弱正則元.如果 b是弱正則元,則存在 y′,y′′∈ D 使得 b=by′by′′.因此有

這表明(a1,a2,···,an,b,b,···)是R[C,D]中弱正則元.如果1?b是D 中弱正則元.同理可證1?(a1,a2,···,an,b,b,···)是R[C,D]中弱正則元.綜上知R[C,D]是一個幾乎弱正則環.

對于幾乎π-正則環和幾乎強π-正則環的情況,類似可以證明.

設R是一個環,RVR是一個雙模,且V是一個一般環(未必有1).稱環I(R;V)=R⊕V是環R關于V的理想擴張,其中加法是通常的加法,乘法運算定義為(r,v)(s,w)=(rs,rw+vs+vw).

命題3.5如果環R關于V的理想擴張S=I(R;V)是幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環),則R是幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環).

證 因為S=I(R;V)是幾乎弱正則環,所以對任意(r,v)∈I(R;V),(r,v)或(1,0)?(r,v) 是弱正則的. 若 (r,v) 是弱正則元,則存在 (x′,y′),(x′′,y′′) ∈ I(R;V) 使得 (r,v)=(r,v)(x′,y′)(r,v)(x′′,y′′). 這推出 r=rx′rx′′,r 在 R 中是弱正則的. 若 (1,0)? (r,v) 是弱正則的, 則存在 (x′,y′),(x′′,y′′) ∈ I(R;V) 使得 (1 ? r,?v)=(1 ? r,?v)(x′,y′)(1 ?r,?v)(x′′,y′′),于是有 1 ? r=(1? r)x′(1? r)x′′. 所以 1? r 在 R 中是弱正則的. 綜上知 R是幾乎弱正則環.

命題3.5的逆命題不成立.例如,環R=Z4是幾乎弱正則環,取V=Z4,則S=I(Z4;Z4) 不是幾乎弱正則環. 這是因為在 I(Z4;Z4) 中,(,) 不是弱正則的,(,) ? (,)也不是弱正則的. 假設 (,) 是弱正則的,則存在 (x′,y′),(x′′,y′′) ∈ I(Z4;Z4) 使得 (,)=于是有這不可能. 所以假設不成立. 另一方面, 對于假設存在使得則有要滿足等式成立,則需取此時矛盾. 因此(,)? (,) 也不是弱正則的. 所以 S=I(Z4;Z4) 不是幾乎弱正則環.幾乎 π -正則環,幾乎強π-正則環的情況類似可以證明.

命題3.6(1)如果R是弱正則環,S是局部環,設RMS是一個雙模,則是幾乎弱正則環.

(2)如果R是π-正則環(強π-正則環),S是局部環,則是π-正則環(強π-正則環).

R是強π-正則環的情況類似可證.

命題3.7幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環)的直極限仍是幾乎弱正則環(幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環).

證 設{Rα,?αβ|α,β∈I}是幾乎弱正則環上的直系統,R為Rα的直極限,ηα:Rα→R,α∈I是環單同態,其中Im(ηα)表示單同態ηα的像.下證R 是幾乎弱正則的.任取r∈R,存在α∈I,使得r∈Imηα,即存在rα∈Rα,使得ηα(rα)=r,同時有ηα(1Rα?rα)=1R?r.由于Rα是幾乎弱正則環,所以rα或1Rα?rα弱正則.如果rα是弱正則的,則存在使得從而有其中即r在R中是弱正則的.同理,如果1Rα?rα是弱正則的,可以得到1R?r在R中是弱正則的.綜上知R是幾乎弱正則環.

幾乎π-正則環,幾乎強π-正則環的情況類似可以證明.