萊布尼茨部分數學手稿探賾

徐傳勝，劉靖國

(臨沂大學 數學與統計學院, 山東 臨沂 276000)

出于政治原因考慮,漢諾威家族在德國哲學家、數學家萊布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646—1716)去世后就完整封存了其檔案。而在二戰期間,希特勒(Adolf Hitler, 1889—1945)曾安排了一輛虎式坦克看守漢諾威萊布尼茨文獻館。故有關萊布尼茨的原始資料保存完好,甚至現在還能找到其當年的病假條。1985年系統整理萊布尼茨文檔工作納入德國科學院計劃,《萊布尼茨全集》正逐冊出版,預計出版120卷。因商榷中文版《萊布尼茨全集》相關事宜,本文第一作者有幸結識了德國柏林-勃蘭登堡科學院《萊布尼茨全集》編輯部主任李文潮先生,并應邀參加了2017年中德萊布尼茨國際研究會(作大會報告), 獲得了一些第一手珍貴資料。本文擬在前人研究基礎上[1-3],在哲學視野下以“為什么微積分”為切入點,分析萊布尼茨部分數學手稿中的創新數學思想,探賾大師的“思想魅力”和“火熱思考”。

1 微分學之創新火花

圖1 萊布尼茨微分學手稿Fig.1 A differential calculus manuscript of Leibniz

1.1 洞察微分本質

在萊布尼茨眾多手跡中,最令人嘆服的是其1673年11月11日(可見,1675年中的“5”后被改成“3”)所寫數學手稿。其中給出了微分學基本思想:試把曲邊梯形分割成許多小矩形,每個小矩形與曲線之間微小直角三角形兩邊分別是曲線上相鄰兩點的縱坐標和橫坐標之差。當這兩個差均無限減小時,曲線上相鄰兩點則無限接近[4]。萊布尼茨用dx表示兩個相鄰x值之差,用dy表示相鄰y值之差,即曲線上相鄰兩點縱坐標之差,并稱之“微差”。他認為dy和dx可任意小,并構造出一個包含dx,dy的“特征三角形”,體現了“以直代曲”的創新思想。他寫道:橫坐標x的微分dx是個任意量,而縱坐標y的微分dy則可定義為它與dx之比等于縱坐標與次切距之比。即

ds/n=dx/y=dy/x

因y與次切距之比就是切線斜率,故該定義與導數定義一致。但萊布尼茨未給出嚴格切線定義,只是說“求切線就是畫一條連接曲線上距離為無窮小的兩點之間的直線?！庇矛F代數學語言可表述為,切線是割線的極限位置。

圖2 萊布尼茨特征三角形Fig.2 Characteristic triangle of Leibniz

籍此,1684年10月萊布尼茨在萊比錫《教師學報》(Acta Eruditorum)發表了論文《一種求極值和求切線的新方法,亦能應用于分數和無理量情形及非尋常類型的有關計算》(Novamethoduspromaximisetminimis,itemquetangentibus,quaenecfractasnecirrationalsquantitatesmoratur,etsingularproillicalculigenus。簡記《新方法》)。盡管全文只有6頁,且理論尚不成熟,論證也不太嚴謹,但卻具有里程碑似的重要歷史意義,因為這是數學史上第一篇正式發表的微分學文獻。此乃萊布尼茨對1673年以來其微分學研究的概括總結,著重介紹了微分定義、運算法則及曲線的極值、拐點等問題[5]。

史料表明:早在1666年，萊布尼茨就考察了平方數序列各階之差,他將此與微分相聯系:一階差相當于dy,其和等于y。這種和與差間的互逆性,與依賴于坐標之差的切線問題及依賴于坐標之和的求積問題之互逆性是一樣的。故他在考慮無窮小量和差運算時,已將其與有限量和差可逆性關系的研究相互聯系起來。

在求量之差時,萊布尼茨初用“x/d”表示對x的微分,即表示求差就會引起量的逐次降低,若同時出現不同階微分時,則只留下最低階,去掉所有高階。后他又用“dx”來代替 “x/d”。并給出一系列微分基本公式,如微分公式:

d(xy)=xdy+ydx

在推導過程中,分別給變量x,y一個微小增量dx,dy,則

(x+dy)(y+dy)=xdy+ydx+dxdy+xy

于是

d(xy)= (x+dx)(y+dy)-xy=

xdy+ydx+dxdy

因dxdy是比xdy+ydx高一階的無限小量,可以舍去,故d(xy)=xdy+ydx。

萊布尼茨宣稱運用微分基本運算法則,可得整指數冪導數公式dxn=nxn-1dx。并斷定,當n取任意實數時結論仍成立。后又推出指數、對數等超越函數的微分公式[6]。

1.2 泰勒公式還是萊布尼茨公式

圖3 萊布尼茨收斂于的無窮級數Fig.3 A Leibniz′s infinite series that converges to

o[(x-x0)n]

取x=1,x0=0,

代入計算得到結果。從展開式可見,萊布尼茨未應用階乘符號,數與數相乘以“·”來表示。用符號“×”代表乘號是由英國數學家奧特雷德(W. Oughtred,1574—1660)首創,他于1631年出版的《數學之鑰》中引入該記法。乘號曾有過10余種表達形式,現在通用的只有兩種。用“·”表示乘號源于英國數學家哈里奧特(T. Harriot, 1560—1621)。萊布尼茨認為,“×”有些像拉丁字母“X”,故反對其作為乘法符號,倡議用“·”表示乘號。還提出用“∩”表示相乘,該符號現廣泛應用于集合論。

萊布尼茨在展開式中應用了等號?！?”最早出現于英國數學家雷科德(R. Recorde, 1510—1558)的《礪智石》,源自“世上沒有比兩條平行線更相似”。但當時歐洲關于符號“=”還有其他含義,如韋達(Francois Viète,1540—1603)表示兩個數字之差,還有人表示小數點,如316.857寫成316=857。而笛卡兒(René Descartes,1596—1650)則應用符號∝表示等號。

另展開式中還有分號的使用,在現在亦可理解為乘積之意。

2 積分學之靈光閃現

圖4 萊布尼茨積分表示和運算Fig.4 Leibniz′s integral representation and operation

簡而不凡的數學符號具有神奇科學力量,一旦釋放能產生幾乎爆炸般威力。萊布尼茨所創建的一系列優美微積分符號就具有這般功效。他謹慎引入每一個數學符號,總是選擇富有啟發性的符號,以“最大限度減少人的思維勞動”。如他曾用類似根號符號來表示積分,并帶有小尾巴“d”,在圖4中,對于3～5式,萊布尼茨擬求累次積分,其把積分號變長,把第一步積分函數寫在里面,并配上dx,他未區分積分變量,均以x表之,且用xx表示x2,但三次冪萊布尼茨選用了現代符號表示。應用現代積分符號所給9個積分式為(其中第2式由作者推測而來,從上下文來看,第5式積分變量應是y):

圖5 萊布尼茨微積分運算小結Fig.5 Leibniz′s summary of calculus

此時，萊布尼茨對微積分研究已較深入,符號也有了雛形。同時印證了其所討論積分為定積分[7]。在圖5手稿中,萊布尼茨以變量x為分界線,向右依次求對x的定積分、二重積分和三重積分,注意到積分號下沒有dx;向左依次求對x的一階、二階和三階微分,注意到微分符號采用dd和ddd。第二行為第一行的計算結果,呈現出經微分和積分運算后未知數x冪的齊次變化規律性。第三行的排列更能看出規律,對x微分次數越多,其次數越小,而對x積分次數越多,其次數越大。從指數為負整數到零,再到正整數,分別對應著微分運算、元變量和積分運算,進一步印證了萊布尼茨關于微分和積分是一對互逆運算的新發現。只有確立了這一基本運算關系,才能構建出系統的微積分理論。他還推廣到對各種函數的微分和求積運算,從中總結出共同的算法程序和數學規律,使得微積分方法普遍化,進而發展成用符號表示的微積分運算法則。

圖6 萊布尼茨積分原理Fig.6 Leibniz′s integral principle

1686年,萊布尼茨又在《教師學報》發表論文《論一種深奧幾何學與不可分量及其無窮分析》(Degeometriareconditaetanalysiindivisibiliumatqueinfinitorum)。該文以討論積分學為主,謂之《新方法》續篇[8]。

由于萊布尼茨從有限差值開始無窮小運算,故他最初曾試圖將實無窮小代之以與其成比例的有限數量,即不用dx，dy本身,而用比值dy/dx。他曾以為把dx，dy看成有限量,不嚴密問題就解決了。但dy/dx同樣需要說清dx，dy含義。故萊布尼茨提出用“充分大”和“充分小”代替無窮大和無窮小,“我們可不用無窮大、無窮小,而用充分大和充分小的量,使得誤差小于給定誤差限度,故我們和阿基米德方式的不同之處僅僅在于表述,而我們的表達更為直接,更適于發明家藝術?！盵9]

為此,萊布尼茨不得不訴諸于物理或幾何模型,應用現實中量的不同層次相對性詮釋無窮大和無窮小?！爱斦劦讲煌A的無窮大與無窮小時,就像對恒星距離而言,把太陽看作一個點;而對地球半徑而言,則把普通球看作一個點。這樣,恒星距離對于普通球半徑而言是無窮的無窮大,或無窮倍的無窮大?！倍叭裟悴怀姓J無限長、無限短線段具有形而上學的嚴密性,也不承認它們是實際東西,則你一定可把它們當作一種能夠縮短論證思想的東西來使用,正如在普通分析中使用虛根一樣,我不十分相信除了把無限大、無限小看作理想東西,看作有根據的假設,還有什么必要去考察他們?！鄙踔痢拔也幌嘈糯_有無限大量和無限小量存在,它們只是虛構,但對于縮短論證和在一般敘述中則是有用的虛構?！盵10]

可見,萊布尼茨僅是把微積分當作一種數學運算方法,只要按照該方法去計算,就能得出正確結果,而不必關心其基本理論概念。正是這種理論上的不嚴謹、不嚴密,使人對“無窮小”認識模糊,其既不是有限量,也不是無限小,又不是零,難道是消逝量的鬼魂?進而導致了第二次數學危機。事實上,萊布尼茨對于微積分理論基礎的這種看似冒失的大膽相信態度,反倒可能促進了微積分及其應用的迅速發展。

3 其他數學手跡

圖7 萊布尼茨計算連分數Fig.7 Leibniz computed continued fraction

萊布尼茨治學風格從其文稿可窺一二,從中所表現出來的富有創造性、跳躍化的思維使人驚嘆不已,而其符號化思維常常又帶有某種神秘性,使得讀者小心翼翼。他好像不過分追求結果的準確性,例如連分數的計算(見圖7),而更執著于數學推導過程,他會把他的思考或作題過程一步一步地展現出來,他富有想象、粗線條式的思維讓他在微積分的世界里天馬行空、自由翱翔,而文稿內容在現在看來還不夠嚴謹、不合理、難以理解的地方,在這位偉大的數學家的眼里根本就是腳下的一粒沙子,一腳就踏過去了,而后來的讀者卻要在這個地方糾纏困惑不止,如其堅定支持者約翰·伯努利(John Bernoulli,1667—1748)所說,“如其說是解釋,不如說是謎?！盵11]

萊布尼茨曾與數百人有著書信交流,其中既有名流也有凡夫。今仍能從中找到雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli,1654—1705)等人寄來的“隨筆短箋”。萊布尼茨對數學問題的探討,絕大部分都體現在通信中。如萊布尼茨與約翰·伯努利從1694年開始通信,一直保持到1716年。在長達20余年的通信中,他們主要討論了數學和物理學問題及其與形而上學之聯系[12]。

圖8 雅各布·伯努利給萊布尼茨寄來的“隨筆短箋”Fig.8 "Essay notes" of Jacob Bernoulli to Leibniz

4 余 論

萊布尼茨的博學多才罕有所比，其研究領域涉及諸多學科。他不僅從哲學視角對數學本質進行了詮釋，還醉心于微積分研究，溝通了微分學和積分學的相互聯系，并創建了一系列優美的數學符號。

對于數學性質，萊布尼茨認為，數學(主要指算術和幾何學)是一種真理，它是以一種潛在方式存在于我們心中，是具有天賦性之學科?？赏ㄟ^考慮其來源而進行學習，或采用經驗證實的方式進行學習。萊布尼茨否認“凡是人所學到東西都不是天賦的”。數學命題的觀念是天賦的，這樣天賦不是就其現實知識而言，而是指潛在知識是天賦的，數學知識的獲得并非依靠感覺材料，在數學知識產生過程中，感覺經驗只起到“暗示、證實和確認”的作用。他認為，以數為研究對象的算術就蘊含諸事物的各種動力，成為宇宙的靜力學。數學天賦性及數學研究對象的形而上學性使得數學具有一種崇高且重要地位[13]。

萊布尼茨指出，數學是人類推理杰作，不僅可改變普通人生活方式，也能使得政治制度更加完善，且可提升人類理解度甚至消除我們與世俱來的惡。故萊布尼茨數學化思想是以數學理論為基礎并超越了數學方法，是一種形式化、模式化、嚴謹的邏輯思維方式。萊布尼茨科學奮斗目標是尋求一種可獲得知識和創造發明的普遍方法，正是這種努力導致其諸多科學發現。他倡議社會科學與數學科學進行類比，并將數學原理應用于社會科學研究之中[14]。其一系列重要數學理論為近現代數學發展奠定了基礎。他曾討論負數和復數性質，探討線性方程組消元法，并首次引入行列式概念,創立符號邏輯學基本概念，發明二進制和能進行四則運算及開方運算的計算機等，當然翹楚還是創立微積分。正是微積分的創建使得數學變得更加美妙、奇妙，且極大拓展了數學疆域[15]。