均勻網絡上SIR模型三種不同逼近方法比較

王治萍

(朔州師范高等?？茖W校 數學與計算機系，山西 朔州 036000)

0 引言

考慮靜態均勻網絡上的SIR對逼近傳染病模型,即網絡的規模N保持不變,網絡的結構保持不變。其中節點的狀態有三種狀態,易感狀態S和染病狀態I以及恢復狀態R; 并且[S]表示網絡中處于易感狀態的節點(即易感者)數量，[I]表示網絡中處于染病狀態節點(即染病者)的數量，[R]表示網絡中處于恢復狀態節點(即恢復者)的數量。[SI],[SS],[SR],[II],[IR]表示網絡中二元組(對)狀態為S-I,S-S,S-R,I-I,I-R的數量。[SSI],[ISI],[RSI]表示網絡中狀態為S-S-I,I-S-I,R-S-I三元組的數量。一個染病者和一個易感者的接觸傳染率為λ，染病者的恢復概率為γ0。應用主方程可得關于[S],[I],[SI],[SS],[SR],[II],[IR]的微分方程組如下

(1)

[S]+[I]+[R]=N,

[SS]+2[SR]+2[IR]+[II]+2[SI]=n1N

(2)

1 三種研究方法對比

下面應用三種不同的逼近方法封閉模型進而研究這三種逼近方法的優劣。

1.1 Poission分布下的SIS對逼近模型(P-PW)

當節點的染病狀態I鄰居數服從泊松(Poission)分布時，存在以下的三元組逼近公式

結合(2)式可以對系統(1)進行封閉和降維，然后得到染病鄰居數服從Poission分布時SIR對逼近傳染病模型(P-PW)如下

(3)

下面可得無病平衡點為P1(N,0,n1N,0,0,0)，其中染病倉室為[I],[SI]運用下一代再生矩陣的方法可得

1.2 多項式分布下的SIR對逼近模型(B-PW)

當節點的染病狀態I鄰居數服從多項式分布時，存在以下的三元組逼近公式

同樣結合(2)式對系統(1)進行封閉和降維，然后得到染病鄰居數服從多項式分布是SIS對逼近傳染病模型(B-PW)。

(4)

可得無病平衡點為P1(N,0,n1N,0,0,0)，其中染病倉室為[I],[SI]運用下一代再生矩陣的方法可得

1.3 平均場SIR對逼近模型(MF-PW)

Kiss基于平均場思想提出了三元組的另一種逼近公式

同樣結合(2)式可以對系統(1)進行封閉和降維，然后得到相應SIR對逼近傳染病模型(MF-PW)。

可得無病平衡點為P2(N,0,n1N,0,0,0),其中染病倉室為[I],[SI]運用下一代再生矩陣的方法可得

2 結論

由以上討論可知，節點的染病鄰居數服從泊松分布所得疾病的基本再生數大于染病鄰居數，服從多項式分布和基于平均場逼近方法得到的基本再生數；同時染病鄰居數服從多項分布和基于平均場逼近方法得到的基本再生數相同。