基于Schwarz交替法的巖溶區雙孔土洞地基穩定性分析

趙明華,袁騰方,陳言章,楊超煒

(湖南大學巖土工程研究所,湖南 長沙 410082)

巖溶地貌在我國分布較為廣泛,堤防、壩基等水利工程往往不可避免地需穿越巖溶發育區[1-2],土洞作為巖溶區土層中常見的巖溶產物,它的破壞塌陷將影響地基的穩定性。因此,如何確定地層中土洞的穩定性具有重要的工程價值。

目前,眾多學者對該問題開展了大量的研究工作,主要有試驗研究、數值分析及理論研究。在試驗研究方面,劉庭金等[3]基于室內模型試驗研究了含單個矩形空洞地基的漸進破壞全過程;Al-Tabbaa等[4]基于小比例模型試驗研究了受豎向荷載作用下的含多個圓形土洞地基的穩定性;Kiyosumi等[5]對堅硬地層中含多個矩形空洞的上方條形基礎承載力開展了離心機試驗。當依托試驗研究獲得數據后,有必要對模型做適當簡化,提出符合試驗規律的理論方法,并結合數值分析方法進行驗證。在數值研究方面,趙明華等[6]采用上限有限元法得到了下伏空洞地基極限承載力;Azam等[7]利用二維有限元軟件對含空洞的地基承載力進行了數值計算,并討論了空洞頂板厚度和空洞位置等因素對地基承載力的影響;彭芳樂等[8]利用PLAXIS分析了單一土洞存在時其位置對淺基礎承載力和沉降的影響,并對其發生機制進行了研究;Kiyosumi等[9]探究了淺基礎作用在含多個空洞地層時的極限承載力。以上數值方法計算結果相對準確,但參數選取較為復雜,限制了其在實際工程中的應用，因此有必要開展土洞穩定性評價理論方法的研究。劉之葵等[10]根據彈性理論求得單一土洞周邊土體的應力狀態,并利用Mohr-Coulomb屈服準則分析了土洞地基的穩定性;李倩倩等[11]基于復變函數理論求得了自重應力及豎向均布荷載作用下含空洞地層初始破壞的精確解答;Wang等[12]假定作用在單圓形空洞上方條形基礎的破壞模式,采用極限分析的方法得到了基礎的極限承載力公式。但目前的理論方法均是探究單一土洞的地基穩定性,而實際工程中土層存在雙孔土洞的可能性,且雙孔土洞的受力較單一土洞更為復雜,因此,有必要針對雙孔土洞的地基穩定性作進一步研究。鑒于此,本文基于Schwarz交替法求得雙孔土洞洞邊最危險點處的應力大小,利用Mohr-Coulomb強度準則判斷土體的穩定性,然后,引入穩定系數,對影響土洞穩定性的主要因素進行參數分析。

1 問題描述

廖麗萍等[13]對地基中橢球形空洞穩定性進行了分析,結果表明,在遠場應力狀態相同的條件下,橢球洞比橢圓孔更穩定。戴自航等[14]對室內試驗進行了數值模擬,研究證實:相同條件下,三維橢球狀溶洞的穩定性要大于二維橢圓形溶洞的穩定性。因此,設距基礎荷載集度q0以下h深度處存在雙孔圓形土洞,不考慮土洞內部填充物的影響,如圖1所示,圖中b為基礎寬度；q為作用在分析域土體上的垂直應力;p為作用在分析域土體上的水平應力;r1、r2分別為土洞1、土洞2的半徑；d為土洞1圓心O1與土洞2圓心O2的相對位置;θ為土體中任一點O在x1O1y1坐標系下的環向坐標;z1為土體中任一點O在x1O1y1坐標系下的徑向坐標;z2為土體中任一點O在x2O2y2坐標系下的徑向坐標。為減小開孔應力擾動的影響,要求h≥6max(r1,r2)[15],可將地基中土洞周圍土體應力分布問題簡化為二維平面上雙向受壓無限板孔口的應力分布問題。對基底下土洞進行應力分析時,取土洞圓心距荷載邊界的距離L=6max(r1,r2)作為分析域。本文利用復變函數進行求解,z1、z2、d用復數表示。

圖1 基礎下存在雙孔圓形土洞

由于基礎寬度b并不是無限大,本文采用文獻[10,16]中的處理方法:在分析域外,采用彈性半無限空間的理論解,分別計算出M點、N點處的附加應力作為代表M點水平面和N點水平面處的附加應力,此時:

(1)

式中:αM、αN分別為M點、N點的附加應力系數;σCM、σCN分別為M點、N點處土體的自重應力;λ為土體的側壓力系數,λ=μ/(1-μ),μ為土的泊松比。當基礎荷載集度為大面積堆載時,αM=1,αN=1,則q=q0+σCM,p=λ(q0+σCN)。

2 Schwarz交替法求解雙孔土洞應力

2.1 Schwarz交替法

利用Schwarz交替法求解雙孔圓形土洞的基本過程[17]如下:①在平面中先開挖土洞1,該問題為單連通域問題,未開挖的土洞2周邊應力可通過柯西積分法求出;②開挖土洞2,即在土洞2周邊作用相應的平衡外力使孔邊外載為0,可求出土洞1周邊的應力。

上述過程為完成一次迭代。若算出的土洞1周邊的面力為零分布,將式(1)(2)的計算結果進行疊加即為土洞1、2均存在時的解答,若不為零,則在土洞1周邊作用相應的平衡面力。

迭代過程中需進行坐標系轉換,由坐標系x1O1y1平移至坐標系x2O2y2時兩復應力函數的轉換關系為[18]

(2)

同理,由坐標系x2O2y2平移至坐標系x1O1y1時兩復應力函數之間的轉換關系為

(3)

2.2 雙孔圓形土洞應力的求解

2.2.1 只存在土洞1時的復應力函數

將半徑為r1的土洞映射到ζ平面單位圓外,其映射函數取z1=ω(ζ)=r1ζ,可得復應力函數應滿足[19]:

(4)

式中:σ為位于ζ平面的單位圓孔邊點;γ為單位圓圓周,積分方向沿著逆時針方向;φ0(σ)為單位圓外解析函數φ0(ζ)的邊界值;ψ0(σ)為單位圓外解析函數ψ0(ζ)的邊界值;f0(σ)為應力邊界條件,應滿足:

(5)

式中:X1、Y1分別為土洞1邊界上一點沿x軸、y軸的面力分量;X、Y分別為土洞1邊界上一點沿x軸、y軸的合力分量;B1、B2、C取決于土洞1遠端處的荷載,文中X1=Y1=X=Y=0,B1=(q+p)/4,B2=(q-p)/2,C=0。

聯立式(4)(5),并根據Harnack定理可得只存在土洞1時在坐標系x1O1y1下的復應力函數為

(6)

只存在土洞1時在坐標系x2O2y2下的復應力函數φ21(z2)、ψ21(z2)可通過式(2)進行坐標轉換求得。

2.2.2 一次迭代后的復應力函數

由于土洞1的開挖而在土洞2邊界上作用的多余面力為

(7)

式中:t2為z平面上土洞2的邊界點。

為滿足土洞2的應力邊界條件,需加上反面力-f21(t2),并用反面力代替式(4)中的f0(σ),根據Harnack定理可得一次迭代后在坐標系x2O2y2下的復應力函數為

(8)

一次迭代后在坐標系x1O1y1下的復應力函數φ12(z1)、ψ12(z1)可通過式(3)進行坐標轉換求得。

2.2.3 二次迭代后的復應力函數

由φ12(z1)、ψ12(z1)在土洞1邊界上產生的多余面力為

(9)

式中:t1為z平面上土洞1的邊界點。

同理,為滿足土洞1的應力邊界條件,需加上反面力-f12(t1),并用反面力代替式(4)中的f0(σ),根據Harnack定理可得二次迭代后在坐標系x1O1y1下的復應力函數為

(10)

二次迭代后在坐標系x2O2y2下的復應力函數φ23(z1)、ψ23(z1)可通過式(3)進行坐標轉換求得。

2.2.4 土體中任一點應力的求解

完成兩次迭代后,土洞1的應力邊界條件精確滿足,土洞2邊界存在多余面力,坐標系x1O1y1下的復應力函數φ1(z1)和ψ1(z1)為

(11)

土體中任一點的應力分量應滿足[20]:

(12)

同理,也可通過坐標系x2O2y2下的復應力函數φ2(z2)和ψ2(z2)推求土體中任一點的應力分量。

2.3 雙孔土洞穩定性分析

2.3.1 應力坐標轉換及主應力的求解

應力分量由極坐標向直角坐標變換的關系式為

(13)

式中:σx為法線與x軸平行的面上的正應力;σy為法線與y軸平行的面上的正應力;τxy為法線與x軸平行的面上的切應力。

可求得土體中任一點的最大、最小主應力為

(14)

2.3.2Mohr-Coulomb強度準則

如圖2所示,根據土體抗剪強度線與應力莫爾圓相切的幾何關系,建立土體的極限平衡條件[21]:

(15)

式中:σ1為最大主應力;σ3為最小主應力;c為土體的黏聚力;φ為土體的內摩擦角。

圖2 土體的極限平衡條件

令式(14)中σmin=σ3,代入式(15)求得σ1,若σmax>σ1,則土洞發生破壞,反之則土洞處于穩定狀態。

2.3.3 判定土洞洞邊最危險點的穩定狀態

通過式(13)(14)求出的是土體任一點的最大、最小應力,為了判定出土洞洞邊最危險點處是否發生破壞,本文沿逆時針方向以45°為間隔對土洞1洞邊進行劃分,對土洞2洞邊沿順時針方向按45°為間隔劃分,如圖3所示,按式(14)求出土洞洞邊8個點處的最大、最小應力,再按式(15)的土體極限平衡條件進行判斷。

圖3 土洞洞邊按45°間隔劃分

3 結果驗證

3.1 理論及數值驗證

如圖4所示,兩圓大小相等且關于y軸對稱,Ling[22]利用雙極坐標系求得了圓孔周邊點M1、N1處環向應力σθ的精確解。為進一步驗證Schwarz交替法的計算結果,使用ABAQUS軟件建立如圖5所示的平面應變計算模型,計算時取孔洞半徑r=1 m,q=p=1 Pa,模型邊界距孔洞洞心的距離為孔洞半徑的6倍。將利用Schwarz交替法完成二次迭代后求得的結果與文獻[22]以及數值模擬的結果進行對比,如表1所示。

圖4 含兩個相同圓孔的雙向受壓板

圖5 ABAQUS計算模型

由表1可知,基于Schwarz交替法完成二次迭代后求得的結果與文獻[22]以及數值模擬的結果基本一致,最大誤差在5%以內,值得注意的是,當圓心距d12逐漸變大,所求的結果越接近于精確解。

表1 σθ計算結果的對比

3.2 算例驗證

某水庫浸沒區建筑物采用1.6 m×1.6 m的柱下獨立基礎[10],如圖6所示,基礎埋深為1 m,基底下土層為硬塑黏土,水位埋深1.8 m,黏土重度γ1=18 kN/m3,飽和重度γsat=18.5 kN/m3,黏聚力c=50 kPa,內摩擦角φ=26°,土側壓力系數λ取0.5,基底附加壓力q0=180 kPa,基礎底面以下5.0 m處有一半徑為0.3 m的土洞。

圖6 計算簡圖

該算例為單一土洞問題,為本文解在r1=0.3 m,r2=0時的特殊情況,先求出距土洞洞心6r分析域處的垂直應力q=72 kPa及水平應力p=38 kPa,按本文計算方法,根據式(12)可求得1/4土洞以15°為間隔時E～K點處土洞洞邊應力σθ的計算結果:θ=0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°時土洞洞邊應力σθ分別為178.00 kPa、168.89 kPa、144.00 kPa、110.00 kPa、76.00 kPa、51.11 kPa、42.00 kPa。與文獻[10]計算結果一致,這是由于利用Schwarz交替法求解單連通域問題時,不需要進行多余面力的消除,退化為文獻[10]中的齊爾西解答,從而驗證了本文計算方法的準確性。

4 參數分析

影響雙孔圓形土洞穩定性的參數主要有以下兩方面:①土洞參數:土洞1、2的半徑r1、r2,土洞1與土洞2的相對位置d等;②土體參數:土體的側壓力系數λ,土體的抗剪強度指標c、φ等。因此本文將著重從土體的側壓力系數、土洞半徑比及土洞相對位置3個方面對雙孔土洞的穩定性進行參數分析。

4.1 計算參數及評價指標

為了能直觀地描述各參數對土洞穩定性的影響,引入穩定系數k,本文以極限平衡狀態下土體主應力σ1與土洞周邊最大主應力σmax的比值來判定土洞的穩定性[23]:

(16)

當穩定系數k≥1時,表明土洞的穩定性滿足要求,反之則需要對基礎下的土洞進行處置。

4.2 雙孔圓形土洞穩定性的影響分析

4.2.1 土體側壓力系數的影響分析

土體側壓力系數λ與泊松比μ滿足λ=μ/(1-μ),土的泊松比與土的種類和狀態有關,μ的經驗值在0.15～0.42范圍內[21]。因此為分析土體側壓力系數對土洞穩定性的影響,假定基礎荷載為大面積堆載,令q=50 kPa,r1=r2=1 m,d=(3,0),c=50 kPa,φ=26°,λ分別為0.1、0.3、0.5、0.7、0.9,由于r1=r2,將土洞1和土洞2平行布置,根據對稱性可得土洞1和土洞2應力分布相同,因此表2僅給出土洞1洞邊8個點處的應力值。

根據表2可知,點1-2和1-8,點1-4和1-6洞邊的應力相同,這正好驗證了荷載對稱性;由于土洞邊界存在σr=τrθ=0,故理論上σmin=0,而表2求得σmin相對于σmax基本可以忽略不計,這也間接說明了二次迭代計算結果的精確性;土洞1在點1-1處應力達到最大值,處于最危險狀態。圖7給出了土洞邊界點1-1的穩定系數k與土體側壓力系數λ的關系曲線。

圖7 土體側壓力系數對土洞穩定性的影響

由圖7可知,土洞的穩定性隨土體側壓力系數的增大呈線性增大,當q=50 kPa時,隨著土體側壓力系數的增大,土洞的穩定性從不穩定向穩定跨越,且土洞的穩定性隨垂直應力q的增大而逐漸減小。

表2 土洞1洞邊最大、最小應力 kPa

4.2.2 土洞半徑比的影響分析

由于荷載具有對稱性,為便于分析土洞半徑對土洞穩定性的影響,定義土洞2與土洞1的半徑比m21=r2/r1,假定基礎荷載為大面積堆載,令q=50 kPa,λ=0.5,d=(3,0),c=50 kPa,φ=26°,r1=1 m,r2分別為0.5 m、1.0 m、1.5 m、2.0 m,通過式(14)可計算求得土洞1、土洞2分別在點1-1、點2-1處于最危險狀態。圖8給出了土洞1邊界點1-1,土洞2邊界點2-1的穩定系數k與土洞半徑比m21的關系曲線。

圖8 土洞半徑比對土洞穩定性的影響

由圖8可知,土洞的穩定性隨土洞半徑比的增大而逐漸減小,當m21=1.0時,邊界點1-1和2-1的穩定系數基本一致,這恰好解釋了模型的荷載對稱性以及幾何對稱性,當m21=2.0時,土洞1和土洞2相切,邊界點1-1和2-1重合,因此得出的穩定系數k一致。

4.2.3 土洞相對位置的影響分析

假定基礎荷載為大面積堆載,令q=50 kPa,λ=0.5,r1=r2=1 m,c=50 kPa,φ=26°,并以土洞1圓心O1為基準點,土洞相對位置d分別為(3,0)、(3,-1)、(3,-2)、(3,-3),計算得到土洞1在邊界點1-1處應力最大,表3給出了不同土體相對位置下土洞邊界點1-1的穩定系數值。

由表3可知,當土洞相對位置d從(3,0)增大到(3,-1)時,土洞的穩定性基本保持不變,當土洞相對位置繼續增大,土洞穩定系數則隨之線性增大；當q=60 kPa時,隨著土洞相對位置的增大,土洞的穩定性從不穩定向穩定跨越,且土洞的穩定系數k與垂直應力q成反相關關系。

表3 不同土體相對位置下邊界點1-1的穩定系數

5 結 語

本文基于Schwarz交替法進行二次迭代求出了含雙孔土洞土層中任一點的最大、最小應力值,計算結果具有較高的精度,并利用Mohr-Coulomb強度準則對土洞穩定性進行評價,該方法可用于分析基礎下任意位置雙孔土洞的穩定性,比現有計算方法應用范圍更廣。通過參數分析,探討了土體的側壓力系數、土洞半徑比以及土洞相對位置對土洞穩定性的影響,結果表明:土洞穩定系數與土體側壓力系數呈線性正相關,隨土洞半徑比的增大而減小,隨土洞相對位置的增大先保持不變而后線性增大。