對管中駐波開口端的聲波反射的討論

向端燕

摘 要：高中物理教材在解釋駐波的形成原理時，經常提到聲波在管口發生反射。本文從聲波的本質和傳播規律出發，借助氣體分子模型，對這一問題進行了分析。討論發現聲波入射到管的開口端以后，由于管內外壓強不同，不僅會發生反射，而且反射波和入射波是反相的。

關鍵詞：聲波；駐波；開口端；反射

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2018）10-0053-2

駐波是一種常見的物理現象。各種樂器的發聲原理都是和駐波相關的，比如常見的弦樂器和管樂器分別是利用了弦上的駐波和管中的駐波進行發聲。由于駐波應用的廣泛性，國外的很多高中物理教材都把關于駐波的理論和應用列入其中，比如國際高中文憑課程（IBDP）和英國高中課程（A-level）。我國的高中物理教學大綱則是把駐波的內容作為選修的部分，用以幫助學生有機結合與波相關的各種知識點，從而能夠更加全面地認識波。在筆者多年的物理教學中，發現在解釋管中駐波的形成原理時，物理教材上經常是一筆帶過，簡單提到聲波在管口發生反射形成反射波，入射波和反射波的疊加形成駐波。對此很多學生會提出疑問，即聲波在閉口端的反射容易理解，但是聲波在開口端究竟是如何發生反射的呢？本文嘗試從聲波的本質和傳播規律出發，對這一問題進行討論。

1 駐波的形成原理

物理教材中對駐波的定義是這樣的：“兩列沿相反方向傳播的振幅相同、頻率相同的波疊加時形成的波叫做駐波?！盵1]那么，怎樣得到兩列沿相反方向傳播的波，而且這兩列波的振幅和頻率都相同呢？在實踐中一般是利用了波的反射。比如說弦上的駐波，當聲波傳播到固定端時會發生反射，反射波與入射波傳播方向相反，振幅和頻率都相同。因此，入射波和反射波的疊加形成駐波。對于管中的駐波，當聲波傳播到閉口端時同樣發生反射，入射波和反射波疊加形成駐波。由于弦的固定端和管的閉口端相當于波在傳輸過程中遇到的障礙物，因此學生對于波在弦的固定端和管的閉口端發生反射是比較容易接受的。 然而，對于管中的駐波，還有另外一種情況是兩端開口的管中形成的駐波。這樣一來，駐波的形成原理解釋為波源在一個開口端發生振動產生入射波，入射波傳播到另一個開口端時發生反射，入射波和反射波疊加形成駐波。那么，學生就會有一個問題，對于開口端來說，管內和管外都是空氣，波的傳播介質并沒有改變，波是如何發生反射的呢？對于這個問題，具體的計算需要用到聲阻抗匹配的理論，已經超出了高中物理的大綱范圍，因此教材中并沒有對此進行解釋。一般教學時也僅是簡單地解釋為管內的空氣受到管壁的限制，而管外的空氣則沒有限制，波從管內進入管外，相當于邊界條件的變化，因此會產生反射。然而，這樣的解釋對于很多學生來說無疑是不夠清楚的。因此，本文試圖從學生熟悉的氣體分子模型出發，對這一問題進行探討。

2 聲波的本質

聲波的本質是空氣分子的振動。由于波源的往復振動，帶動了波源附近的空氣分子做頻率相同的往復振動，這種振動進一步被傳遞給遠處的分子，從而造成聲波的傳播。聲波是一種縱波，空氣分子的振動方向和波的傳播方向是平行的。在聲波的傳播方向上，由于空氣分子的振動，造成有些區域的空氣分子比較密集，稱為縱波的密部；有些區域的空氣分子比較稀疏，稱為縱波的疏部，如圖1所示。根據氣體分子模型的理論，空氣分子密度大的地方壓強高，密度低的地方壓強也低。因此，在聲波的傳播方向上密部和疏部的交替出現同時意味著氣體壓強的規律變化。由于這個原因，聲波有時也被稱作壓強波。

3 聲波在開口端的反射

現在假設有一列聲波在一個兩端開口的管中從左向右傳播，當聲波傳輸到開口端，會發生什么事情呢？我們可以首先討論聲波的密部到達開口端的情況。顯然，由于管內外都是空氣，而且密部的壓強比管外的氣體壓強高，或者說密部的氣體分子密度比管外氣體分子密度大，分子會向管外擴散，分子的能量也會在瞬間傳遞給管外的氣體分子。而且，由于氣體分子的慣性，這些分子的動能會進一步沿各個方向傳播開去，造成的結果就是管外靠近開口端的區域會出現一個氣體分子密度偏低的疏部。這樣，管內靠近開口端的氣體會由于壓強差向管外運動，在管內也造成一個密度偏低的疏部。這個過程進一步重復，管內的氣體不斷由壓強高的地方往壓強偏低的疏部運動，原來壓強高的地方則形成新的疏部，其結果就好像是有一個疏部在沿著入射波的反方向運動一樣。從另一個角度上說，也可以認為是聲波的密部傳輸到開口端以后，有一個反射波沿反方向傳播，而且反射波表現為聲波的疏部。

另一方面，如果是聲波的疏部傳輸到開口端，由于疏部的壓強低于管外的大氣壓強，管外的氣體會流入管內，造成開口端附近形成一個密部。由于這些氣體分子的慣性，它們會進一步運動帶動管內更深處的氣體分子開始運動，從而形成新的密部，這個過程不斷重復，其結果就是有一個密部會一步步地沿著與入射波相反的方向運動?？傮w效果就相當于是聲波的疏部傳輸到開口端以后，反射波表現為一個密部的反向運動。

根據以上的分析，可以認為聲波入射到開口端以后，由于管內外壓強不同，不僅會發生反射，而且反射波和入射波是反相的。從這一點上看，聲波在開口端的反射和閉口端的反射是不一樣的。如果是聲波入射到閉口端，由于氣體分子不與外界發生相互作用，氣體分子的密度也不會改變。因此密部入射，反射波也是密部；疏部入射，反射波也是疏部。反射波和入射波是同相的[2]。

4 總 結

本文通過氣體分子模型，對聲波在管的開口端的反射問題作了一些定性的分析，以期幫助學生更好地從本質上理解聲波在開口端的反射問題。氣體分子模型雖然簡單，但是在物理學中有非常廣泛的應用，能夠對氣體的很多宏觀性質作出解釋。利用氣體分子模型來討論管中駐波在開口端的反射問題，也可看作是氣體分子模型的一個成功應用。

參考文獻：

[1]David Homer. Michael Bowen-Jones. Physics Course Companion[M]. United Kingdom： Oxford University Press， 2014：162.

[2]漆安慎，杜嬋英.力學[M].北京：高等教育出版社，1999：324.