基于置換思想的代數方程求解理論探析

趙增遜,馬 梅,王 偉

(陜西鐵路工程職業技術學院 基礎課部,陜西 渭南 714000)

1545年G·卡爾達諾出版《大術》，至此，歷經數千年后,數學家解決了四次以下的代數方程求解問題[1]1-14,306-330。此后,數學家致力于解更高次代數方程[2]79-86。Lagrange提出用置換思想解代數方程，代數方程求解由尋找計算技巧轉變為尋找通用方法[3]1-128,從尋找求根公式變為尋找預解式[4]。Lagrange提出的一些重要概念,如域、置換群等,促使代數方程求解問題最終解決[5]。很多研究者,如伊夫斯[6]208-211、李迪[7]302-305、R·R·Hamburg[8]等,指出Lagrange的杰出貢獻是提出了置換思想。筆者深入研究Lagrange于1770—1771年發表的法語論文RéflexionssurlaRésolutionalgébriquedeséquations原文[9]205-421,嘗試還原Lagrange置換思想的產生過程。

1 置換思想產生的原因

事實上,到Lagrange時期,解代數方程已經取得了一定的成果。Cardano,Ferrari,Tschirnhaus,Bezut,Euler等采用各自的方法,已經解決三次、四次方程的求解問題。Lagrange發現,他們的方法區別在于運算技巧,而本質相同。Lagrange深受啟發,提出輔助方程理論,即解三次方程需要預解一個二次的輔助方程,解四次方程需要預解一個三次的輔助方程,這樣，四次以下的方程可以通過解輔助方程而得到原方程的解。而在后續的研究中,Lagrange發現解五次方程需要預解一個二十四次的輔助方程(雖然其可化為六次)[10]27-59,很顯然,五次方程無法通過解輔助方程而得到解。此時,尋找一種區別于運用計算技巧的方法勢在必行。置換思想應運而生。

2 置換思想產生過程

2.1 對已知解法的思考

解代數方程的關鍵是解其輔助方程。Cardano得到的三次方程的輔助方程為

不失一般性,設

x3+mx2+nx+p=0

x′3+n′x′+p′=0,

(1)

因此

即

(2)

(3)

式(2)、式(3)聯立,

(4)

知道

x3-1=(x-1)(x-α)(x-β)。

(5)

對式(5)求導,

3x2=(x-α)(x-β)+(x-1)(x-β)+

(x-1)(x-α),

令x=1,α,β,有

(6)

將式(6)代入式(4)有

(7)

r即是輔助方程的根y的值,而對于式(7),可以任意交換a,b,c的位置,即

即輔助方程的根有6個,那么原方程的輔助方程必為六次。關于y的方程次數依賴于預解式在原方程根下置換的不同值的個數[9]213-217。

既然輔助方程的次數由預解式在原方程根下置換的不同值的個數確定[11]1-20,那么需要找到這個預解式,進而確定輔助方程的次數,構造相應的輔助方程,通過解輔助方程解原方程,其關鍵因素是置換思想。

2.2 用置換思想解代數方程

Lagrange嘗試用置換思想解代數方程。設

x3+mx2+nx+p=0

r=Aa+Bb+Cc,

則

αr=αAa+αBb+αCc

應等于其他5個中的1個。若

αr=Ab+Bc+Ca,

則C=αA,B=α2A,α3A=A。令A=1,則C=α,B=α2,若

r=a+αb+α2c,

s=a+αc+α2b,

則輔助方程的根為r,ar，a2r;s,as,a2s。設輔助方程是關于y的方程,由

(y-r)(y-ar)(y-a2r)=y3-r3,

(y-s)(y-as)(y-a2s)=y3-s3,

故有

y6-(r3+s3)y3+r3s3=0。

由根與系數關系

a+b+c=-m,

ab+ac+bc=n,

abc=-p,

可知

r3+s3=-m3+9mn-27p,

r3s3=(m2-3n)3。

故輔助方程為

y6-(-2m3+9mn-27p)y3+(m2-3n)3=0。

令z=y3,得

z2-(-2m3+9mn-27p)z+(m2-3n)3=0。

(8)

與a+b+c=-m聯立方程組,得到原方程的根，

Lagrange用置換思想順利得到了三次方程的解。解方程關鍵是解輔助方程,確定輔助方程次數的核心是找到合適的預解式。

3 用置換思想求解代數方程的內涵

一般意義上講,解代數方程就是解輔助方程,需要尋找一個預解式,該預解式在原方程根的置換下取不同值的個數即為輔助方程的次數。如果解n次方程能得到一個r(r

事實上并不簡單。Lagrange嘗試用置換思想解n次(五次及五次以上)代數方程,發現r次的輔助方程并不好找。但運用置換方法解代數方程的思想已經形成,代數學家開始按這種思路解高次的代數方程,Gauss將它運用在分圓方程上取得了輝煌的成就,Ruffini繼續了Lagrange的工作,最終宣布五次及五次以上代數方程一般沒有根式解,Abel給出了五次及五次以上代數方程沒有一般解的證明,Galois最終取得了解代數方程的勝利。

4 結束語

用置換思想解代數方程是一元代數方程求解史上的偉大發現之一,直接動因是Lagrange解五次及五次以上代數方程,它也是Lagrange輔助方程理論的直接結果。置換思想是代數方程求解發展到一定階段的必然產物,是Lagrange經過認真計算、縝密思考、嚴格實踐得出的。