借助分數實際問題促進學生思維發展

四川省巴中市恩陽第一小學 鐘立新

思維是智力的核心，加強學生思維訓練，發展學生的數學思維能力，是數學教學的重要任務。作為數學教師，應持之以恒地在課堂教學活動中，引導學生開展多種形式的思維訓練。在小學高年級分數、百分數實際問題教學中，應該重視并加強以下幾種思維訓練，以實現不同學生的數學思維能力得到不同發展。

一、等量思維訓練

尋找分數、百分數實際問題中數量間的等量關系，運用方程解決一些分數實際問題，已是普遍的解題思路，也順應中學的數學教學。因此，必須讓學生學會抓分數實際問題中數量間的等量關系。例如：某廠第一車間的人數比第二車間的5/8多21人，如果從第二車間調36人到第一車間，則第一車間的人數與第二車間人數相等，原來兩個車間各有多少人？

【分析與解】

這一數學問題用別的方法解決，難度較大。如果從方程這個角度來思考，就比較容易。從題中可知：第一車間的人數相當于第二車間的5/8+21人。即：第二車間人數-36人=第一車間的人數+36人。

解：設第二車間原來有x人，根據題意，得：

x-36=5/8x+21+36

化簡為 3/8x=93

x=248

經檢驗x=248是原方程的解

則 第一車間原有248×（5/8）+21=176（人）生數是乙校學生數的42%，那么兩校女生數占兩校學生總數的百分之幾？

【分析與解】

此題的條件較抽象，不利于思考解答。若設乙校有學生人數800人（也可為其他數），則甲校學生人數為800×40%=320（人），女生人數為320×30%=96（人）；乙校女生人數為800×（1-42%）=464（人）；那么兩校女生人數占兩?？側藬档模?6+464）÷（800+320）=50%。

二、假設思維訓練

有時根據解決數學實際問題的需要，先假設題目中的某一個條件為具體數值（假設的數據要便于計算）或簡單實例，便能從中發現解題規律，使問題化難為易。例如：已知甲校學生數是乙校學生數的40%，甲校女生數是甲校學生數的30%，乙校男

三、轉化思維訓練

有些數學問題在不改變原題意的前提下，變個形式或換一種說法，就會使條件和問題變得明朗，有利于幫助學生理解和分析題中的數量關系，達到順利解決數學問題之目的。例如：一捆電線，第一次用去10米；第二次用去余下的1/2；第三次全部用完，正好比原長的1/3多5米。這捆電線原來有多少米？

【分析與解】

此題中的1/2和1/3兩個分率，它們的單位“l”不同，解題顯得十分困難。為突破這一難點，如果把“用去余下的1/2”轉換成“用去原長的1/3多5米”（根據題意：第二次用去余下的1/2，第三次全部用完”可知：第二次與第三次用去的是相等的），那么這題的解答也就變容易了。這捆電線原來長（10+5+5）÷（1-1/3-1/3）=60（米）

又如：楓葉服裝廠接到生產2400件襯衫的任務，前3天完成了40% 。照這樣計算，完成這項生產任務一共要用多少天？

【分析與解】

如果我們把完成2400件襯衫這項生產任務所需要的總天數看作單位“1”，“前3天完成了40%”，換句話也就是說“完成這項生產任務所需要總天數的40%是3天”，根據分數除法的意義，要求完成這項生產任務一共需用多少天？可以直接列式為：3÷40%=7.5（天）

四、聯想思維訓練

聯想是由此時獲取的信息想到別的相關信息。在數學教學中，要教會學生聯想，以拓寬學生的解題思路，溝通知識之間的聯系，逐漸把知識轉化為能力。例如：某中學有男生240人，女生人數相當于男生的7/8。這個中學共有學生多少人？

【分析與解】

由“女生人數相當于男生的7/8”，可以聯想到以下數量關系：①男生人數是女生的8/7。 ②女生人數比男生少1/8。③男生人數比女生多1/7。 ④女生人數是7份，男生是8份，全校共15份。⑤女生人數占全校學生數的7/15（或男生人數占全校學生數的8/15）。⑥女生人數與男生的比是7：8（或男生人數與女生的比是 8：7）。

依據原題和聯想的這些數量關系，此題便有多種解法。

解法一：240×（1+7/8）=450（人）

解法二：240÷8/7+240=450（人）

解法三：240×（1-1/8）+240=450（人）

解法四：240÷（1+1/7）+240=450（人）

解法五：（240÷8）×15=450（人）

解法六：240÷（1-7/15）=450（人） [或 240÷8/15=450（人）]

解法七：設女生人數為x人。則 x：240=7：8 x=240×7÷8

全校學生數 =240×7÷8＋240=450（人）

……

五、逆向思維訓練

順向思維與逆向思維是思維方法的兩種相反形式。一般來說，學生順著題意去思維難度小，而從條件結尾處入手，倒推而上，去逆向思維不太適應。對此，我們可選擇一些實際問題對學生進行逆向思維訓練。例如：一個賣桃人，第一次賣掉他所有桃子的1/2，第二次賣掉了5個，第三次賣了他剩下的一半，第四次賣去13個，第五次買了剩下的50%，這時還剩下18個桃子。賣桃人原來一共有多少個桃子？

【分析與解】

這道題中出現了三個不同的單位“1”。第一次是把賣桃人所有的桃子看作單位“1”；第三次是把第二次賣后剩下的桃子看作單位“1”；第五次是把第四次賣后剩下的桃子看作單位“1”。如果順著題目所給的條件去分析，則很難求解。這時，我們便可從“還剩下18個桃子”處入手，向前逆推而上，問題就好解決了。先求第四次賣后剩下的桃子數：18÷（1-50%）=36（個）；又求第三次賣后剩下的桃子數：36+13=49（個）；再求第二次賣后剩下的桃子數：49÷（1-1/2）=98（個）；然后求第一次賣后剩下的桃子數：98+5=103（個）；最后求一共有多少個桃子：103÷（1-1/2）=206（個）

列綜合算式：

{[18÷（1-50%）+13] ÷（1-1/2）+5}÷（1-1/2）=206（個）。

六、定量思維訓練

有些分數實際問題中，一個數量的變化，往往引起其他數量的變化。只要仔細分析，總存在著不變量，我們就以此作為解題的突破口。

1.總量不變

例如：明德學校數學教師人數是語文教師人數的4/7，今年有6位語文教師改教數學，那么語文教師是數學教師人數的5/6。原來語文、數學教師各有多少人？

【分析與解】

由于“今年有6位語文教師改教數學”，那么，語文教師人數就發生變化，同時數學教師人數也隨著發生了變化。但語文、數學教師的總人數始終沒有變，我們就以語、數教師總人數不變為突破口。把語文、數學教師的總人數看作單位“1”，先弄清數學教師變化前、后人數分別占語文、數學教師的總人數的幾分之幾？求出語文、數學教師的總人數，再求出語文、數學教師各有多少人？

根據“數學教師人數是語文教師人數的4/7”，可知數學教師占語文、數學教師總人數的4/11；由于有6位語文教師改教數學后“語文教師是數學教師人數的5/6”，可知數學教師人數占語文、數學教師總人數的6/11。因此，語文、數學教師總人數為6÷（6/11-4/11）=33（人）。再根據“原來數學教師人數是語文教師人數的4/7”，將語文、數學教師總人數按4：7進行分配，求出原有的數學教師33×4/11=12（人）、原有的語文教師33×7/11=21（人）。

列綜合算式：

原有的數學教師：6÷（6/11-4/11）×4/11=12（人）

原有的語文教師：6÷（6/11-4/11）×7/11=21（人）

2.部分量不變

例如：某糧店運進面粉和大米共480千克，其中面粉占總數的1/4，后來又運進一些面粉，這時面粉占總數的5/14，糧店現有面粉和大米共多少千克？

【分析與解】

題中面粉數量發生了變化，面粉和大米的總重量也就發生了變化；但仔細分析，大米的重量始終沒有變，它是一個不變量。因此，先求出大米的重量 480×（1-1/4）=360（千克），占現有面粉和大米總重量的（1-5/14），所以現有面粉和大米共重360÷（1-5/14）=560（千克）。

列綜合算式：480×（1-1/4）÷（1-5/14）=560（千克）

3.差不變

例如：有兩根繩子，一根長10米，另一根長15米，把兩根繩子都剪下同樣長的一段后，短繩子剩下的長度是長繩子剩下長度的4/9。剪下的一段有多少米？

【分析與解】

兩根繩子剪前與剪后的長差沒有變，即兩根繩子長度差為：15-10=5（米）,它相當于長繩子剩下長度的（1-4/9）。

解：①長繩子剪下后剩下的長度為：

（15-10）÷（1-4/9）=9（米）

15兩根繩子剪下同樣長的一段為：

15-9=6（米）

七、發散思維訓練

教學中注重發散思維的訓練，可以使學生的解題思路開闊，妙法頓生。一題多解便是訓練發散思維的好素材，通過一題多解，引導學生就不同的角度、不同的方位分析、思考同一問題，有助于幫助學生理解應用題的結構，熟習數量間的關系，對達到觸類旁通，舉一反三之目的，將產生十分積極的作用。例如：生產小組加工一批零件，原計劃用14天，平均每天加工1500個零件。實際每天加工的零件比原計劃每天加工的多2/5。實際用了多少天就完成了加工任務？

【分析與解】

1.按一般應用題解

解法一：先求出實際每天加工的零件數，再求出這批零件的總數，然后求實際用了多少天？

1500×14÷[1500×（1+2/5）]=10（天）

解法二：先求出實際每天加工多少個零件，再求出實際每天加工的零件數是原計劃每天加工零件數的多少倍，最后求出即使用了多少天？

14÷[1500 ×（1+2/5）÷1500]=10（天）

解法三：先求實際每天比計劃每天多加工的零件數，再求14天多加工的零件數，然后求出實際提前的天數，最后求實際用了多少天？

14-1500×2/5×14÷[1500 ×（1+2/5）]=10（天）

2.按工程問題去解

把要加工的這批零件看作單位“1”，原計劃用14天，則原計劃每天加工這批零件的1/14，實際每天加工的就是1/14×（1+2/5）。這樣思考列式時就撇開了“1500個零件”這個具體的量，使解法顯得新穎、巧妙。

解法四：按解法一的思路，列式為1÷[1/14×（1+2/5）]=10（天）

解法五：按解法二的思路，列式為 14÷[1/14×（1+2/5）÷1/14]=10（天）

解法六：按解法三的思路，列式為 14-1/14×2/5×14÷[1/14×（1+2/5）]=10（天）

3.列方程解

解法七：根據實際加工的零件總數等于原計劃加工的零件總數，設實際用了x天可完成加工任務，則1500×（1+2/5）× x=1500×14

x=10

解法八：把原計劃加工的零件總數看作單位“1”，實際每天就加工1/14×（1+2/5），根據解法七的思路，設實際用了x天，則1/14×（1+2/5）x=1

x=10

解法九：依據實際提前的天數加上實際用的天數等于原計劃用的天數。設實際提前x天完成加工任務，

x=4

14-4=10（天）

4.用正比例方法解

解法十：已知每天加工的零件個數一定，加工零件的總數和實際加工天數成正比例。設實際用了x天完成任務，

x=10

解法十一：把這批零件總數看作單位“1”，實際每天加工這批零件的1/14×（1+2/5），利用解法十的思路，設實際用了x天，

x=10

5.用反比例方法解

解法十二：已知加工零件總數一定，每天加工零件數和加工的天數成反比例。設實際用了x天完成任務，則 1500×14=1500×（1+2/5）x

x=10

6.用特殊方法去解

解法十三：把原計劃每天完成的工作量看成“1”，則工作總量為1×14=14，再求實際用的天數，問題就得到解決了。即1×14÷（1+2/5）=10（天），從而找到了最簡捷的解法。