為幾例三角函數問題的求解『把脈』

■馮克永

三角函數在高中數學中處于知識與方法的交匯點，在高考中占有一定的比例。因此三角函數的學習，對掌握整個高中數學的基礎知識和基本技能有著重要的作用，但是，由于種種原因，同學們在解決這類問題時，常常出現一些“病解”，現列舉幾例，加以“診斷”，以便引起大家的注意。

例1若α∈ （0，2 π），求 使成立的角α的集合。

錯解：由題意可得cosα≠±1，所以sinα＞0，故α∈（0，π），即滿足題意的角α的集合為{α|0＜α＜π}。

剖析：上述解法對形如的理解有誤。

當“分子相等，分母相等”時，忽視了“分子為零，分母可以不相等”的情況，即漏掉了當cosα=0時或的情況。故滿足題意的角α的集合為或

例2已知且α，β∈（0，π），求2α-β的值。

錯解：由題意可得tan 2（α-β）=可得|sinα|=sinα，可知由2α-β=2（α-β）+β，可得=1。因為α，β∈（0，π），可得2α-β∈（-π，2 π），所以或或2α-

剖析：上述解法把2α-β的取值范圍擴大了。只有通過題設條件，把所給的角縮小到盡可能小的取值范圍內，才能使角的功能突出，這樣可避免出錯，彰顯解題的魅力。

又2α-β=2（α-β）+β，所以=1，故

例3若sinx+sinz，求y=sinz-cos2x的最大值。

錯解：由，可得，所以-sinx-cos2x=

因為-1≤sinx≤1，所以當sinx=-1時

剖析：上述解法雖然利用了正弦函數的有界性，但忽視了條件中正弦函數的有界性對sinx的限制作用。由，可得，可知