程中戰
一、定義
兩個正整數集合的各元素沒有共同的分解質因子,稱這兩個集合互質。
例,A={3 6 7 21},B={5 11 13 17 25},集合A與B互質;
一個正整數集合的各元素與一個正整數沒有共同的分解質因子,稱這個正整數與這個集合互質。如上例中,5與集合A互質;
集合的所有元素的連乘積稱為集合的乘積,例,集合A={3 6 7 21},集合A的乘積為
A=3×6×7×21
二、倍數公理
把正整數集合A適當分成兩個互質的集合B與C,有x=B+C, y=B-C,則x、y與集合A互質。例,A={2 3 5 6 7 11 13},B={5 7 13},C={2 3 6 11},
x=B+C=455+396=851=23×37, y=B-C=455-396=59,顯然,851,59都與集合A互質。
三、素數的生成表達式
連續素數冪的集合A={1 2a 3b 5c 7d 11e 13f…pi},冪指數a、b、c…i為非負整數,把集合A任意分成兩個集合B、C,有x =B+C,y=B-C ,則x、y一定是新素數或是若干個新素數的乘積。
特別地,當小于等于■(或■)的最大素數為p1,而又p1小于等于 p時,x(或y)一定是素數。
例,A={22 33 5 7 11 13},B={{22 33 7},C={5 11 13},x=1471,y=41
因為■=6.403,5<6.403,5<13,所以,41一定是素數。
A={2 3 5 7 11 13 17 19 23},B={{3 13 17 23},C={2 5 7 11 19},x=29879,y=619
因為■,23<24.879,23=23,所以,619一定是素數。
四、素數的來源
1+1=2, 2+1=3,把1看成是特殊的素數,這樣素數的最初集合為A ={1 2 3},把A一分為二,有2×3±1=7, 5 這樣素數的集合擴展為A ={1 2 3 5 7},再把A一分為二,有3×7±2×5=31,11;2×5±3=13,7。 用這種方法繼續擴展素數集合,就可以得出所有的素數。這個過程可表為口訣,1生2,2生3,3生萬數。顯然,運用倍數公理及素數的生成表達式直接就證明了素數有無窮多個。
對于每個大偶數2n(2n>4)總存在p1與p2關于n對稱,其中p1、p2為奇素數,有p1=n+k,P2=n-k,即2n=p1+p2,例,n=210,■=14.491,小于14.491的最大素數是13,從2~13的所有素數是 2 3 5 7 11 13, ?210的分解質因子是 2 3 5 7,那么210±11×13=353, 67是兩個素數,210±13=223,197也是兩個素數,所以,2×210=420=353+67=223
+197
五、“1-1”定理
任何一個偶數(包括0)都可表示為無窮多對不同的奇素數之差。
關鍵詞:孿生素數,類孿生素數,n生素數。
孿生素數:差為2的兩個奇素數;
類孿生素數:差為n的兩個奇素數(n為偶數);
n生素數:即類孿生素數,例如,差為4的兩個奇素數稱為4生素數,差為6的兩個奇素數稱為6生素數,
證明:在素數數列1 2 3 5 7(p中,假設p是最后一個素數,據倍數公理則有:
(1)2×3×5×7×(×p±1必為一對孿生素數;
(2) 3×5×7×11×(×p±2必為一對差4的素數;
(3)2×5×7×11×(×p±3必為一對差6的素數;
(4)3×5×7×11×(×p±4必為一對差8的素數;
(5)2×3×7×11×(×p±5必為一對差10的素數;
(6)5×7×11×13×(×p±6必為一對差12的素數;
……
一般地,1×2×3×5×7×11×…×p±k必為一對差2k的素數。k為正整數,連乘積中不含k的質因子。假設p是素數數列中最后的一個素數時,必然存在最后一對孿生素數、四生素數、…n生素數,然而,通過上述計算式又可得出新的一對孿生素數、四生素數、…n生素數,所以,孿生素數、四生素數、…n生素數是無窮多的。又因為素數無限多,所以,素數p-p=0也無限多。
因此,任何一個偶數(包括0)都可表示為無窮多對不同的奇素數之差。
故,“1-1”定理成立。