基于質點-彈簧模型的冰雹打擊樹葉的模擬方法

謝佳翊，楊 猛，梁婉茹，崔亞婷，祁曉彬，楊 剛

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基于質點-彈簧模型的冰雹打擊樹葉的模擬方法

謝佳翊，楊 猛，梁婉茹，崔亞婷，祁曉彬，楊 剛

(北京林業大學信息學院，北京 100083)

為了實現有別于布料破碎模擬的冰雹打擊樹葉過程的模擬，研究并提出了一種應用物理學原理的樹葉和冰雹相互作用的真實感動態仿真技術，為后續進一步研究葉脈對葉片受力的影響提供了基礎。樹葉的破碎是源于冰雹受到地面重力的吸引，在下落時與樹葉進行能量的傳遞，二者之間的交互作用可以利用一種高效的技術很好地模擬。該技術被專門設計用來模擬彈力較小的物體，例如樹葉的撕裂。當冰雹與樹葉進行交互時，由冰雹速度帶來的作用力轉換為樹葉上的橫向和縱向的彈簧力從而導致樹葉破碎。實驗結果表明，該技術能夠高效、真實地仿真冰雹撞擊樹葉后的作用效果，并且在一定程度上還原冰雹自然災害的情況。

樹葉撕裂；仿真模擬；質點-彈簧模型；碰撞檢測

物體撕裂破碎動畫在虛擬現實中起著舉足輕重的作用，其應用涉及到許多重要的領域，比如動畫、廣告、游戲、計算機輔助設計等。在物體撕裂破碎動畫中，布料的撕裂是圖形學中熱點研究的課題之一，近年來，該領域的發展成果顯著。而之前的研究多集中在不同材質布料因撕裂強度不同的體現和布料的動態滑動，而葉片的撕裂鮮見相關研究。關于物體的運動和碰撞的研究多與彈性或有黏性的非剛性物體相關，而冰雹作為一種嚴重的自然災害，常發生于夏季，對于作物和樹木是極具破壞性的，因此冰雹與植物的交互過程具有一定的研究價值。冰雹與樹木的交互到目前還未見相關研究，究其原因：樹木是由成千上萬根樹枝和無數片樹葉組成的，枝葉本身細節繁多，其幾何結構非常復雜，導致在其模擬計算的過程中計算量巨大且耗時多；與此同時，因為冰雹堅硬且彈性很小，是一類典型的剛性物體，而且在自然形成的過程中較為復雜，在宏觀結構上表現為多層的特點，在建模和破碎的模擬過程中略有難度。因而，為了簡化問題而不失一般性，本文僅限于模擬冰雹破壞單片樹葉結構與冰雹自身在地面上交互的全過程，而不是模擬整片樹林或者農作物。

樹葉與冰雹直接的交互可以歸結為3個過程：

(1) 冰雹的隨機出現和下落。在自然界中冰雹的生成是隨機的，由此冰雹的大小和重量也各不相同。

(2) 冰雹接觸且造成樹葉撕裂。當冰雹與樹葉撞擊后，帶有速度及作用力的冰雹會繼續向下運動穿破樹葉，撕裂葉子原本的結構，力沿著葉脈分散，形成冰雹撞擊后的裂口。

(3) 冰雹撞擊地面。冰雹與樹葉進行交互后自身速度減緩，落地時與凹凸不平的地面進行交互，造成反彈的現象。

為了便于模擬樹葉的破碎和冰雹的動態，在樹葉上采用三角網狀結構雙層模型來實現，在冰雹的模型上采用單層結構的球體進行模擬，并且制作了一款模擬軟件，力求模擬效果的真實。本文的主要貢獻為將質點-彈簧模型改進后應用于樹葉撕裂上，為后續研究葉片上力的分散受葉脈影響提供了思路。

1 相關工作

1.1 撕裂動態變化

撕裂的動態過程模擬大多為布料或紙，樹葉撕裂的過程模擬仍未出現，目前國內外可借鑒的文獻主要為布料撕裂。圖形中最早的撕裂研究可追溯到文獻[1]提出的彈性變形模型，其方法主要是基于彈性力進行物理模擬，即布料內部相互之間產生的拉力、阻尼力和外力共同對布料形態的改變產生了作用。并在此基礎上又引入了內力、自身質量和能量等物理屬性，為布料模型建立了物理上的基礎屬性；文獻[2]在此基礎上完善了布料的物理模型，并加上了彎曲、拉伸、錯切的屬性；而對于物體撕裂內部的細節；文獻[3]對麥迪遜對稱環進行了研究。最近有些方法使用了Voronoi圖[4]來生成撕裂平面，一些材料在破碎時會遵循Voronoi圖的某些性質，但是對于大部分材料來說，其破損形狀顯得不真實；之后，文獻[5]使用了余量傳播方法將裂痕的動量傳播出去；文獻[6]在每個撕裂步驟之后進行了一次放松操作來模擬薄片內張力的變化，但未將撕裂動量和碰撞限制考慮在內；文獻[7]提出了一種均勻網格上的拉伸和折彎的張力模型，但是由于模型使用的是均勻的網絡，所以會帶來一些不真實的情形；有關紙撕裂的研究蔣琦琦等[8]的自適應網格揉皺薄片的撕裂模擬，使用了一種在動態網格重劃分的一種裂縫傳播的算法；樹葉模型的制作參考了周紹勝[9]的基于質點-彈簧模型的布料自動撕裂模擬研究，在研究葉脈可能受葉片破碎影響產生扭曲的方面參考了文獻[10]的關于線條的扭曲和撕裂；為了以后的CPU加速研究還借鑒了文獻[11]的布料快速撕裂。

1.2 冰雹下落及彈跳的過程模擬

丁建芳等[12]在研究冰雹形成過程中提出冰雹形成的物理機制，并采用三維彈性冰雹云模擬出了冰雹三維數值，其依據玻璃球和滑石塊，使得破碎過程數值化。自然界中冰雹的形成，雹胚來源于凍滴，其前期主要收集過冷雨水，而后期收集過冷云水，隨著體積逐漸增大形成冰雹。文獻[13]講述了關于冰雹破碎的過程，并將冰雹看做是大量光滑流體粒子聚集而成，當受到壓力時，粒子群會形成裂縫，并向四周不同方向運動，導致冰雹的破碎。粒子系統在模擬自然天氣中被廣泛應用，本文在模擬大量冰雹下落的過程中，采用OpenGL粒子系統，自動隨機生成粒子?？到躘14]在單體脆性顆粒的撞擊破碎過程中，針對玻璃球和滑石塊，使得破碎過程數值化，做出了三維數值模擬。而對于冰雹破碎時裂紋的細節則是參考了文獻[15]有關圖形建模的脆性骨折，即根據冰雹掉落到地面產生的不同碎裂狀態。

1.3 樹葉葉脈與撕裂

已知的葉脈排序方式有網狀、平行、分叉3種脈序。本文選用的撕裂對象為平行脈序的直出平行脈葉片。由于不常遇到天然冰雹天氣，故使用自制冰塊和圓滑石子模擬冰雹天氣過程，造成樹葉撕裂，結果如圖1和圖2所示。多次實驗顯示，直出平行脈撕裂裂口的位置與葉脈位置相符，走向與葉脈相同。經過調研，目前還缺少樹葉和冰雹結合在一起作為研究對象的項目，本文通過粒子系統和樹葉撕裂過程相結合來模擬樹葉與冰雹碰撞的動態過程。

圖1 樹葉撕裂真實與模擬對比圖

圖2 直出平行脈樹葉撕裂前后對比圖

2 本文算法

2.1 基于質點-彈簧的樹葉撕裂算法

2.1.1 算法流程

本文的模擬算法部分的流程圖如圖3和圖4所示。

圖3 破碎模擬算法流程圖

圖4 冰雹撞擊反彈算法流程圖

2.1.2 葉脈生成

直出平行脈的葉脈相互之間是近似平行的且沿著葉脈的走向撕裂，利用該特點，對模型中葉脈路徑進行預先生成。根據貼圖中顯示的葉脈位置，對樹葉模型進行頂點復制，即對選中葉脈位置上的點進行復制，然后將復制點挪動一段非常小的距離，使得復制后的點與原頂點平行，相當于提前將裂口制作出來，但是由于有結構彈簧和固定點的支撐，裂口在受力之前不顯示。如圖5所示，葉脈部分的網格明顯粗于普通網格，因為其是由兩行網格重疊組成的。

處理后的模型對視覺未產生影響，但在算法中可以通過直接受力而形成切口，避免因計算劃分三角形中鈍角三角形易產生計算錯誤的問題。在算法中，默認距離小于1 μm的2個點為同一個點。在此需特別說明該參數的選定標準為：在不影響正常的視覺效果的情況下，遠遠小于模型正常頂點之間的距離(包括控制模型上頂點與頂點之間的距離和控制模型與顯示模型之間的垂直距離)即可。

算法中的模型分為上、下兩層，分別代表葉片正面與背面，且葉片有一定的厚度，為了符合自然界的規律。提取上表面除去葉柄部分和葉尖部分作為控制模型，如圖5和圖6所示，葉柄、葉尖在自然情況下很難被冰雹撕裂，所以暫不做處理。ApplyControlMesh函數完成了控制模型與顯示位置的對應工作。樹葉模型的厚度設置為1.5，所以只需尋找垂直距離為1.5的兩個面片配對即可。本文使用的是三角面片的中心點而非頂點，因為一個頂點會涉及多個三角形，而中心點不涉及此問題。

圖5 模型預處理方法詳解圖

圖6 模型對應示意圖

對應模型的算法如下：

輸入：控制模型的頂點數組1，2，3。

輸出：顯示模型和控制模型的頂點配對數組。

步驟3. 遍歷ControlTriangleCenter數組，尋找與當前三角面片中心距離為1.5的控制模型三角面片，如果找到，則將其配對并記錄，否則認為該面片處于不需要處理的位置，直接跳過。

2.1.3 質點-彈簧模型

很早就已研發出的質點-彈簧模型大多應用于布料模擬上，將其改進后可用于樹葉模擬。傳統的質點彈簧模型中有結構、扭曲彈和拉伸3種彈簧。在算法中，由于模擬的對象為樹葉，與布料相比彈性和柔韌性更低些，為了能夠體現其差別，使用降低模型穩定性的方法，即去掉了原有質點彈簧模型中的扭曲彈簧。扭曲彈簧原本的作用為連接對角線上的相鄰質點，去掉之后由于模型的穩定性降低，受到冰雹的撞擊后呈現裂口的形狀也能夠更加的多變和不規則，從而更加接近真實的撕裂效果。另外，使用結構彈簧來保持樹葉的形狀，保證其不變形的同時使用拉伸性彈簧來計算受力，能夠明顯地表現出樹葉模型的彈力較布料減小的狀態，改進后的彈簧模型如圖7所示。

圖7 彈簧結構示意圖

導入葉片模型時，需計算三角形面片3條邊之間的長度relaxLength，作為結構彈簧的初始長度。固定點模型之間的結構彈簧的長度始終保持不變。彎曲彈簧的長度隨質點位置改變而改變，并使用胡克定律來計算彈簧形變量，即

其中，為當前點受到撞擊力的方向；L為形變長度；為樹葉模型的彈性系數，考慮到樹葉彈性較小的可能性，經過多個數值的試驗后將該處的參數設計為2e4。根據此拉力，計算點受力后移動的長度，將移動看成是一段很短時間內的勻速運動，速度計算根據牛頓第二定律F=，v=0+得出。位置為上一位置加上當前速度乘上單位時間。由于葉片對冰雹有阻力，故設置一個能量損耗系數為0.1。此處的參數沒有進行額外的科學實驗，僅根據肉眼可接受的范圍進行選定。

2.1.4 冰雹模型

冰雹在自然界中的形態十分復雜，其簡化的形成過程：開始于小冰粒聚合在一起形成冰雹初始狀態；接著在氣流的影響下，在空中上下小冰粒翩騰并與低溫區中的冰晶、雪花和過冷水滴粘并凍結成為大冰雹；最后當上升氣流支撐不住冰雹時就落下形成雹災。因此，針對冰雹的自然形態制作了5種模型。圖8為程序中所使用的冰雹，其是利用3ds max中帶有的各種建模方法制作的，旨在重現自然冰雹的外形，使得模擬軟件中的交互過程更加真實，并進行更高效地計算，其運動路線主要是下落和撞擊地面彈起，在未來更深入地研究中將會在冰雹的運動軌跡中加入破碎這一環節。

2.2 碰撞檢測

2.2.1 碰撞點確定

為實現快速有效地碰撞檢測，小型物體一般采用包圍盒的形式，大型的物體則采用一些特殊的數據結構。由于葉片一般較冰雹的尺寸大，故不采用包圍盒的形式。而冰雹的形狀稍有不規則且接近于球形，故采用包圍盒的方式。

程序采用了控制模型帶動顯示模型聯動的方式，所以需要進行碰撞檢測的部分僅為控制模型。存儲控制模型的數組以三角形為單位，即，1，2，3個定點為一個三角形。在控制模型中，將最外圍的點稱為anchoredPoint，并將頂點的坐標在讀入模型時就保存在一個數組中，其有共同bool值anchoredPoint為true。在碰撞檢測中，可忽略這些點，因為自然狀態下的樹葉是會隨碰撞來回擺動的，但在之前的研究和實驗中均固定了樹葉的邊緣，所以在模擬程序中采用固定邊界的方法，如圖9所示。

圖8 冰雹形態示意圖

圖9 固定點模型

因為冰雹是垂直下落的，不涉及旋轉等問題，故以冰雹下半部分最遠點到冰雹中心的距離為包圍球的半徑建立冰雹碰撞檢測的包圍球，如圖10所示。通過2輪篩選，確定是否為控制模型點或固定點，模型中需要進行碰撞檢測的點僅為所顯示點的三分之一，極大地降低了運算需要重復的次數。又因為受力的計算以點為單位，故采用遍歷控制模型中非固定點的方法實現碰撞檢測。即點與冰雹中心的距離等于冰雹半徑時，即視為發生碰撞。

在地面模型上，由于地面模型凹凸不平，所以使用了包圍球的形式判斷冰雹是否與地面相撞時。在導入地面模型時，每導入一個面片就會為這個三角形添加新的屬性，即三角形的法向量、包圍球的球心和半徑。與三角面片的碰撞就轉化為與包圍球的碰撞。

圖10 包圍球生成示意圖

2.2.2 防止貫穿

當冰雹靠近樹葉時有可能發生貫穿，即點與冰雹中心的距離小于冰雹半徑，此時需要在下一幀立即調整樹葉模型發生碰撞區域的位置，具體位置為冰雹當前位置加上冰雹半徑乘以冰雹與現貫穿點位置連線的方向(以確定樹葉模型調整方向)，如圖11所示。

圖11 貫穿位移計算示意圖

從開始下落到反彈結束的碰撞檢測過程步驟如下：

步驟1.對于冰雹開始下落。

步驟2.計算中心與控制三角形的中心距離。

步驟3.若小于等于包圍球半徑則認為發生碰撞，執行撕裂程序并注意防止貫穿。

步驟4.計算中心與地面模型三角形中心的距離大于球半徑，不相交。

步驟5.計算球心到三角形頂點的距離1，2，3，距離均小于半徑說明三角形在球內且相交。

步驟6.計算球心在三角形所在面的投影坐標到三角形頂點的向量，兩兩進行向量叉乘，球心投影的3個叉乘向量方向相同，投影在三角形內且相交。

2.3 碰撞反彈

碰撞反彈發生于地面和冰雹之間。判斷冰雹與地面發生碰撞后，進入碰撞反彈。取所有與冰雹相交的三角面片的法向量于一個數組中，求其平均法向量為碰撞反彈方向。地面模型包括土地和磚地2種，為了體現出兩種地面的區別，取土地的碰撞能量損耗值為磚地的2倍。

將每個極短時間內的運動均看做勻速運動，初始速度為

其中，為能量損耗系數(土地為0.15，磚地為0.3)；為上一個單位時間內的速度；為碰撞平面的法向量的平均值。

3 實驗過程與結果

3.1 實驗詳細

系統在Windows 10 操作系統運行，64位Intel i7處理器，8 G運行內存，使用Visual Studio 2015編程實現。

圖12所示是直出平行脈樹葉被冰雹擊打導致撕裂的情況，用2 581個頂點和5 136個面片表示樹葉；用482個頂點和960個面片表示冰雹，可以看到樹葉的撕裂效果較為真實。FPS最高為61，最低為57。

圖12 多處撕裂口模擬效果截圖

3.2 實驗結果

圖13是截取整個模擬動畫的關鍵幀。其中，圖13(a)為冰雹隨機出現在葉片上空，為了與自然條件更加相似，其中冰雹會以5種不同的形態隨機出現；圖13(b)~(d)分別展示了冰雹擊打葉片后裂口逐漸生成的過程。如圖13(c)所示，冰雹的重力勢能因為下落而轉換為動力勢能，在冰雹與葉片進行碰撞后，冰雹上的動力勢能傳遞到葉片上導致預制的葉脈模型受力分開。在圖13(d)中可見此時葉脈的動力勢能已經消耗完畢并且停止運動，冰雹砸碎的裂口形態最終生成。

圖14(a)~(d)是冰雹打擊樹葉同一位置的示意圖，在經過冰雹的重復打擊后，預制葉脈一次次地運動造成裂口并使其拉伸擴大，最后生成了具有真實質感的裂口和凹陷。從圖14可以觀察到整個模擬過程流暢自然，并且在冰雹擊破葉片的重要交互部分取得了較好的效果。

圖13 冰雹撞擊葉子后裂口的形態示意圖

圖14 冰雹與葉片多次碰撞裂口示意圖

4 結論與未來的工作

4.1 樹葉種類擴展

本文通過動畫仿真技術實現了冰雹擊破葉片的過程，提出了一種改進后的質點-彈簧模型，并且結合碰撞檢測算法和物理公式控制冰雹和葉片物體的運動。根據程序運行結果，算法可以高效、真實地模擬出冰雹撞擊樹葉并導致樹葉破碎的過程，以及冰雹下落到地面與凹凸不平的地形進行碰撞彈起的過程。

在后續的工作中，將繼續研究其他種類葉脈樹葉的撕裂形式以及葉脈動態生成邊界固定型網格的算法。如橫出平行脈，其葉脈模式與現有模型相類似，只是在方向上有所不同。經過前期實驗證明，葉脈類型為平行脈的樹葉以及部分厚度適中的其他葉脈類型樹葉，在理論上沿葉脈撕裂部分均可使用該方法進行模擬。但對于較薄的樹葉，由于其撕裂會涉及樹葉破碎而非單純撕裂，該模擬方法不適用。圖15分別為掌狀葉脈和二叉狀平行葉脈樹葉破碎的橫向對比。

4.2 冰雹模型

本文使用的是模擬自然界中冰雹外形的模型，今后將會引入由粒子流建成的模擬冰雹內部結構的模型(圖16)，可使用改進后的SPH方法并通過求解質點組的動力學方程和跟蹤每個質點的運動軌道來控制冰雹粒子模型的破碎過程。

圖15 多種葉脈破碎對比圖

圖16 粒子流冰雹示意圖

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Simulation of Hail Impact on Leaves Based on Mass-Spring Model

XIE Jia-yi, YANG Meng, LIANG Wan-ru, CUI Ya-ting, QI Xiao-bin, YANG Gang

(School of Information Science & Technology, Beijing Forestry University, Beijing 100083, Chian)

In order to realize the simulation of the process of hail against the leaves, which is different from the fabric crushing simulation, this paper presents a realistic dynamic simulation technology of the interaction between leaves and hail based on physical theory. It opens up a different area from the cloth tearing simulation and proposes the simulation algorithm of the leaf breaking, which provides the foundation for further research on the influence of leaf veins on leave’s force-bearing capability. The tearing of the leaves is due to the hail being attracted by the gravitation of the ground, transferring the energy of the hail to the leaves, and the interaction between the two can be well simulated by an efficient technique. The technology is specifically designed to simulate the tearing of objects with less elastic forces such as leaves. When hail interacts with the leaves, the forces due to the hail velocity are translated into lateral and longitudinal spring forces on the leaves, causing the leaves to break. Experimental results show that this technique can effectively and realistically simulate the effect of hail impact on leaves and restore the situation of hail disasters.

dynamic tearing of leaves; simulation; mass-spring model; collision detection

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2019010032

A

2095-302X(2019)01-0032-08

2018-07-02；

2018-07-20

北京市社會科學基金項目(17YTC030)；中央高?；究蒲袠I務費專項資金(2017JC10，2015ZCQ-XX)；國家自然科學基金項目(61402038，61502109，61100132)；中國國家留學基金委2017年國家公派高級研究學者、訪問學者、博士后項目(201706515022)；浙江大學CAD&CG國家重點實驗室開放課題(A1707)；北京林業大學國家級大學生科研創新訓練項目(201710022051)；CCF-騰訊犀牛鳥創意基金項目(IAGR20140113)；廣東自然科學基金項目(2016A030310342)；北京林業大學教育教學研究項目(BJFU2018JY088)

謝佳翊(1997-)，女，北京人，學士。主要研究方向為計算機圖形學、虛擬現實、增強現實。E-mail：xjy_uni@bjfu.edu.cn

楊 猛(1982-)，男，河北秦皇島人，副教授，博士，碩士生導師。主要研究方向為計算機圖形學、虛擬現實、增強現實。 E-mail：yangmeng@bjfu.edu.cn