正矢差閉合的曲線軌道撥距計算方法

魏暉，魏昱，朱洪濤

正矢差閉合的曲線軌道撥距計算方法

魏暉1, 2，魏昱3，朱洪濤4

(1. 江西科技學院 汽車工程學院，江西 南昌 330098；2. 江西科技學院 協同創新中心，江西 南昌 330098；3. 江西省建筑設計研究總院，江西 南昌 330046；4. 南昌大學 機電工程學院，江西 南昌 330031)

針對目前的繩正法在撥距計算中存在首尾端正矢不易閉合的問題，提出一種基于追趕法的曲線撥距計算方法。該算法以中點弦測法表征曲線平順性狀態，通過對合理的設置邊界條件，可將撥距求解的不定方程轉化為適定方程，并保證曲線首尾端撥距為0；然后考慮到其系數矩陣是三對角對稱陣，利用追趕法構造一種以平順性為輸入的撥距計算方法并分析其算法性能，認為：基于追趕法的撥距計算方法，以正矢為輸入計算撥距，避免了坐標的測量，有利于提高作業效率；相比于繩正法，其首尾端閉合，并具有良好的算法性能。仿真結果顯示，該方法對正矢偏差的控制能力較好，適合于高速鐵路曲線軌道的臨時補修。

鐵道工程；曲線整正；中點弦測模型；數值計算；追趕法

截至2017年底，我國高速鐵路運營總里程已逾2.5萬km，占世界高鐵總里程的66.3%。高速鐵路發展已經由大規模建造逐步進入長期安全運營管理與維護階段，高速鐵路研究與技術創新的主題也由新線的設計與建造轉向既有線的運營與維護。而運營與維護的一個關鍵性工作就是持續保持軌道的高平順性。曲線作為軌道三大病害多發位置，其平順狀態對列車安全、舒適、快速的運營有著重要的影響。與直線軌道相比，曲線軌道的幾何形位關系更加復雜，輪軌相互作用更為強烈[1]。而軌道作為巨型工程結構物，其具有的材料屬性、結構層次、空間跨度和服役環境的復雜性，使得持續保持曲線軌道平順的幾何狀態殊為不易。曲線軌道幾何狀態可用軌向(正矢)、高低、軌距和水平(超高)等尺寸參數描述，其在列車重復性載荷作用下，不可避免發生劣化，因此需周期性地檢查軌道的幾何尺寸，必要時予以校正，而校正的過程即為曲線整正。曲線整正作業涉及線路測量、作業規劃、軌道施工以及作業回檢等操作，過程中通過線路測量獲得軌道幾何尺寸數據，通過作業規劃合理地確定整正作業的整正量(或撥距)。線路測量一般有絕對測量與相對測量2類，相應撥距的計算依據輸入常規有2類方法：坐標法[2]與漸伸線法[3?4]。坐標法的撥距由軌道的橫、垂向偏差等外部幾何尺寸所確定，但測量橫垂偏需聯測CPⅢ網，外業工作量大，設備要求高，故往往用于高速鐵路的綜合維修。漸伸線方法是一類經典的計算撥距方法，其認為曲線上任一點撥動時均沿漸伸線方向移動且撥動前后曲線長度不變，而撥距則解釋為設計曲線漸伸線長度'與實測曲線漸伸線長度之差[3]。漸伸線長度可由偏角法或繩正法計算，其中繩正法通過內部幾何尺寸(正矢)計算漸伸線長度，外業操作簡單，設備要求低，因此常用于普速鐵路的經常保養與臨時補修[5]。然而繩正法應用于高速鐵路，存在作業精度不高的問題[6?7]，其中一個關鍵性問題，正矢差合計不閉合，其結果將導致在曲線尾端易出現鵝頭或反彎。此問題雖可通過修正計劃正矢予以修正，但不可避免地破壞了曲線的平順性。即便考慮到高速鐵路軌道病害是局部的，這種不閉合依然不可接受。能否通過內部幾何尺寸計算撥距，改善曲線的平順性狀態并保證曲線首尾端閉合。這一問題對于高速鐵路的運營與維護具有重大的現實意義。本文認為，在一定意義上，撥距計算問題等價于對表征曲線狀態的非齊次方程組求解；并且，工務維修中高速鐵路軌道不平順的發生往往是局部的?；谝陨险J識與事實依據，本文首先通過中點弦測模型表征曲線平順性狀態，并討論不同邊界條件下的撥距求解問題；然后在首尾端撥距為0條件下引入追趕法，構造一種正矢差閉合的撥距計算方法并討論其算法性能，最后對算法的整正效果進行仿真驗證。

1 曲線狀態表征及經典曲線整正方法

1.1 曲線平順性狀態的表征及曲線正矢

曲線狀態與其軌道幾何參數密切相關，目前在高速鐵路常通過橫、垂向偏差控制軌道平順性狀態。橫、垂向偏差屬于軌道外部幾何參數[8]，可通過對軌道位移函數進行最小二乘擬合[9?10]或縱向偏差等模型[2]計算。然而，由于外業的開銷，坐標法用于高速鐵路養護維修存在天然的不足。

與此同時，曲線的平順性還可用正矢來表征。正矢是一類軌道內部幾何參數[8]，為鋼軌踏面下16 mm處作用邊側的20 m弦的中點矢距，忽略轉向角與弧弦差的影響，正矢可表達為

其中：v為測樁處的現場正矢，mm；f為測樁處的現場橫向位移函數，mm；為測樁編號，=0,1,2…，測樁間隔10 m。如令F為曲線計劃橫向位移函數，可類似定義曲線的計劃正矢V/mm，正矢差Δv/mm與橫向偏差Δf/mm如式(2)。

采用式(1)所示的中點弦測法定義的軌道不平順具有一系列良好的特性[11?12]，因此，以軌向、高低及正矢為代表中點矢距常用于軌道狀態的評價。由式(1)，可以采用一組非齊次方程表達曲線的平順性狀態，如式(3)：

其中

顯然?Δ即為撥距，此時，曲線撥距計算轉變為已知Δv求解Δf的問題。然而，式(3)中Δv與Δf分別為×1維和(+2)×1維向量，為一非齊次的欠定線性方程組。此類方程存在無窮多解，其解Δ的結構包含一個非齊次方程組的特解Δ*與對應齊次方程組的通解δ，如式(4)。

1.2 撥距計算的求逆方法與繩正法的實質

由式(3)易知，Rank()=，存在個基本未知量與2個自由未知量，因此要由Δ得到Δ需要引入不少于2個的橫向偏差Δf和Δf，即需聯測CPⅢ網觀測至少2點?？紤]到一般情況下高速鐵路軌道的橫向偏差不大，可假定邊界條件，計算非齊次方程組的特解Δ*作為Δ，并將?Δ作為撥距。2個自由未知量的選擇不唯一，通?？杉俣ㄇ€起始2點Δ0=Δ1=0或首尾端2點Δ0=Δf1=0，如此撥距相應可采用求逆、消去以及迭代的方法[13]計算。

如假設Δ0=Δ1=0，則

其中

則

其中系數矩陣的逆為

由式(6)可得Δ0=Δ1=0條件下的特解，若寫作累和形式，即

對比文獻[3]可知，其即為繩正法，其實質是在Δ0=Δ1=0條件下求逆計算式(3)的特解Δ*。作為曲線整正的經典方法，繩正法存在以下問題：

其假定Δ0=Δ1=0，即曲線起點及切線方向不變，當現場存在碎彎時假定不易滿足；

計算次序按=2,3,…,+1，當Δv存在誤差，其將向后累積，進一步使得首尾端正矢差合計與正矢差累計不閉合[6?7]。

2 一種正矢閉合的曲線整正方法

2.1 邊界條件及系數矩陣的Crout分解

繩正法未對曲線終點的撥距進行約束，如控制曲線首尾端撥距，即Δ0=Δf+1=0，則可依據式(3)建立正矢差與撥距的關系。這一關系用×矩陣[13]描述

其中

此時，撥距計算轉化為求解式(9)的問題。對于系數矩陣滿秩條件下，可采用消元法直接求解。分析式(9)的系數矩陣，可知其為常系數的三對角對稱陣，且滿足對角占優條件，因此可進行Crout分解，將其分解為

其中

2.2 撥距的追趕法計算

考慮到三對角矩陣的特點，式(9)可按追趕法(Thomas algorithm)直接求解，從而避免了Gauss 消去法中的主元選取。取中間變量=[1,2,…,q?1]T，則式(9)求解可依次分為2個過程：按=2,3,…,?1次序計算l，u和q的消元過程(追的過程，如式(11))和按=?1,?2,…,1次序計算Δf的回代過程(趕的過程，如式(12))：

其計算流程如圖1所示，得到相應撥距特解Δ*=[Δ1, Δ2,…, Δf]T。

圖1 撥距計算流程圖

3 算法性能比較及仿真

3.1 基于追趕法的撥距算法與繩正法算法性能比較

撥距計算要在高速鐵路的曲線維修中應用，其正矢差累計與正矢差合計應能閉合。同時，一個算法在給定輸入時應能在有限步得到輸出，并且應具有合理的時間復雜度、空間復雜度、正確性、可讀性以及健壯性。

3.1.1 正矢差累計與正矢差合計閉合性能

由式(9)的假設Δ0=Δf+1=0可知，基于追趕法的撥距計算其正矢差合計閉合差

顯然，曲線首尾端的正矢差合計閉合。

如正矢差序列Δ不含系統誤差及粗大誤差，則由隨機誤差的對稱性及抵償性

從這個角度，正矢差累計也應能閉合。

3.1.2 時間復雜度比較

選取乘法作為基于追趕法的撥距算法與繩正法的原操作，由式(8)與式(9)，問題規模為。用原操作的執行次數度量算法的時間復雜度，則

基于追趕法的撥距算法的時間復雜度：

繩正法的時間復雜度：

顯然，基于追趕法的撥距算法的時間復雜度要優于繩正法。

3.1.3 空間復雜度比較

用算法所開銷的存儲空間度量空間復雜度，則

1) 基于追趕法的撥距算法的空間復雜度：

基于追趕法的撥距算法僅需3個存儲單元存儲對角線及次對角線的數據，并需2個存儲單元保存和Δ。

2) 繩正法的空間復雜度：

由于繩正法的系數矩陣是下三角的Toeplitz矩陣，故需要個存儲單元存儲系數矩陣，并需個存儲單元保存Δ。

通過比較可知，2種算法的空間復雜度相當。

3.1.4 算法正確性與健壯性

在滿足邊界條件(即：繩正法的Δ0=Δ1=0與追趕法的Δ0=Δf+1=0)且Δ無誤差擾動時，繩正法與基于追趕法的撥距算法均可得到Δ的精確解。當測量誤差或截斷誤差存在，可用條件數Cond(?)比較基于追趕法的撥距算法(如式(9))與繩正法(如式(6))撥距的相對誤差。

忽略系數矩陣的擾動，撥距Δ將受Δ的擾動的影響。設Δ為撥距的精確解，Δ為撥距的近似解，定義撥距誤差向量=Δ?Δ，正矢的殘差向量=Δ?Δ。依據文獻[14]，

則撥距相對誤差||||/||Δ||可用正矢相對殘差||||/||Δ||與條件數Cond()估計。

同理，計算繩正法的條件數Cond()。由圖2可知，繩正法與基于追趕法的撥距算法的條件數均會隨矩陣規模的增加而增加，但相對于繩正法，基于追趕法的撥距算法系數矩陣的性態更為優良。

圖 2 基于追趕法的撥距算法與繩正法系數矩陣條件數比較

3.2 整正算法的計算機仿真

采用Matlab環境對算法進行數字仿真，通過算例討論其正確性。然后，依據最大撥距限值通過Monte Carlo方法討論其健壯性，并與繩正法進行比較；最后采用軌道測量儀絕對測量實測數據作為輸入模擬現場曲線軌道狀態，通過半物理仿真進一步驗證算法的正確性。

3.2.1 整正算法的數字仿真

數字仿真過程中，首先采用表1所示參數生成目標曲線并按式(1)采樣計劃正矢，然后在目標曲線上迭加一定標準差的正態白噪聲形成現場正矢。仿真采用坐標法計算撥距的精確解，用基于追趕法的撥距算法計算撥距數值解并計算撥后正矢。

計算撥距及撥后正矢時，假設Δ0=Δf+1=0并分為以下2種情況分別討論。

1) 現場正矢測量無差，測量不確定度為0.0 mm(如圖3(a)和3(b))；

2)現場正矢測量有差，測量不確定度為0.1 mm(如圖3(c)和3(d))。

由圖3(a)和3(b)可知，當現場正矢測量無差時，無論是撥距抑或撥后正矢均與坐標法精確解一致，驗證了算法的正確性；如圖3(c)和3(d)，當現場正矢測量存在一定誤差 (如不確定度為0.1 mm)，撥距的數值解與精確解間存在一定的偏差，但撥后正矢與計劃正矢誤差較小。此外，無論現場正矢測量有差或無差，曲線首尾端的撥距均為0。

3.2.2 最大撥距限值

整正作業受到最大撥距的限制，由《高速鐵路工務安全規則(試行)》(TG/GW121—2014)、《高速鐵路有砟軌道線路維修規則(試行)》(TG/GW116—2013)以及VOSSLOH 300-1扣件技術條件，可將有砟軌道的最大撥距設為±30 mm，無砟軌道的最大撥距設為±8 mm，相應撥距標準差限值為15 mm 和4 mm。

表1 仿真曲線參數

(a) 撥距對比；(b) 正矢對比；(c) 撥距對比；(d) 正矢對比

以正矢測量標準不確定度σ及測樁號為自變量，最大撥距的標準差為因變量，采用Monte Carlo方法評價基于追趕法的最大撥距，等高線如圖4。圖中，正矢測量標準不確定度0~0.45 mm，測樁號0~500，對應里程0~5 km。

可知，對于全長為5 km的曲線，如測量標準不確定度為0.4 mm，其最大撥距的標準差可達0.5 m以上，如以95%概率定義最大撥距，最大撥距將超過1 m，顯然超差。但當作業里程＜500 m時，則其最大撥距的標準差<4 mm，可滿足無砟軌道最大撥距要求；或作業里程＜500 m時，則其最大撥距的標準差<15 mm，可滿足有砟軌道最大撥距要求。而0.4 mm的測量標準不確定度，已可以覆蓋鋼尺?弦線的精度。

如正矢測量標準不確定度為0.1 mm，則無砟軌道作業里程可擴展到500 m，有砟軌道可擴展到1.1 km。慮及軌道不平順是局部的，在日常檢查及臨時補修修程下，基于追趕法的撥距算法計算的精度一般可以滿足要求。如要對長大曲線進行綜合維修，可考慮采用三維約束的方法[15]引入外部幾何參數分段計算。

圖4 最大撥距標準差(追趕法)/m

作為對比，采用繩正法[3]計算最大撥距的標準差。如圖5，可知僅以保證撥距不大于最大撥距限值為例，當正矢測量標準不確定度為0.1 mm，則無砟軌道作業里程應＜100 m，有砟軌道應＜200 m；而如正矢測量標準不確定度為0.4 mm，則作業里程更短。

圖5 最大撥距標準差(繩正法)/m

3.2.3 撥距算法的半物理仿真

相對于數字仿真，半物理仿真中采用實測數據作為輸入，可降低軌道狀態的建模難度與線路實驗成本，提高系統仿真的可信度。半物理仿真中原始數據來自于某高鐵的聯調聯試，其線路條件為CRTSⅡ型板式無砟軌道，曲線半徑=10 000 m，緩和曲線長=430 m；采用Amberg的 GRP1000軌道測量儀采集250 m緩和曲線軌道數據，并通過GRPwin 5.0生成目標曲線及撥距精確解；仿真基于Matlab環境，采用式(1)計算現場正矢并迭加0.1 mm的全誤差，然后通過追趕法計算撥距數值解。仿真結果如圖6。

圖6 基于追趕法的撥距算法撥距值(半物理仿真)

由圖6可知，基于追趕法的撥距算法可針對軌道的不平順生成撥距特解，雖然其值與精確解有2 mm左右的誤差，但削峰填谷效果明顯，可有效恢復曲線的圓順；而且其曲線首尾撥距為0的特點，十分有利于作業區段前后的順接。

4 結論

1) 基于平順性數據的曲線整正問題是一個以橫向偏差為輸入，正矢為輸出的非齊次線性方程組求解問題，如已知正矢求撥距，則需假設邊界條件。繩正法假設曲線起點及起始方向不變，并按測樁號順序計算漸伸線長度，因此易導致鵝頭或反彎。

2) 基于追趕法的撥距算法假定曲線首尾端撥距為0，按正矢差求撥距，其計算分為追和趕的過程。分析表明，該算法相對于繩正法，有利于保證正矢差合計與正矢差累計的閉合，且其時間復雜度、空間復雜度以及健壯性更優；而由于避免了橫垂偏的測量，可顯著提高曲線臨時補修的作業 效率。

3) 數字仿真結果顯示，追趕法計算撥距偏差取決于現場正矢的測量誤差并對矩陣規模敏感，但撥后正矢與計劃正矢誤差小。通過與絕對測量數據對比，顯示該方法在局部作業時有望得到較好的整正效果。

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A throw algorithm with versine difference closure for track curve realignment

WEI Hui1, 2, WEI Yu3, ZHU Hongtao4

(1. School of Automotive Engineering, Jiangxi University of Technology, Nanchang 330098, China; 2. Collaborative Innovation Center, Jiangxi University of Technology, Nanchang 330098, China;3. Jiangxi General Institute of Architectural Design & Research Co., Ltd, Nanchang 330046, China;4. School of Mechatronics Engineering, Nanchang University, Nanchang 330031, China)

To overcome the misclosure problem of current realignment approaches e.g. string lining method, a new algorithm based on Thomas algorithm for throw calculation is proposed which is taking versine data as input. Through setting rational boundary conditions of mid-chord offset (MCO) model which characterized the curve irregularity state, indeterminate equation set could be transformed into well posed equation set, and two ends throw of the curve are 0; since the coefficient matrix of equation set is tridiagonal symmetrical matrix, an algorithm for throw calculation is constructed based on Thomas algorithm and performance of the algorithm has been evaluated. This paper suggests that: throw algorithm based on Thomas algorithm is taking versine data as input, avoided the measuring of curve coordinates. A comparison between string lining method and the new approach indicates that: the new approach has advantages of closure and algorithm performance. Simulation results show that this approach has satisfactory control ability for versine bias, and is expected to get a better realignment result for urgent maintenance.

railway engineering; curve realignment; mid-chord offset;numerical calculation; Thomas algorithm

U216.3

A

1672 ? 7029(2019)07? 1637 ? 08

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.07.005

2018?10?19

國家自然科學基金資助項目(51468042)；江西省重點研發計劃項目(20161BBE50079)

朱洪濤(1962?)，男，湖南雙峰人，教授，從事測試傳感與光機電一體化研究；E?mail：honey62@163.com

(編輯 陽麗霞)