帶磁場的一維Schrdinger方程的逆散射問題

胡振宇,黃華,段志文

( 華中科技大學數學與統計學院,湖北 武漢430074)

1.引言

研究其逆散射問題,其中p(x)為實位勢,并且無有界態.本文給出了該逆散射問題的解.H是算子延拓至L2(?∞,∞),即H是自伴Schrdinger 算子.記空間：

Deift[3]等人研究了一維Schrdinger方程：?f′′+qf=k2f的逆散射問題,得出以下結論：令f1(x,k),f2(x,k),k ∈R{0}是方程Hfj=k2fj,j= 1,2的解,且有如下的漸近狀態：f1(x,k)→e?ikx,x →+∞,f2(x,k)→e?ikx,x →?∞,且f1(x,k),f2(x,k)有如下的漸近表示：

其中Ti,Ri,i=1,2,分別是傳輸系數和反射系數.定義矩陣

此外,Faddeev[5?6]在Schrdinger方程逆散射問題上做了類似的工作,并提出自己的一套方法.而他的方法源于Gel’fand-Levitan[7],Kay-Moese[8]和Agranovich-Marchenko[1]等人的工作.

本文受這些文章的啟發,添加磁場位勢,研究該磁場位勢的逆散射問題,也得到類似的結論.本文研究思路如下：對方程(1.1)做如下變換：m(x,k) = e?(?+ikx)f(x,k)→1,x →+∞,可得

或改寫成方程組的形式：

且

記?p2(x)=QR(x,m),即

在方程組(1.2)中我們通過公式(1.3)消去p.為了重構p,我們僅需要求解方程組(1.4)的初值問題[2]的解,那么p可由(1.3)式給出.本文的主要內容安排如下：在第二部分,本文推導了關于散射矩陣S(k),m(x,k),B(x,k)的相關結論.第三部分,在位勢p無界態的條件下,本文推導了跡公式,并通過求解初值問題(1.4),由反射系數R重構p,并且還得到了方程組(1.4)解的先驗上界.

2.正問題

在敘述本文的研究方法之前,給出一些相關引用、定義及事實.定義R上的Fourier 變換及其逆變換：

H2+表示由Hardy空間[4]中解析函數h(k)構成的集合,其中Imk >0,h滿足若假設h(k)∈H2+的邊界值為在L2(?∞,∞) 意義下,即有如下等價H2+空間的描述：

根據前文介紹,下面引理和定理當它們的證明和文[3]相似時,只作敘述,證明略去.而當本文相關結論證明方法和他們不同時,加以詳細論證.

引理2.1[3]對于每個k,Imk ≥0,積分方程

有唯一解m(x,k),且m(x,k)滿足如下的Schrdinger方程：

且m(x,k)→1當x →+∞,m(x,k)服從如下估計式：

對于每個x,當Imk >0,m(x,k)是解析的且當Imk ≥0,m(x,k)是連續的.特別地,由(ii) 知,m(x,k)?1∈H2+.此外,記˙m(x,k)≡dm(x,k)/dk在Imk ≥0時存在,k≠ 0時k˙m(x,k)在Imk ≥0 時處處連續.若p ∈L21,那么˙m(x,k)在k=0 處也存在且連續,且有如下估計式：

(v)|(x,k)|≤c(1+x2)對于所有k ≥0,p ∈L21.其中

引理2.2[3]對于任意x,當Imk ≥0,m(x,k)有有限個零點,并且它們均為簡單零點,在負半軸上.若k= iβ(β >0)是m(x,k)的零點,那么k2=?β2是算子在L2(x

引理2.3[3]方程

y ≥0,有一個(實的、唯一)解B(x,y)滿足

特別地,B(x,y)∈L1∩L∞(0

B(x,y)關于x和y均連續且有：

B(x,y)滿足波動方程：

且有??B(x,0+)/?x=??B(x,0+)/?y=?p2(x).最后,m(x,k)≡1+∞0B(x,y)e2ikydy即為引理2.1中的函數.

引理2.4[3]假設是相應約斯特函數的Fourier變換,j=1,2.令

則

可得L∞(0

由此即得L1(0

定理2.1令p(x)是上的實位勢,那么

對于所有k≠0是連續的(若p(x)∈L21,那么S(k)在k=0連續)且有如下性質：

1) (對稱性)T1(k)=T2(k)≡T(k),

2) (酉性質)

故

3) (解析性)T(k)在Imk >0時是亞純函數且有有限個簡單極點iβ1,··· ,iβn,βj >0,在虛擬k軸上,剩余項是

數?β21,··· ,β2n是H的特征值.當Imk >0,k≠ 0,iβ1,··· ,iβn,T(k)連續(若p(x)∈L21,那么當Imk ≥0,k≠iβ1,··· ,iβn,T(k)連續).

4) (逼近) (i)T(k)=1+O(1/k) 當|k|→∞,Imk ≥0,

(ii)Rj(k)=O(1/k),j=1,2,當|k|→∞,k是實數,

(iii) 若H沒有特征值,那么T(k)?1∈H2+且|T(k)|≤1在Imk ≥0.

5)|T(k)|>0對于所有Imk ≥0,k≠0,|k|≤C|T(k)|當→0,若p(x)∈L21,有兩種可能情形：

(i) 0

(ii)T(k) =αk+o(k),α≠ 0,當k →0,Imk ≥0,且1+Rj(k) =αjk+o(k),j= 1,2當k →0,k實.

證該定理1),2),4),5),6)的證明可參考文[3]中的定理2.1,只證明3).極點k0使得0,即k0為T(k)的極點.下證iβj,j=1,2,··· ,n是簡單極點.

令k=iβ(T?1(iβ)=0),故

下面計算[f1,˙f2](x),[ ˙f1,f2](x),由方程：?f′′2?2ipf′2?ip′(x)f2=k2f2得

該方程為常微分方程,則有：

則

因為e?f1(x,iβj) 是實值非零,且與e?f2(x,iβj) 線性相關,故(T?1)·(iβj)≠0.即得證iβj,j=1,2,··· ,n是簡單極點,且有剩余項：

3)得證.

引理2.5[3]

能被R1(k)(或R2(k))和特征值?β21>···>?β2n重構.

引理2.6[3]令H有n個界態：0>?β21>···>?β2n,且有相應的規范常數：

那么

引理2.7[3]對于定理2.1中的散射矩陣S(k),有

并且

引理2.8[3](i) 若p ∈L21/2,則

(ii) 若p ∈L21/2,且(p)′ ∈L21/2,則

引理2.9[3](虛擬水平集)H有一界態當且僅當m(x,0)=0對于某些x.

3.重構與跡公式

在這一節我們將論述如何通過反射系數和規范常數來重構位勢.另外除非特別說明,我們現考慮p ∈L21/2且p′ ∈L21/2.關于p的這些光滑性假設僅僅為了便于闡述最小化技術方法.特別地,通過定理2.14)(ii) 我們注意到kR(k)∈L1∩L∞?L2.由文[1] 知,通過引理2.8我們可得,當p無界態時有：

該式我們稱之為跡公式.

在下面證明中,方程(1.4)將對應如下初值條件

引理3.1[3]令p(x)無界態,能通過選取R(k)使得那么p能被它的反射系數R(k)重構出來.

引理3.2[3]令|r(k)|<1即r(k)=O(1/k),且假定m(x,k)?1和r(k)e2ikxm(x,k)+m(x,k)?1均屬于C(R,H2+).令b(x,k)=m(x,k)?1,我們有：

(ii)令r(k)在0處連續且選取δ使得且假定1,那么

(iii) 令a>0,r(k)滿足(ii)中條件,選取δa >0.使得對|x|≤a,選取則

定理3.1假設p(x)∈L21(0,∞)無界態(半直線)且無虛擬水平,那么p(x)能被它(半直線上的)的散射矩陣S(k),?∞

證該定理證明分以下兩步,首先得到公式

而全直線上的反射系數R可以視為限制在(0,∞),故只需考慮半直線(0,∞) 上反射系數R即可,然后由引理3.1可重構p(x).詳細敘述如下：為了便于敘述,我們再次對p2(x) 作同樣的正則性假設：(p2)′ ∈L1(0,∞).我們假設,當m(0,0)≠0 時,即p(x)無虛擬水平集.核心想法是將半直線問題拓展成全直線上去.由引理2.9可得到這樣一個事實：p(x)在(0,∞)上能延拓至全直線并且有(p2)′ ∈L1(?∞,∞) 且無有界態.又m(x,0)≠0,x >0,因此大于0,p(x)可能在(?∞,0)上被重構.對于所有k,

其中R1(k),T(k)分別為反射系數,傳輸系數,且特別地,

或者

即

然而T(k)m2(0,k)/m1(0,k)?1∈H2+,因此R?= (1?S)?,即R?能由散射矩陣S重構.同樣地,當x ≥0,(kR)?能由散射矩陣S重構.

同理可得：

即

定理3.2令p(x)∈L21是無界態的位勢,那么

是方程(1.4)(3.1)的解且有：

其中C(R,a)僅依賴于反射系數R和點a.

證證明分為以下三步：首先通過引理2.1、2.6及定理2.1得到m(x,k)?1和r(k)e2ikxm(x,k)+m(x,k)?1均屬于C(R,H2+),其次,易知是方程(1.4)(3.1) 的解,最后可由引理3.2推導出

得證.

總結在p(x)無界態且在L21中時,我們得該位勢能被反射系數R(k)確定,并且得到基于R(k)的跡公式.另外,由此代入到原Schrdinger方程中,可以得到方程的解有上界.