一種非完全約束磁懸浮軸承的建模

張曉,黃強,耿雪霄

(1.九江學院 機械與材料工程學院，江西 九江 332005;2.廣西科技大學鹿山學院 機械工程系，廣西 柳州 545616)

主動磁懸浮軸承具有無需潤滑，無機械磨損，轉子轉速高，可在真空和極端溫度下工作等優點。在常規的磁懸浮軸承系統中，懸浮對象的5個自由度均被可控電磁力約束，以實現穩定支承，剩下1個自由度為功能運動的需要，如磁懸浮轉子系統中轉子的旋轉運動，磁懸浮列車車身的直線運動，精密磁懸浮定位系統中平臺的進給運動，這些運動由旋轉、直線電動機或者其他驅動器來驅動。然而，在實際應用中也存在一些特殊的磁懸浮軸承系統，由于結構空間的限制或特殊應用需求，無法配置足夠的主動懸浮支承，即可控制電磁力和驅動力的數量小于懸浮對象運動的自由度數，如磁懸浮飛車原理樣機系統[1]、磁懸浮心臟泵[2-3]、鋼板磁懸浮系統[4-5]及其他非典型磁懸浮系統[6-7]等。這些系統是利用磁懸浮軸承的邊界效應或高速轉子的陀螺效應等抑制非主動控制自由度方向上的外部擾動力對懸浮對象的影響，文中將此類磁懸浮系統定義為非完全約束磁懸浮軸承系統。

常規磁懸浮系統建模分析一般只需考慮軸承支承主動控制的電磁力，如徑向磁懸浮軸承的徑向電磁力，推力磁懸浮軸承的軸向電磁力，而忽略磁懸浮軸承邊界效應產生的電磁力[8-12]。然而，對于非完全約束磁懸浮軸承系統，當某些(個)自由度上只能依靠邊界效應抵抗外部擾動力時，忽略邊界效應產生的電磁力無法真實地反映系統本質。因此，提出針對非完全約束磁懸浮軸承系統的建模分析法則：在磁懸浮軸承主動控制的自由度方向可忽略邊界效應所產生的電磁力，而在非主動控制的自由度方向上須考慮邊界效應所產生的電磁力對系統動力學的影響。此外，以非完全約束磁懸浮軸承系統為對象，采用有限元分析法對邊界效應產生的電磁力進行仿真，并進行試驗驗證，以確定特定條件下系統動力學方程參數。

1 非完全約束磁懸浮軸承建模

1.1 電磁鐵電磁力分析

對于非完全約束磁懸浮軸承，單個電磁鐵的三維力學特性分析是系統建模的基礎。不僅要分析電磁鐵的法向電磁力，還要分析邊界效應產生的側向電磁力。利用ANSYS軟件對單個電磁鐵的三維靜態電磁場進行建模，如圖1所示，其中電磁鐵采用U形鐵芯和矩形銜鐵。分析銜鐵與磁極在x軸、y軸上相對位置變化后，支承面法向電磁力Fz和磁場邊界效應產生的側向電磁力Fx，Fy之間的變化關系。單個電磁鐵有限元仿真的主要參數見表1?？紤]模型尺寸和氣隙大小，外部空氣場設置為Box形狀，層厚5 mm，其他邊界條件及網格粗細按缺省值設置。

圖1 單個電磁鐵三維磁場有限元模型Fig.1 Finite element model of 3D magnetic field for single electromagnet

表1 單個電磁鐵有限元計算參數Tab.1 Parameters for finite element calculation of single electromagnet

保持氣隙和線圈電流參數不變，將銜鐵分別沿x軸、y軸平移，分析電磁力Fx，Fy，Fz的變化。電磁鐵三維磁感應強度分布如圖2所示。

圖2 銜鐵平移前后的三維磁感應強度分布Fig.2 Distribution of 3D magnetic flux density before and after translation of armature

由圖2可知，初始狀態時，銜鐵處于磁極中心位置，磁極處的氣隙磁場分布均勻且對稱，磁場無邊界效應，側向電磁力Fx，Fy均為0。當銜鐵沿y軸負向平移時，磁感應強度分布發生了明顯變化，氣隙磁場不再對稱，產生了磁場邊界效應。此時，Fy不為0，且方向與銜鐵平移方向相反(圖2a)，Fy使銜鐵向平移前的位置(y=0)回復。同理，將銜鐵沿x軸正向平移，Fx也將使銜鐵向平移前的位置(x=0)回復。

利用ANSYS軟件計算銜鐵在不同偏移量下所受的電磁力，其曲線如圖3所示。由圖可知，隨著銜鐵沿x軸(或y軸)平移量的增加，法向電磁力Fz均逐漸減小，側向電磁力Fx(或Fy)逐漸增大，Fy(或Fx)為0。由于磁極和銜鐵結構尺寸的影響，沿x軸、y軸分別平移銜鐵的位移相同時，邊界磁場產生的側向力不相等。

圖3 銜鐵平移時的電磁力Fig.3 Electromagnetic forces while translation of armature

1.2 軸承系統原理

非完全約束磁懸浮軸承系統的原理如圖4所示,系統由3個沿圓周均布的電磁鐵(M1，M2，M3)、渦流位移傳感器(S1，S2，S3)和1個環形的盤片(懸浮對象)組成。電磁鐵的法向電磁力約束盤片沿z軸的平移自由度及繞x軸、y軸轉動的旋轉自由度,磁場邊界效應產生的側向電磁力抑制盤片受到的xOy平面上的外部擾動力。3個渦流位移傳感器檢測盤片平面的位移，經過計算轉換為電磁鐵氣隙處的位移?？刂破鞲鶕姶盆F氣隙處的位移輸出3路控制信號到功率放大器，從而調節各個電磁鐵線圈的控制電流，將盤片平面懸浮在期望位置上(圖4b)。

圖4 非完全約束磁懸浮軸承系統原理Fig.4 Principles of incomplete constrained magnetic bearing system

建立固定坐標系Oxyz，坐標原點O為平衡位置處盤片的幾何中心，盤片中心軸線與z軸重合(圖4a)。在外部擾動力Px，Py，Pz和擾動力矩Tx，Ty，Tz作用下(假設擾動力、擾動力矩的方向均沿各坐標軸正向)，盤片幾何中心產生的偏心量為e(x，y，z)。此時，各個電磁鐵磁場邊界效應產生的側向力分別為Fxn，Fyn(n=1，2，3)；電磁鐵的法向電磁力為Fzn(圖5)。

圖5 盤片的受力圖Fig.5 Load diagram of disc

根據牛頓第二定律和文中提出的非完全約束磁懸浮系統建模準則，非完全約束磁懸浮軸承的動力學模型為

，(1)

式中：Jx，Jy，Jz分別為盤片繞各坐標軸的轉動慣量；R為電磁鐵中心線到z軸的距離；m為盤片質量；g為重力加速度；α，β，γ分別為盤片繞各坐標軸的旋轉角。

2 側向電磁力試驗

實際磁懸浮控制系統會根據氣隙反饋實時調節電磁鐵線圈電流，以保持懸浮對象在期望位置上懸浮?；贏NSYS靜態電磁力的仿真無法體現反饋控制下動態磁場及相關電磁力的變化規律，因此，通過試驗測量盤片所受的法向電磁力和側向電磁力，以驗證電磁鐵的力學特性和建立的系統動力學模型。磁懸浮軸承參數見表2。系統側向電磁力的測量原理如圖6所示。

表2 非完全約束磁懸浮軸承參數Tab.2 Parameters for incomplete constrained magnetic bearing

1—傳感器；2—z軸；3—電磁鐵；4—盤片；5—拉壓力傳感器；6—直尺

在懸浮狀態下，若沿y軸施加外部擾動力使盤片平移，電磁鐵M1的磁場邊界效應最顯著，其y向側向電磁力Fy1最大；M2和M3的磁場邊界效應較弱且相對于y軸對稱，同時產生的側向電磁力Fx2與Fx3相互抵消，且Fy2=Fy3?Fy1。因此，盤片沿y軸平移后，其回復力主要取決于Fy1。

沿y軸給盤片施加外部靜態載荷Pf，盤片中心軸線沿y軸方向產生偏離量Δy，此時Fy1與Pf平衡。逐步增加Pf直至盤片失穩跌落，盤片在失穩臨界點時側向電磁力達到最大值。由此可以測得一系列外部靜載荷、偏移量、側向電磁力及線圈控制電流I的對應關系。

以最小二乘法曲線擬合所測數據可得盤片偏移量與線圈控制電流的關系曲線，如圖7所示。由圖可知，M1的控制電流I1隨著中心偏移量的增加呈非線性增加，M2，M3的控制電流I2，I3基本保持不變。說明沿y軸作用于盤片上的靜態載荷Pf主要由M1產生的側向電磁力Fy1平衡。

圖7 盤片偏移量與線圈控制電流關系曲線Fig.7 Relationship curve between offset value of disc and control current of coil

盤片偏移量與外部靜載荷的關系曲線如圖8所示。對數據點進行最小二乘擬合可得

圖8 盤片偏移量與外部靜載荷關系曲線Fig.8 Relationship curve betueen offset value of disc and external static load

Fy1=-Pf≈-0.054 4Δy。

(2)

根據側向力的測量試驗和力平衡原理可知，盤片在平移過程中保持穩定懸浮。此時，盤片所受的法向電磁力Fz始終與盤片重力平衡，側向電磁力與外部靜載荷平衡(電磁鐵線圈電流增大，氣隙磁場能增加，增加的這部分磁場能以機械力的形式克服盤片的水平外部靜載荷)。

利用U形電磁鐵和銜鐵的有限元模型(圖1)，改變線圈電流的仿真參數值，保持法向電磁力Fz不變，可得銜鐵沿x，y軸的平移量與電磁力的關系曲線，如圖9所示。由圖可知，在保持Fz不變的條件下，磁場邊界效應產生的側向電磁力與銜鐵偏移量呈線性關系，計算結果與試驗結果吻合。

圖9 Fz不變時銜鐵平移量與側向電磁力關系曲線Fig.9 Relationship curve between translation value of armature and laternal electromagnetic force while Fz keep unchanged

3 軸承動力學模型修正

根據試驗結果可知，Fy1與Δy呈線性關系，因此側向電磁力可以等效為彈簧力，盤片在y軸方向上的動力學方程為

(3)

式中：P(t)為盤片受到的沿y軸方向的外部水平擾動力(小于最大臨界側向電磁力)；k為等效剛度系數(試驗測量值k=54.4 N/m)。

若以外部擾動力P(s)為輸入，盤片沿y軸的平移量Y(s)為輸出，系統的傳遞函數為

(4)

由(4)式可知，理論上，當P(t)撤銷后，盤片在y軸方向上應做等幅簡諧振蕩。然而實際運行過程中，盤片在受到水平方向上的脈沖激勵擾動力作用時，復振蕩運動的振幅較快衰減至零，盤片最終能夠穩定懸浮在初始位置。而在盤片運動過程中，所受風阻可利用摩擦風阻計算公式F=0.5cρSv2(c為空氣阻力系數，一般取0.3～0.6；ρ為空氣密度；S為盤片的迎風面積；v為盤片與空氣的相對運動速度)進行估算。結果表明，風阻對盤片振蕩運動的影響可以忽略不計。該現象與(3)，(4)式所描述的理論結果不符。因此，說明側向電磁力不僅可等效為彈簧力，還應該包含阻尼效應。修正(3)式，增加與盤片y軸方向速度成正比的等效阻尼系數cy，該系數可通過試驗測得，運動微分方程為

(5)

同理，若盤片在外載作用下沿x軸平移，磁場邊界效應產生的側向力也可以等效為彈簧阻尼力，運動方程為

(6)

式中：cx為等效阻尼系數；kx為等效剛度系數。

若盤片在外力矩Tz作用下繞z軸轉動，此時盤片在水平方向上不會有偏移，也沒有邊界效應產生的側向電磁力。由于盤片是導電鐵磁材料，當其相對于電磁場運動時會在其內部產生渦電流，渦電流的電磁阻尼作用會阻礙盤片的相對運動[13]，故此時運動方程為

(7)

式中：cγ為等效阻尼系數。

由文獻[14]可知，PID控制的常規主動磁懸浮軸承可以等效為彈簧阻尼系統，系統的有效剛度和阻尼分別為

(8)

對于可以等效為彈簧/阻尼支承的法向電磁力Fz，其表達式為

(9)

式中：Kamp為功放增益；Ksensor為傳感器增益；ks為位移/力系數；ki為電流/力系數；zsensor為盤片在z軸方向的位移。

在外部擾動力/力矩作用下，盤片中心偏離坐標原點位置(x，y，z)，將(3)～(9)式代入(1)式可得

,(10)

4 試驗驗證

對盤片施加沿y軸方向的脈沖激勵力及繞z軸的旋轉力矩，記錄系統的響應，驗證動力學修正模型的正確性。

4.1 z軸方向脈沖激勵力和轉矩的響應

盤片在初始位置穩定懸浮后，在t≈3 s時刻對其施加一個沿z軸負方向的脈沖激勵，如圖10a所示，盤片的響應曲線如圖10b所示，由圖可知，產生的z向振動迅速衰減，并穩定在平衡位置。

圖10 z軸方向施加脈沖激勵時盤片響應Fig.10 Response of disc under pulse excitation in z direction

盤片在初始位置穩定懸浮后，給盤片施加一個脈沖轉矩(圖11a)。當外加轉矩為0時，在電磁場阻尼作用下，盤片轉速在3.7 s內從95 r/min衰減至0(圖11b)。試驗結果與(10)式中的運動方程表述一致。

圖11 z軸方向施加脈沖轉矩時盤片的響應Fig.11 Response of disc under pulse torque in z direction

4.2 y軸方向脈沖激勵響應

系統穩定懸浮后，在t≈5 s時刻沿y軸方向對盤片施加脈沖激勵，如圖12a所示。利用激光傳感器采集盤片的y向位移信號，響應曲線如圖12b所示。由數據采集卡獲得的傳感器S2的懸浮氣隙曲線如圖12c所示。

圖12 y軸方向施加脈沖激勵時盤片響應Fig.12 Response of disc under pulse excitation in y direction

雖然盤片沒有受到z軸方向擾動，但由于y軸方向的平移會引起盤片平面傾角變化，盤片在z軸方向也產生了小幅振動，并和y軸方向振動同步衰減至零。對比圖10b和圖12c可知：當盤片受到擾動時，主動控制自由度方向上振幅的衰減速度遠大于非主動控制自由度方向。

由于盤片受到脈沖力Py的作用，t=5+τ時，Py=0(圖12a)。測得此時Δy=16 mm，盤片在側向力作用下向初始中心位置回復。求解(10)式中的第2項，得到解析解形式為

(11)

將初始偏移量、盤片質量和剛度ky代入(11)式，并用MATLAB軟件繪制不同阻尼系數下y(t)曲線，如圖13a所示。當阻尼系數cy=0.45 s·N·m-1時，偏移量函數曲線與激光傳感器實測曲線幾乎完全重合(圖13b)，說明所建立的運動方程可以表示盤片在y軸方向上的動力學行為。

圖13 y軸方向動力學方程的驗證Fig.13 Validation of dynamics equations in y direction

因為電磁鐵沿圓周均勻布置，且盤片結構對稱，所以系統在y軸方向上的運動分析也適用于xOy平面內與y軸成120°的特定方向，即在特定運動方向上的等效剛度系數與等效阻尼系數均分別為54.4 N/m和0.45 s·N·m-1。

5 結束語

分析了一種非完全約束磁懸浮軸承的動力學建模方法，提出了在非主動控制自由度方向上考慮側向電磁力作用的建模準則。經試驗證明：電磁鐵磁場邊界效應產生的側向電磁力具有剛度阻尼特性，可以抑制相關自由度方向的外部擾動；所建立的非完全約束磁懸浮軸承模型滿足特定方向上的動力學分析。在研究和設計其他類型的非完全約束磁懸浮軸承系統時，可以借鑒提出的動力學建模方法和試驗方法。