基于可拓學與仿生學的板殼結構設計

(濟南大學 機械工程學院，山東 濟南 250022)

板殼結構以其輕量化、承載能力強和易于加工的特點而廣泛應用于航空航天、汽車工業、輪船制造等領域[1]。為了實現輕量化和強承載能力，一種典型的設計是在基板上布置加強筋，在實現輕量化的同時，也能保證具有足夠的承載能力。傳統的加強筋多為米字型、井字型等簡單設計[2]。隨著拓撲優化理論的不斷完善[3-4]，許多學者將變密度、均勻化和漸進結構應用到板殼結構設計中[5-6]。由于離散拓撲優化理論可適用算例較少，而且優化結果極易出現棋盤格式、網狀格式等傳統布局格式，因此應用范圍十分有限。

隨著近年來仿生學的發展，一些學者開始將仿生學應用于板殼結構的設計。仿生學的運用為板殼結構的優化設計提供了新的設計思路。丁曉紅等[7-8]、季學榮等[9]根據植物根系的生長機理，提出一種自適應成長算法設計，用于板殼結構加強筋布局設計。植物根系總能根據自身所處環境自適應成長而使整體功能達到最優，將該特點運用到板殼結構的優化設計中，提高了優化設計的效率。薛開等[10]根據雙子葉植物葉脈脈序生長規律，提出一種適用于板殼結構加強筋布局設計的仿生脈序生長算法。根據該算法得到的加強筋板材易于加工，增強效果明顯。目前，仿生板殼結構設計領域的研究主要集中在仿植物根系或者葉脈脈序，對飛行昆蟲的研究較少。蜻蜓、蟬等飛行昆蟲的翅膀質量僅占體質量的1%～2%，但是能夠保證飛行過程中極高的穩定性和承載能力。本文中以蟬翼為仿生對象，通過將可拓學與仿生學相結合，分析蟬翼的構成及機理，探討各組織結構對承載能力的貢獻度，利用各結構貢獻度的大小對板殼結構進行仿生設計，利用有限元軟件對仿生模型和傳統模型進行仿真分析。

1 仿生可拓模型構建

1.1 仿生學與可拓學

仿生學是利用在生物界發現的機理和規律來解決人類需求的綜合性交叉學科[11]。它將生物經過億萬年進化逐漸具有的各種與生存環境高度適應的功能特性移植到相應的工程技術領域中，為人類提供靈活、高效的技術系統[12]。目前，仿生領域以單元仿生為主，例如材料仿生、形態仿生、結構仿生、構型仿生等。近幾年，隨著仿生學的發展，單元仿生向多元仿生發展成為新的趨勢。多元耦合仿生是仿生學的最新發展成果，其中生物耦元是指對生物功能實現有貢獻的各種因素，是構成生物耦合的基本單元[13-14]；生物耦合是指2個或2個以上耦元通過一定的方式組合在一起，成為一個系統或生物實體。多元耦合仿生可以解決部分傳統單元仿生難以解決的問題。

可拓學是一門涵蓋哲學、數學和工程學的交叉學科，由蔡文[15]于1983年首先提出?？赏貙W的核心是基元理論、可拓集理論和可拓邏輯。近年來，可拓學研究者把可拓論和可拓創新方法與其他領域相關知識交叉融合產生了可拓工程，例如與信息科學交叉融合，以物元、事元和關系元表示信息建立信息和知識的形式化模型，通過可拓變換和可拓推理建立了解決問題的模型[16-17]。洪筠等[18]將可拓論與生物耦合相結合，提出生物耦合可拓分析法，對生物耦合與生物模本進行分析。對于多元耦合生物模本的可拓研究有助于分析其耦合機理，通過生物模本的軟、硬分析可揭示生物的系統組成和內外關系。

1.2 優選多元耦合仿生模本

生物模本是仿生學的基礎，如果沒有生物模本，則仿生即為無本之木、無源之水。仿生模本的優選直接關系到仿生設計的成敗，因此在仿生設計時，生物模本必須優選。在優選過程中首先要對目標需求進行需求分析，然后尋找與其有相似性的仿生模本。

1.3 生物耦元的確定與可拓模型構建

式中：Ch為生物硬部特征；Vh為生物硬部特征所對應的量值；h(Om)為生物硬部，由n個特征Ch1,Ch2,…,Chn，以及所對應的n個量值Vh1,Vh2,…,Vhn組成的陣列構成；Cf為生物軟部特征；Vf為生物軟部特征所對應的量值；f(Om)為生物軟部，由n個特征Cf1,Cf2,…,Cfn，以及所對應的n個量值Vf1,Vf2,…,Vfn組成的陣列構成。

同理，根據潛、顯分析結果，潛部用t(Om)表示，顯部用p(Om)表示，則Om=t(Om)+p(Om)。依據可拓共軛理論建立生物可拓模型的步驟見圖1。

圖1 可拓分析模型

1.4 判斷矩陣構造與生物耦元貢獻度計算

生物各組織結構對于生物功能實現的貢獻度是不同的。精確計算各生物結構對生物功能實現的貢獻度可使工程仿生的目標更加明確，從而提高仿生設計的效率。層次分析法有較嚴格的數學依據，廣泛應用于多層次、多指標復雜系統的分析與決策，非常適合生物耦元重要度的分析?；谠囼瀮灮膶哟畏治龇ǖ幕舅悸啡缦拢?)選定生物模本，用符號表示生物系統結構集合X={x1,x2,…,xn}，n為生物系統耦元的總個數。2)根據生物耦元分析表列出判斷矩陣A，其中的元素xij為生物系統耦元xi相對于生物系統耦元xj的重要程度(i、j為生物系統耦元順序，1≤i≤n,1≤j≤n)，其取值為標度，如表1所示。矩陣A中xji的取值為xij的倒數，即xji=1/xij。求解矩陣A的最大特征根及所對應的特征向量，經歸一化處理后，得出各生物結構對功能實現的貢獻度。3)通過計算判斷矩陣的一致性檢驗，得出每個生物結構的貢獻度。一致性檢驗公式為

(1)

(2)

式中：E為矩陣A的一致性檢驗指標；λmax為矩陣A的最大特征根；r為隨機一致性比例；I為矩陣A的隨機平均一致性檢驗指標。當n為0、1、2、3、4、5時，I取值為0、0、0.58、0.90、1.12、1.24。

表1 判斷矩陣標度及其含義

用一致性比例r的取值來檢驗一致性，當r=0時，判斷完全一致；r>0,且r<0.1時，A具有滿意的一致性，否則需要調整判斷矩陣A。

2 蟬翼仿生可拓模型構建

2.1 板殼結構仿生模本優選

蟬又名知了，是飛行昆蟲中較大型的昆蟲[20]。其翅膀的質量僅占自身體質量的1%～2%，但是蟬在飛行過程中能表現出極高的穩定性和承載能力。將蟬翼質量與身體按比例擴大，是相同質量飛機機翼承載能力的10倍以上。板殼結構既需要輕量化又需要強大的承載能力，該主要功能需求與蟬翼承載功能有很大的相似性，因此將蟬翼作為仿生模本。

蟬翼主要由不同尺寸的翅脈和一定剛度的翅膜組成。蟬的翅脈通常分為前翅脈、后翅脈、中間支脈、加固尾脈4個部分，如圖2所示，其尺寸如表2所示，其中部分數據引自文獻[21]。蟬翼的翅脈為整個蟬翼提供了主要的支撐結構。

圖2 蟬翼示意圖

表2 蟬翼翅脈結構數據

翅膜主要由表皮和表面蠟質材料構成。表皮由一層網格狀的纖維構成，可以使翅室在各個方向同時抵抗載荷，同時也可以提高臨近單元的翅脈的抗彎曲性和扭曲度。表皮材料主要由幾丁質(蛋白質和脂類化合物)和基質構成。在近翅端，翅膜厚度約為0.12 mm，在遠翅端翅膜厚度約為0.04 mm，材料密度為1 mg/mm3。

2.2 蟬翼仿生多元耦合可拓模型構建

對蟬翼進行機理分析可知，蟬翼承載功能的實現是由翅膜形態、翅脈結構分布以及纖維組織和幾丁質材料共同作用的結果，因此確定蟬翼生物耦合的耦元為翅膜形態耦元、翅脈結構耦元、纖維組織和幾丁質等材料耦元。根據對蟬翼結構的描述，構筑蟬翼結構的可拓模型為

式中：Mi，Mj分別為第i、j個耦元(i,j=1,2,3)；R為耦聯方式；Cr為關系的特征；Vr為關系特征相對應的量值；Vr3=[緊密，較緊密]；Vr4=[組合，嵌合，復合]；Vr5=[疊加，階梯]；Vr6=[永久]。

式中Vm1=[降低，支配對象，自身重量]∧[增強，支配對象，承載能力]。

2.3 判斷矩陣構建與主耦元確定

根據蟬翼可拓模型，用x1、x2、x3表示翅脈結構耦元、翅膜形態耦元、材料耦元。根據層次分析法列出判斷矩陣A，即

(3)

將判斷矩陣A代入AG=λmaxG，得到特征向量為G=(0.928 1,0.328 8,0.174 7)，最大特征根λmax=3.003 7，代入式(1)、(2)得一致性檢驗結果為

(4)

(5)

根據計算數據分析，結果符合一致性檢驗結果要求，因此，在蟬翼承載能力功能生物耦元中，翅脈結構耦元、翅膜形態耦元和材料耦元的貢獻度分別為0.412 1、0.184 7、0.086 9。蟬在飛行過程中翅膀的承載能力的實現主要依靠翅脈結構耦元，其次為翅膜形態耦元和材料耦元。

3 仿生設計

3.1 仿生模型構建

由于蟬翼翅脈結構、翅膜形態、材料組成特別復雜，因此不能完全復制蟬翼，否則既不現實，也不經濟。根據式(3)的計算結果，選擇蟬翼承載功能的主耦元即蟬翼翅脈結構耦元作為仿生模本，蟬翼翅脈結構耦元中翅脈的分布特點對承載能力起決定性的作用，因此是仿生設計的主要依據。

根據2節中對蟬翼翅脈結構的分析，根據蟬翼翅脈分布規律，在尺寸為1 000 mm×1 000 mm×5 mm(長度×寬度×高度)的基板上布置加強筋。為了便于加工，筋板的尺寸統一設為10 mm×2 mm(高度×厚度)。筋板根據蟬翼翅脈分布結構分為主脈和次脈，主脈之間的角度取蟬翼主翅脈之間角度的平均值17°，模仿蟬翼后翅脈之間的角度，次脈之間的角度取為30°～40°，所有圓角半徑均為10 mm，如圖3(a)所示。作為對比，建立傳統型板殼結構，基板尺寸為1 000 mm×1 000 mm×5 mm(長度×寬度×高度)，筋板尺寸為10 mm×2 mm(高度×厚度)，筋板分布為傳統網格狀，網格尺寸為60 mm×60 mm(長度×寬度)，所有圓角半徑均為10 mm，如圖3(b)所示。

(a)仿生型

(b)傳統型圖3 仿生型與傳統型板殼結構

3.2 模型仿真與分析

在相同的載荷和邊界條件下分別對傳統型板殼結構和仿生型板殼結構進行靜力學有限元分析。材料選為結構鋼，屬性如下：彈性模量E為210 GPa，屈服力σs為275 MPa,密度為7 800 kg/mm3，泊松比為0.28，在板殼結構上平面加載10 000 N的均勻載荷，圖4所示分別為傳統型和仿生型板殼結構的應力與變形分布。

表3所示為傳統型和仿生型板殼結構有限元分析結果。從表中可以看出，與傳統井字型板殼結構相比較，仿生型板殼結構質量減小了5.06%。在壓力10 000 N的作用下，由圖4(a)可知，仿生型板殼結構最大應力主要分布在主筋板和次級筋板中，最大值為140.79 MPa。由圖4(b)可知，傳統的板殼結構最大應力主要分布在對稱的基板板中，最大值為163.08 MPa。與傳統型板殼結構相比，仿生型板殼結構最大應力減小15.83%。由圖4(c)、(d)可知，仿生型和傳統型板殼結構最大變形均在中心位置，變形量分別為1.95、2.04 mm。與傳統型板殼結構相比，仿生型板殼結構最大變形量減小了4.62%，表明仿生設計更合理，能有效地使應力均勻分散。由此可見，相對于傳統的井字型板殼結構，仿蟬翼結構設計的板殼結構在實現輕量化的同時，還能有效地改善板殼結構的力學性能，應力區域分布更均勻、合理，是一種比較理想的板殼結構設計方案。

(a)仿生型板殼結構應力分布

(b)傳統型板殼結構應力分布

(c)仿生型板殼結構變形分布

(d)傳統型板殼結構變形分布圖4 仿真分析結果

表3 傳統型和仿生型板殼結構有限元分析結果

4 結語

本文中將可拓學的基元理論、共軛理論和仿生學相結合，建立了生物耦合可拓模型，形成了對仿生模本定性與定量分析的有效工具，從而使非生物學設計者也能清晰地了解生物結構。

1)運用層次分析法，通過構建判斷矩陣計算各生物各耦元的貢獻度。生物耦元貢獻度的確立可以進一步明確仿生目標，有助于提高仿生設計的效率。

2)通過借鑒蟬翼的結構規律對板殼結構進行仿生設計得到仿生型板殼結構。運用仿真軟件進行靜力學分析，相對于傳統的板殼結構質量減小了5.06%，應力減小了15.83%，有效地提高了板殼結構的承載能力。