宇宙大尺度結構空洞的演化研究?

趙 飛 羅 煜 韋成亮

(1 中國科學院紫金山天文臺星系宇宙學與暗能量實驗室 南京 210034)

(2 中國科學技術大學天文與空間科學學院 南京 210034)

1 引言

宇宙中的物質分布在大尺度上形成了非常復雜的網絡狀的結構,一般我們把這些大尺度結構分為空洞(void)、墻結構(wall)、纖維結構(filament)、團塊結構(cluster)等.空洞結構的體積大約占宇宙總體積的80%,自從1978年人類第1次從星系巡天中發現空洞結構以來[1],人們便開始考慮利用空洞來研究宇宙學,以作為星系等其他宇宙學探針的補充.

空洞結構在宇宙學方面有非常重要的潛在應用價值.空洞的尺度跨度比較大[2–4],從1 Mpc到100 Mpc都有,這使得我們能夠同時在不同尺度上研究宇宙.空洞結構內部的密度非常低,重子物質的質量占比相對較少,故其內部的動力學可能由暗能量主導,這使得我們能夠用空洞結構來研究暗能量的屬性,限制暗能量的狀態方程[5–10].此外,空洞內部密度低,故修改引力理論如F5(Fifth force)等的效果更容易在其內部體現出來,因此空洞是檢驗修改引力理論的一個非常好的探針[11–15].空洞的統計性質對中微子的質量比較敏感,通過空洞來限制中微子的質量也是頗受關注的問題[16–18].空洞結構包含了宇宙大尺度結構形成的信息,可以用來做Alcock-Paczynski檢驗[19–20].如與宇宙微波背景結合,可以用來研究累積薩克斯-沃爾夫(ISW)效應[21–26].此外,空洞結構的尺度和紅移畸變的尺度相近,這使得空洞結構還能用來研究紅移畸變[27–32].

盡管空洞有很多潛在的應用價值,但目前這方面有很多問題尚未解決.其一是我們對空洞這一概念沒有一個嚴格的定義,我們對空洞的研究主要是數值模擬主導的,每個人的算法或多或少存在差異,以致不同研究者之間的結果存在差異,互相之間不好比較[33–37],二是我們沒有一個和實際模擬以及觀測數據相符合的完善的空洞理論模型[38–42].

空洞理論模型的建立主要借鑒了暗物質暈的理論模型,為進一步完善空洞的理論模型,從數值模擬角度出發研究其演化是一個非常好的思路,能夠為構建理論模型提供一些數據支撐.而目前空洞演化研究還尚未成熟[43–46],Sutter等[43]以及Wojtak等[44]通過借鑒暗物質并合樹的方法來研究空洞的演化,這些研究整體上定性給出空洞演化的物理圖像,即相對暗物質等高密度結構而言,空洞的演化過程沒有那么劇烈,從數值模擬的初始條件紅移z=100開始直到z=0時刻,在跨度如此大的紅移區間內,空洞基本上保持了最初的位置,空洞隨紅移逐漸緩慢地膨脹變大,最后體積大概增加20%左右.在演化過程中,空洞的形狀分布整體改變很小,其形狀有比較弱的變扁趨勢.其主軸的指向也大體保留了初始時刻的指向.Sutter等[43]和Wojtak等[44]工作的結果也有不同之處,Sutter等[43]的結果是空洞的演化歷史和其等級結構更加相關,與空洞大小關系比較弱,而Wojtak等[44]的演化軌跡主要是由空洞的大小決定的.這其中的差異主要是他們選擇的具體空洞樣本以及追蹤空洞的起源等方法上的不同所致.即空洞演化在細節上的結果是依賴于研究方法的.

之前關于空洞演化的研究主要關注暗物質空洞的演化,但是暗物質空洞和星系空洞之間的統計性質存在差別[47–51],這主要源自星系偏袒,即星系分布不能精確代表宇宙所有物質的分布.Kreisch等[17]在研究空洞的統計性質對中微子質量響應的時候,發現不同示蹤物找出來的空洞大小分布對中微子質量的響應是相反的.這說明搞清楚不同示蹤物找出來的空洞之間的差別非常重要.之前一些研究暗物質空洞和星系空洞的文章[47–48]指出,星系空洞和暗物質空洞大體上能夠匹配得上,但是兩者的質心會在統計上偏離大約空洞大小的50%.另外暗物質空洞和星系空洞的疊加密度輪廓非常相似,能夠用Hamuas等人給出的公式擬合[52].在研究星系偏袒的時候,模擬粒子的數密度會帶來非常大的影響,會掩蓋掉星系偏袒造成的星系空洞的統計性質的差別[48].Pollina等[49–50]在研究星系、星系團、活動星系核(AGN)等空洞的偏差時,發現重子物質的空洞的疊加密度輪廓和其中的暗物質的疊加密度輪廓之間存在比值關系,該比值隨著空洞的變大而逐漸減少,最后漸近于線性偏袒因子,偏袒因子即星系功率譜和暗物質功率譜的比值.

這里需要特別注意的是,目前研究中所討論的關于星系空洞和暗物質空洞之間的差別由以下幾個原因導致:(1)暗物質和星系之間真正由宇宙的物理演化過程所產生的偏袒,這部分是我們真正所關心的部分;(2)目前主流的基于Tesselation的空洞算法比如VIDE(Void Identification and Examination toolkit)將星系看作是等質量的粒子,在做Tesselation的時候沒有考慮質量權重,這部分會引起噪聲.沒有考慮星系質量權重的主要原因有兩點,一是目前真實巡天數據中的做法也是直接去數星系的數目而不考慮其質量權重,二是Mao等[53]指出,不同密度環境中的星系質量分布差別不是特別大;(3)示蹤物的數密度不同所帶來的誤差.前人的研究往往忽略了這一點,即沒有考慮不同示蹤物之間的粒子數密度不同所帶來的影響.Sutter等[48]在研究示蹤物的粒子數密度對空洞統計性質影響的時候發現,當示蹤物的粒子數密度比SDSS DR7(Sloan Digital Sky Survey Data Release 7)的星系數密度(約為10?2Mpc?3·h?1,h為無量綱哈勃常數)低的時候會帶來比較大的系統性誤差,主要體現在對空洞統計性質的系統性影響,而更高的示蹤粒子數密度給出的結果比較穩定.因此目前設置示蹤物粒子數密度的時候以SDSS DR7對應的值為參考或更高.

前人關于示蹤物導致的空洞統計性質差別的相關研究包含了上述3個方面,而本文在研究示蹤物偏差的時候將不同示蹤物的粒子數密度設置為相等,這樣就避免了示蹤物數密度不同所帶來的不確定性,即本文中的偏袒只包含真實的示蹤物之間的偏袒且沒有考慮星系質量權重所帶來的噪聲.另外,前人關于示蹤物的研究主要關注紅移z=0處的星系空洞和暗物質空洞統計性質之間的差別,或者研究一些真實的星系巡天數據如SDSS數據的開源空洞列表[53–56],在本文的工作中,基于密度場極小值這一空洞的最基本的定義,我們系統研究了暗物質和星系示蹤物找出來的空洞的統計性質的差別及其隨時間的演化.此外,本文中使用了比較高的示蹤物數密度(約是SDSS DR7星系數密度的100倍),這樣能夠更好地解析小的空洞,以便于對空洞的理論模型的完善提供借鑒.本文接下來的第2部分主要介紹我們使用的空洞結構算法,第3部分主要介紹我們使用的數據,第4部分主要介紹我們的研究結果,最后是總結和討論.

2 VIDE算法

空洞的算法多種多樣[57–61],不同的算法給出的結果還或多或少存在差異[33,37],這也是目前空洞領域比較棘手的問題.但是相對而言,目前使用比較多的算法是Sutter等[57]的開源程序VIDE,VIDE是一個優化版的ZOBOV(ZOnes Bordering On Voidness)[58].并且其模塊化程度比較高,易于根據自己的需要修改.

VIDE的基本思路分為4個步驟:

(1)生成維諾圖(Voronoi Tesselation)[62].對于一個離散的粒子集,我們給每個粒子生成一個小多面體,該多面體按照如下規則確定: 對于該體元內部的任意點,其與該粒子的距離比其他粒子與該粒子的距離都要小.該體元的倒數就是該位置處粒子的局域密度值,這樣一來就得到了一個以每個粒子為中心的密度場.

(2)尋找密度極小值點.對于第1步給出的密度場,我們找出所有的密度極小值點.密度的極小值點按照如下定義: 如果某個粒子的局域密度比所有與它相鄰的粒子的局域密度都要低,那么這個粒子的位置就認為是密度場的極小值點.

(3)建立局域的低密度區域.以第2步給出密度場的每個極小值點為中心向四周擴散,把所有相鄰的并且密度更高的體元連接起來,在連接的過程中不斷以邊界的體元為準進行迭代擴張,直到沒有更高密度的相鄰體元.如此則給出了圍繞每個密度極小值的局域的低密度區域.這些局域的低密度區域就可以認為是空洞結構.

(4)分水嶺變換(Watershed transform)[60].這一步驟對第3步得到的局域低密度區使用分水嶺算法進行連接,從而形成更大的空洞結構.這種分水嶺算法也給出了空洞結構的等級結構,根據其包含與被包含的關系,我們將之稱為父空洞結構和子空洞結構.所謂的父空洞是不被其他空洞包含的空洞,而子空洞是被其他空洞結構包含的空洞.我們用等級深度來表示被包含的層次,不被包含的父空洞的等級結構深度為0,被包含一次的等級深度為1,依此類推.

VIDE程序給出來的空洞是通過成員粒子集合來表示的,其形狀是不規則的.而一些情況下我們需要對大量空洞樣本進行疊加,這首先要求我們確定空洞的中心,比較常見的確定空洞中心的方法有兩種,一種是把空洞密度最低的位置(即體積最大的成員粒子的位置)定義為中心,而另一種方法則是將空洞成員粒子的質心定義為中心(所有維諾體元的體積加權的中心):

其中xi是空洞結構的第i個成員粒子的位置,而Vi則是對應的維諾體元的體積.對空洞中心本文中使用上述定義.

另外,由于VIDE給出的空洞形狀是不規則的,這給空洞的疊加以及衡量空洞的尺度帶來了不便,對于空洞尺度我們使用有效半徑Reff來描述其大小,其定義如下:

其中V是空洞結構的體積(所有維諾體元的體積之和),即空洞的有效半徑是與空洞真實體積相等的球的半徑,在本文后面的內容中,我們統一使用有效半徑來表示空洞結構的大小.另外,我們在疊加空洞的時候也是以(1)式計算的中心為準對齊,參與疊加的粒子是Reff內的粒子.

上述算法的第4步分水嶺變換即是以密度場極小值為中心的局域低密度區域的擴展,通過這一步空洞形成了復雜的等級結構.但問題也是恰恰在這一步產生,即如何擴展目前并無定論.最常見的情況是根據低密度區域之間的分隔區域的密度高低和人為設定的閾值來比較以確定是否擴展.而常用的閾值選擇之一是0.2,即當兩個低密度區域之間的分隔區域的密度低于整個模擬體積密度的0.2倍的時候滿足擴展條件.另外一種策略是將該閾值設置為無窮大,如此一來,密度值最小的低密度區域會將其他所有的低密度區吞噬,其結果是空洞的體積加起來超過了整個模擬體積,很顯然這是不太合適的.

Nadathur等[37]在對比空洞的性質和理論模型預言的時候,將并合閾值設為0,即不考慮密度極小值區域的擴展,空洞列表由上述算法的第3步得到的局域低密度區域構成.Nadathur的初衷是這種做法在建立理論模型的時候可能更好處理.除此之外,這種做法很適用于我們研究空洞的演化,因為空洞的演化大體上是內部密度減小的過程,在不同紅移處設置相同的并合閾值比如0.2顯然是不合適的,而這種不考慮擴展只研究密度場極小值區域的做法對不同紅移而言是比較合適的.

3 數據

我們使用的數據是一個高精度的N體宇宙學模擬的數據,該數值模擬是ELUCID(Exploring the Local Universe with the reConstructed Initial Density Field)項目的一部分[63–65].該模擬的粒子數是30723,模擬盒子的邊長是500 Mpc,并使用周期性邊界條件.宇宙學參數是WMAP9(Wilkinson Microwave Anisotropy)[66]的結果,具體的宇宙學參數值分別是: ?m=0.282,?λ=0.718,?b=0.046,ns=0.965,h=0.697,σ8=0.817,質量分辨率是3.3747×108M⊙·h?1.該模擬起自紅移100,從紅移19到紅移0處,在lg(1+z)空間中等間隔輸出100個紅移位置的數據.

基于該N體數值模擬,我們通過FOF(Friends of Friends)算法給出暗物質暈的列表,再基于此暗物質暈列表,通過半解析模型[67]給出了對應紅移處的模擬星系列表.

為了研究空洞演化,我們在紅移2.03到紅移0之間總共取了6個紅移位置的星系數據.圖1給出的是6個紅移位置處的星系數目Ngal,其中紅移2.03處的星系數目為13495546,記作Ngal(z=2.03)=13495546,相應的數密度為0.1079 Mpc?3,星系在不同的紅移處其數目略有變化,如圖1所示.另外,由于暗物質粒子和星系粒子的數密度差異比較大,這會對研究星系空洞和暗物質空洞之間的偏袒帶來影響[48],因此我們將6個紅移位置處的暗物質粒子向下采樣至和對應紅移的星系相同的數密度,并且為了考慮泊松噪聲的影響,我們還產生了對應的具有相同粒子數密度的泊松樣本.本文使用的N體模擬數據以及基于此給出的半解析模擬星系皆是在共動坐標系下的結果,相關的坐標皆是共動坐標.

圖1 不同紅移處的星系數目的分布,其中Ngal(z=2.03)=13495546Fig.1 The distribution of galaxy number at different redshifts where Ngal(z=2.03)=13495546

4 結果與分析

圖2給出的是空洞的大小和內部密度最小值的2維分布,圖2中nmin是空洞內部密度最小值,是整個模擬體積的粒子平均數密度,之后相同的變量同此意.左邊一列是暗物質空洞,右邊一列是星系空洞,從上到下依次是從高到低的3個不同紅移.空洞內部密度的最小值我們用整個模擬體積內部的粒子平均密度進行歸一化處理.其中的虛線是由對應的泊松樣本找出來的空洞2維分布等值線,其物理意義是該等值線內部包含了泊松樣本的空洞數目的99%.從圖2可以看出,相對同一紅移處的暗物質空洞的分布,星系空洞的分布總是更加緊致,并且內部密度相對要低一些.另對比3行子圖可以看出隨紅移的演化,我們找出來的空洞分布和泊松樣本的空洞分布差別越來越大,從最后一行圖中可以看出,在紅移0處,我們的空洞樣本幾乎不受泊松噪聲的影響.在高紅移處,空洞樣本的分布和泊松空洞樣本的分布重合比較多.

圖2 空洞內部密度最小值nmin和大小Reff的2維分布,右邊的子圖是星系空洞的分布,左邊是暗物質空洞的分布.子圖中的虛線內部包含了99%的泊松樣本找出來的空洞.Fig.2 The distribution of void minimum density values nmin and effective radius Reff of the void samples defined from dark matter particles(left panels)and mock galaxies(right panels).Deshed line in each panel encloses 99 percent of voids found in poisson particles.

通常在研究空洞的時候,為保證結果的可靠,只選擇部分比較顯著的空洞樣本作為研究對象.主要的評估空洞樣本的穩健性有兩種,一是根據空洞內部的最小密度,一般把該值設定為0.2[41].另外一種常見做法是Neyrinck[58]給出的由密度比來確定一個空洞是泊松噪聲的概率P(r):

其中r表示密度比,其物理意義是空洞邊界處的密度最小值和空洞內的密度最小值之比:

其中,min(nridge)是空洞邊界處密度最小值,nmin是空洞內部密度最小值.常用做法是選擇1.4作為閾值,對應的泊松噪聲的概率約為12%.因為其他人只研究紅移0左右的空洞,如此篩選仍然能夠保留足夠多的統計樣本,然而對于不同紅移的空洞來說,其密度處在演化的過程中,因此這種固定的閾值選擇是不太合適的,尤其是以紅移2.03處的暗物質空洞為例,如按照上述方法篩選將會大大減少樣本中的空洞數量.因此,我們的空洞除了考慮粒子平均間隔的限制,對樣本不做任何其他篩選,這樣更加符合密度極小值的定義和我們的研究目標.

圖3表示的是紅移0處不同大小空洞的疊加密度輪廓,其中n(R)是空洞徑向距離R處的平均粒子數密度.該疊加密度輪廓通過如下方法得到,即我們對每一個空洞計算其圍繞質心球殼的密度,其中密度用樣本平均粒子數密度歸一化,半徑則用其有效半徑歸一化,然后對所有的空洞樣本平均,誤差棒是標準誤差.左邊是暗物質空洞,右邊是星系空洞.從圖中我們可以看出星系空洞的疊加密度輪廓和暗物質空洞的疊加密度輪廓的差異非常明顯,星系空洞的疊加密度輪廓更加陡峭,其內部密度更低,邊界處的密度更高.并且不管是暗物質空洞還是星系空洞,都表現出來小的空洞整體密度更高這一特點.這說明小的空洞傾向于處在高密度區域,其背景密度相對更高.而大的空洞傾向于處在比較低密度的環境中.

圖3 紅移0處空洞的疊加密度輪廓Fig.3 The stacked density profile of void at z=0

Hamaus等[52]結果顯示的是大的空洞內部密度更高,小的空洞的內部密度更低,而在邊界處的趨勢則和我們的結果相同.關于空洞內部密度這一點,Hamaus等[52]沒有做出特別的解釋,我們的結果與之相反,本文和Hamaus等[52]的研究在定義空洞中心的方法上完全一樣,其結果的差異主要是空洞算法的不同導致的,Hamaus等[52]的空洞包含了極小值區域的擴展,而我們的算法則沒有.

此外我們發現小空洞中心處的密度有微小的翹起,而大空洞則沒有,導致這一現象的主要原因是本文使用的空洞中心的定義方法((1)式)并不完全對應空洞內部密度最小值位置,小空洞傾向于處在高密度區域,其內部的密度輪廓更加陡峭,因此相對大空洞而言,質心位置和空洞內部密度最小值點的位置不重合會對中心的疊加密度輪廓帶來更大的影響.

圖4給出的是空洞的密度比和對應位置處用另一種示蹤物的密度值計算出來的密度比的分布.圖4中橫坐標r即由(4)式計算,而縱坐標r′的計算方法是:

其中min(n3)是min(nridge)位置處最近鄰的3個另一種示蹤粒子的密度最小值,對于星系空洞則是暗物質粒子,反之亦然.空洞邊界處密度的最小值和空洞的貫通并合直接相關,在空洞的演化進程中是一個非常重要的物理量.通過圖4星系和暗物質兩種示蹤物找出來的不同大小的空洞密度比的分布可以看出,不論是暗物質空洞還是星系空洞,大空洞的密度比在分布上比小空洞的更高,因此小空洞相比大空洞,更加容易發生并合,其演化效應更加明顯.另外對比圖4中第1列子圖和第3列子圖可以發現,對于小空洞而言,星系空洞的密度比在分布上略微高于暗物質空洞.

圖4 空洞的密度比r((4)式)和對應相同位置處用另一種示蹤物的密度計算出來的密度比r′((5)式)的2維分布.左邊兩列給出的是暗物質空洞的密度比,右邊兩列則是星系空洞.所有子圖中的虛線r′= r.Fig.4 The comparison between void density contrast r(Eq.(4))and the density contrast r′(Eq.(5))at the relative same position,calculated by another tracer,as shown in the left two columns for dark matter(DM)voids and the right two columns for galaxy voids.Dashed line indicates r′= r.

此外,在暗物空洞容易貫通的地方星系的密度更低,這體現在第1列子圖中分布的峰值位置在直線r′=r以下,而對于大空洞而言,其容易貫通的位置處星系的密度和暗物質的密度相對接近.因為在大尺度結構的形成過程中,總是先形成暗物質場的高密度區域,然后再開始形成星系,表現出來的結果是星系更容易示蹤暗物質空洞的一些很明顯的墻結構,而不能很好地示蹤暗物質空洞相對比較薄弱的墻結構,這導致了星系空洞提前貫通,這里提前貫通意為星系找出來的空洞通常更加顯著,而在對應位置處暗物質會存在更多的小結構,使得通常會找到更多顯著性更弱的小的暗物質空洞,在之后的演化過程中,這些小暗物質空洞容易發生并合.從圖4中右邊兩列子圖中可以看出,對于已經形成的星系空洞而言,即便是其墻上最薄弱的地方也往往堆積著顯著的暗物質,使得星系的位置保持穩定,甚至形成新的星系,從而抑制星系的貫通.基于這個對比結果我們可以做出如下推斷:(1)暗物質空洞數目要多于星系空洞數目,因為暗物質粒子能夠解析更薄弱的墻結構;(2)暗物質空洞更容易并合,從而比星系的演化更快,特別是小的空洞;(3)空洞的并合會改變空洞的對稱性,由于提前貫通,星系空洞的形狀在統計上比暗物質空洞更扁一些;(4)由于演化速度的差異,暗物質空洞和星系空洞的統計性質最終會趨于一致.我們接下來對上述推斷分別給予論證.

圖5給出的是空洞的數目及其演化,其中Nv是空洞的數目,而Ndm和Ngal分別代表暗物質和星系空洞的數目.其中上面的子圖給出是星系和暗物質兩種示蹤物找出來的空洞數目的變化,這里我們用高紅移的數目對其進行了歸一化.圖中的點線代表的是泊松樣本的空洞數目的變化,點劃線是縱坐標為1的參照線,而其中黑色的菱形則是不同紅移處產生的泊松樣本的粒子數目,這里仍然用高紅移的粒子數目做了歸一化處理.可以看出,泊松樣本中空洞數目的變化完全是泊松樣本的粒子數目變化引起的,即泊松樣本的空洞數目和泊松樣本的粒子數目呈正比關系.這進一步確定了星系空洞和暗物質空洞各自的數目變化是宇宙演化的結果.另外可以看出,暗物質空洞數目的演化要比星系空洞的數目演化更加明顯.

圖5 上面的子圖中展示的是空洞的數目隨紅移的分布,而暗物質空洞和星系空洞的數目的比值則在下面的子圖中展示.此處的比值隨紅移線性變化.Fig.5 Top panel shows the distribution of void numbers as the function of redshift,and the ratio of void number of DM to galaxy is shown in the bottom panel.Here the result indicates that the ratio linearly changes with redshift.

圖5下面的子圖則給出的是暗物質空洞數目和星系空洞數目的比值隨紅移的演化.可以看出暗物質空洞的數目要多于星系空洞的數目,另外紅移越低,它們之間的比值越小,即暗物質空洞的數目逐漸接近星系空洞的數目.以上的結果從空洞數目這一角度證實了上述幾條推斷的正確性.除此之外,該比值不僅隨著紅移定性地減小,還在我們研究的整個紅移區間內隨紅移呈現出良好的線性關系.這使得我們能夠定量地刻畫星系偏袒所帶來的空洞數目的差別,而不再是單純地停留在定性的描述層面,這種良好的線性關系能夠為空洞理論模型的完善提供很好的數據參考.Nadathur等[37]在對比z=0處分別由暗物質空洞和HOD(halo occupation distribution)模型[68]給出模擬星系數據找出來的空洞數目的差別的時候,發現星系偏袒會導致星系空洞的數目大概只有暗空洞數目的一半,圖5中下面的子圖在紅移0處的比值為2,在這一點和我們的結果非常吻合,并且我們還給出了更高紅移的數目差別.我們的研究和Nadathur等[37]的研究各自使用了不同精度的N體數值模擬以及不同的產生星系的模型,并且采樣后的示蹤物的絕對數密度也不同,Nadathur等[37]使用的粒子數密度和SDSS DR7數據給出的全部星系在共動坐標下的數密度相當,而我們的示蹤粒子的數密度大約是100倍左右.盡管有這些區別,我們與Nadathur等[37]的研究在示蹤物造成的空洞數目的偏袒上吻合得比較好.

圖6給出的是空洞的大小分布隨紅移的演化,左邊是暗物質空洞,中間是星系空洞,右邊是暗物質空洞的分布和星系空洞的分布函數的比值.可以看出空洞在大小分布上的演化特點是小的空洞逐漸減少,大的空洞逐漸增多.不論是星系空洞還是暗物質空洞,小空洞的數目變化要比大空洞的數目變化更加明顯.另外,對比暗物質空洞和星系空洞的演化我們可以發現,暗物質空洞的演化相對明顯一些,而星系空洞的演化則非常平緩.隨紅移的演化,暗物質空洞的尺度函數的形狀和星系的越來越接近.這也符合前面的推斷.

圖6 不同紅移處空洞有效半徑的分布,左邊是暗物質空洞,中間是星系空洞,右邊則是二者的比值Fig.6 The distribution of void effective radius at different redshifts for DM voids(left panel)and galaxy void(middle panel).The right panel shows the ratio of DM void number to that of galaxy void

圖7給出的是不同示蹤物找出來的空洞大小及其隨紅移的演化,其中是空洞的平均有效半徑,而分別是暗物質空洞和星系空洞的平均有效半徑.上面的子圖給出的是星系和暗物質兩種空洞各自統計平均大小的演化.點線代表泊松樣本空洞的大小變化,點劃線是縱坐標為1的參照線,該變化完全是由于粒子數密度不同導致的,這說明星系和暗物質空洞的尺度變化是物質演化的結構.從圖7中我們可以看出暗物質空洞和星系空洞都在逐漸變大,而暗物質的尺度演化更加明顯,這正說明了小暗物質空洞的貫通并合要更容易發生.圖7下面的子圖給出的是暗物質空洞和星系空洞平均尺度的比值,可以看出星系空洞要更大一些,這是因為星系空洞提前貫通了,所以在尺度上要更大一些.而在隨后的演化中,由于暗物質空洞比星系空洞并合得更快,使得暗物質空洞的尺度逐漸接近星系空洞的尺度.這正是之前推斷的必然結果.此外,暗物質空洞和星系空洞尺度的比值隨紅移有很好的線性關系.結合圖7空洞尺度的增加和圖5空洞數目的減少我們可以估算出,不管是暗物質空洞還是星系空洞,其體積之和基本不隨紅移改變.另外,在相同紅移處,星系空洞和暗物質空洞所占的總體積也相當.

圖7 上面的子圖展示的是空洞的有效半徑隨紅移的變化,下面的子圖中展示的是暗物質空洞的有效半徑和星系空洞的有效半徑的比值,該比值隨紅移呈現出線性變化.Fig.7 Top panel shows the distribution of void effective radius as the function of redshift,and the ratio of DM void effective radius to galaxy void effective radius is shown in the bottom panel.Here the result indicates that the ratio linearly changes with redshift.

從圖7上面的子圖中我們可以看出,在我們所研究的紅移區間,暗物質空洞的平均大小增加了約25%,其體積大約增加了1倍.而之前的研究如Sutter等[43]以及Wojtak等[44]給出的結果是空洞的體積大約增長20%,這和我們的結果有所不同,此處的差異主要是空洞的算法以及所研究的空洞樣本不同導致的.在Sutter等[43]和Wojtak等[44]的研究中使用的空洞算法包含第4步的VIDE(本文算法部分),而我們沒有包含第4步,另外更加重要的區別是,Sutter等[43]和Wojtak等[44]只選取了幾個尺度比較大且特別顯著的空洞研究其演化,而本文則是基于大量空洞樣本的統計研究.當只研究幾個特別顯著的空洞樣本時,因這些空洞邊界處的墻和纖維狀結構比較密集,不容易被潮汐力瓦解,導致空洞的體積變化比較小.

圖8給出的是空洞形狀的演化.這里我們采用常用的借助慣性張量的方法來定義空洞的形狀.即每一個空洞的形狀是通過其成員粒子來估計的,根據成員粒子的位置,我們可以計算該空洞的慣性張量[57],其中的對角分量是:

而非對角分量的形式是

其中,Np是空洞結構成員粒子的數目,xi、yi、zi是第i個成員粒子相對空洞結構質心的坐標,慣性張量的其他分量則是該形式的輪換對稱.然后通過求解慣性張量的本征值和本征矢可以計算空洞結構的橢率:

其中J1和J3分別是慣性張量的最大和最小本征值,其中0

圖8 上面的子圖展示的是空洞的平均橢率隨紅移的變化,而下面的子圖則是暗物質空洞的平均橢率和星系空洞的橢率的比值,該比值隨紅移呈現出線性變化的特點.Fig.8 Top panel shows the distribution of void mean value of ellipticity as the function of redshift,and the ratio of DM void ellipticity to galaxy void ellipticity is shown in the bottom panel.Here the result indicates that the ratio linearly changes with redshift.

我們采用了慣性張量的方法計算空洞形狀,圖8上面的子圖給出的是暗物質空洞和星系空洞橢率的演化.暗物質空洞和星系空洞都隨紅移逐漸變得越來越扁,如空洞的數目和大小一樣,星系空洞的橢率演化也相對弱一些,這一演化趨勢和前述幾條推斷是自洽的,即空洞的并合會破壞空洞的對稱性,使其形狀更扁.但是之前的理論認為,對于一個獨立的、非球對稱的空洞,其演化特點是逐漸變得越來越圓[69],這和我們數值模擬的結果相悖.理論模型給出這一結果是因為假定了空洞是獨立的演化個體,其主要演化軌跡是要么膨脹變大要么塌縮成高密度區域而消失,具體服從哪種軌跡取決于空洞的內部密度和邊界密度的關系,而不涉及空洞之間的相互作用.但實際上空洞處在極其復雜的宇宙大尺度網狀結構中,一個空洞與周圍的其他結構以及其他相鄰的空洞是密切相關的[70],其演化是互相影響的.前人的結果發現單個空洞的演化不太明顯[44],而我們的結果清楚顯示空洞并合在演化中非常重要.這說明要完善空洞的理論模型需要建立空洞的并合模型.

圖8下邊的子圖給出是暗物質空洞和星系空洞平均橢率的比值隨紅移的演化,?代表空洞的橢率則分別代表暗物質空洞和星系空洞的橢率的均值.可以看出星系空洞的形狀在分布上更扁一些,之后暗物質空洞的快速演化使其形狀逐漸逼近暗物質空洞的形狀,最后在紅移0處,二者的平均橢率幾乎一致.這里更加確信了前述幾條推斷的正確性.此外暗物質空洞的平均橢率和星系空洞的平均橢率的比值隨紅移也呈現出很好的線性關系.

空洞的疊加密度輪廓是空洞的一個非常重要的性質.目前大多數研究中對空洞疊加密度輪廓均做球對稱假設[52],該假設認為大量空洞樣本疊加起來應該是球形的,盡管單個空洞的形狀可能非常不規則.這種球對稱疊加方法可以用來做Alcock-Paczynski檢驗[19–20]及研究空洞的紅移畸變[30–31],這也是目前為什么球對稱疊加方法仍然是主要方法的原因.Cautun等人提出了一種等邊界距離殼層疊加方法[71],這種方法實際上是對空洞邊界的疊加密度輪廓的描述,Wojtak等人的研究[44]則使用了一種類似邊界疊加的方法研究了暗物質疊加密度輪廓的演化特點,即對于膨脹變大的空洞,其疊加密度輪廓的演化可以分為兩個過程,一是內部密度的降低,二是邊界密度的升高.

我們在本文中使用了第1類疊加方法.圖9給出的是空洞的疊加密度輪廓的演化,左邊是暗物質空洞,右邊是星系空洞,其中誤差棒是標準誤差.可以看出空洞內部的密度逐漸降低,而邊界處的密度逐漸升高.可以看出暗物質空洞在演化上存在非常劇烈的物質從內部向外流動的過程,而星系空洞疊加密度輪廓的演化則非常弱,但演化趨勢完全一致.雖然本文和Wojtak等[44]相比,使用了不同的疊加方法以及不同的空洞并合條件,但在疊加密度輪廓的演化趨勢上完全吻合.這反映了從統計上來說空洞疊加密度輪廓的演化特點是比較確定的,對計算方法的依賴性不高.另外星系空洞內部的密度要比暗物質空洞的密度低,而邊界處的密度則反之,綜合來看星系空洞的疊加密度輪廓更加陡峭.

圖9 不同紅移處空洞的疊加密度輪廓.左圖是暗物質空洞,右圖是星系空洞Fig.9 The stacked density profile at different redshifts for DM voids(left panel)and galaxy voids(right panel)

圖10中左邊的子圖則是使用暗物質空洞的大小和位置,但是使用星系得到的疊加密度輪廓,而右邊的子圖是使用星系空洞的大小和位置,但用暗物質粒子作為示蹤物給出的疊加密度輪廓.通過右邊的子圖可以發現,利用星系示蹤找出來的空洞在疊加密度輪廓隨紅移演化上不能真實反映其對應的暗物質空洞的性質.利用星系示蹤找出的暗物質空洞與純暗物質分布找出來的空洞的性質也存在差異.但是真實的數據中主要是星系巡天數據,因此進一步量化暗物質空洞和星系空洞的疊加密度輪廓之間的關系就非常重要.如此才能在未來的空洞理論模型和真實的星系巡天中找出來的空洞之間建立起相關性.

圖10 交叉疊加密度輪廓的演化,左邊是暗物質空洞,右邊是星系空洞Fig.10 The distribution of cross stacked void density profile at different redshifts for DM voids(left panel)and galaxy voids(right panel)

5 結論

為了研究空洞的演化,我們在紅移2.03到紅移0之間取了6個紅移位置的星系列表,同時為了考慮星系和暗物質兩種示蹤物找出來的空洞的統計性質偏袒以及他們在演化上的區別,我們還在對應紅移處取了相應的暗物質粒子的數據,并且將其向下采樣至與星系相同的數密度,從而去除粒子數密度不同帶來的影響.由于星系數目隨紅移有變化,為了排除不同紅移的星系數目不一致可能帶來的問題,我們根據星系的數密度又產生了對應的具有相同粒子數密度的泊松樣本.

我們使用VIDE程序得到空洞列表,但是我們在VIDE程序的第4步沒有讓密度場極小值區域向外擴展,我們的空洞列表由局域密度場極小值區域構成.我們研究了星系空洞和暗物質空洞的一些統計性質如大小分布、空洞數目、形狀、疊加密度輪廓等隨紅移的演化,并且對比了星系空洞和暗物質空洞在演化上的異同以及星系空洞和暗物質空洞大小、數目、形狀統計平均的比值隨紅移的演化.

使用密度場極小值區域作為空洞列表具有諸多優點.首先,能夠避免人為設定的擴展條件帶來的不確定性,這尤其在研究空洞的演化上具有很大的優勢; 其次,在理論上密度場極小值區域更容易建模,可能是未來的一個很好的研究方向.

根據宇宙結構形成理論,由于引力的不穩定性,宇宙的原初物質密度漲落會隨時間逐步增強,首先形成墻結構,進而塌縮成纖維結構及團塊結構.在這一過程中,空洞的中心密度會持續降低,我們的工作和前人的結果都清楚地看到了這一效應.隨著墻塌縮成纖維結構,墻上的低密區會出現缺口,引起相鄰空洞貫通成為一個空洞,導致空洞數目減少,體積增大,形狀變得更橢,我們的結果很好地反映了這一圖景.我們的研究還發現,小的空洞傾向于處在高密度區域,這導致兩個結果:(1)小空洞隨高密環境一起塌縮,最終被擠壓消失;(2)小空洞更容易與周圍的空洞貫通成為大空洞,這兩個效應都造成了小空洞的快速演化.我們的暗物質空洞的尺度演化統計結果很好地支持了這一預言.同時我們的結果也顯示大尺度空洞特別是暗物質空洞有比較明顯的增加,鑒于之前的研究表明,對于單個空洞而言,其膨脹壓縮的演化非常緩慢,我們推斷,低紅移的大尺度空洞主要是由高紅移的小空洞貫通而成的.

星系形成于高密度暗物質中,這造成了眾所周知的星系和暗物質分布之間的偏袒,這一效應在空洞的統計性質上更加明顯.由于星系主要示蹤高密度區,不能有效示蹤暗物質空洞的一些薄弱的墻結構,導致星系空洞表觀上的提前貫通.在尺度方程和疊加密度輪廓上更加接近暗物質空洞的晚期分布形式.星系空洞受暗物質密度場的抑制,導致星系空洞之間的貫通效應不強,主要是被動演化,所以其大小、橢率、疊加密度輪廓等的演化都較暗物質示蹤的空洞來得平緩.另外還需注意到,星系空洞和暗物質空洞(或者幾個潛在的并合暗物質空洞)并不是嚴格一一對應的,先前的研究也發現它們的中心位置匹配得不好,這些因素都提醒我們在利用觀測的星系空洞推斷暗物質空洞屬性時要特別謹慎.

以上的研究非常初步,有許多待完善的地方,一方面,目前在利用星系做示蹤物找空洞的時候沒有對星系進行質量加權,因此這部分問題帶來的誤差有待進一步澄清.另一方面,空洞的尺度和紅移畸變的尺度相當,紅移畸變會帶來很大的影響[30–31].而實際觀測數據總是在紅移空間進行的,因此在研究示蹤物的偏袒和空洞演化的時候還需要把紅移畸變的影響考慮進來[72],這樣才能夠將模擬數據和真實觀測數據進行對比.如前文所述,空洞具有很強的應用潛力,但同時目前還有很多細節需要澄清.

致謝感謝李國亮老師以及蔡彥川老師對本工作的指導和討論.