數學文化原創題（一）

沙國祥

埃舍爾是荷蘭著名版畫家，他的大量作品充分體現了數學的結構和想象之美，被譽為“畫家中的數學家”.

（1）圖1是埃舍爾創作的一幅作品，他將一個正方體四個面的對角線連成一個空間四邊形（記為四邊形ABCD），則這個四邊形兩條鄰邊AB和AD 之間的夾角是_______.（度數在0°到180°之間）

圖1

圖2

（2）正多面體是一類非常對稱美觀的空間圖形，它的每個面都是正多邊形，且每個頂點伸出的邊數同樣多.正多面體只有五種：正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體，如圖2.

正多面體常出現在埃舍爾的作品中，如圖3所示的這幅作品是由正方體和正八面體互相交錯而成的，正八面體的12條邊正好穿過正方體的12條邊的中點，則該正八面體隱含在正方體中的部分的體積占整個正八面體體積的______________.

圖3

參考答案：（1）60°； （2）

提示：

（2）圖4為一個正八面體，正八面體可以看成是由兩個大正四棱錐拼合而得，6個頂點處切割掉6個小正四棱錐，每個小正四棱錐的棱長都是每個大正四棱錐的棱長的一半，因此割掉部分的總體積是每個大正四棱錐體積的即原正八面體體積的

正八面體的每個頂點處都切去一個正四棱錐以后，得到一個阿基米德體（如圖5）.這個阿基米德體其實就是題中的正八面體隱含在正方體中的部分.

圖4

圖5