解四類函數與導數題應注意的問題

葉培杰

摘 要：函數與導數作為高考必考內容，選擇題、填空題、解答題皆有出現，但以解答題為主，難度中等偏上，特別是解答題，難度較大，很多同學望而生畏，在平時解題過程中易忽略一些細節和技巧方法，造成對而不全或放棄解答，本文謹從四類題型分析歸納應注意的問題。

關鍵詞：導數題 注意 問題

一、根據函數的單調性求參數的取值范圍時應注意檢驗

例1.若函數

在內為減函數，求的取值范圍。

解：

由題意知在內恒成立

所以在內恒成立

記則時，

經檢驗時，符合題意的取值范圍為

小結：在已知函數是增函數（或減函數），求參數的取值范圍時，應令（或恒成立，解出參數的取值范圍，然后檢驗參數的取值能否使恒等于0，若恒等于0，則參數的這個值應舍去，若不恒為0，則由（或恒成立解出的參數的取值范圍確定，下面舉一個參數的值舍去的例子。[1]

例2. 函數

在上為單調遞減函數，求的取值范圍。[1]

解：依題意在上恒成立，得

在上恒成立

即解得

檢驗：是一個常數函數，舍去

綜上可得的取值范圍是

二、已知極值求參數時，應注意檢驗

例3. 已知函數在處取得極大值10，則的值為_________。

錯解：

函數的導數為

由在處取得極大值10

可得

即為

解得：

錯解分析：由于為極值點的必要不充分條件，因此本題中由及求得的值后還要驗證，所得結果是否滿足為函數的極大值點，正確的解法如下：

解：函數的導數為

由在處取得極大值10可得

即為

解得：

當時

可得在處取得極小值10，與題意不符。

當時

可得在處取得極大值10

綜上可得：滿足題意

小結：為極值點的必要不充分條件。

三、注意函數圖像的漸近線問題

例4. 已知函數，曲線上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線都與軸垂直，則實數的取值范圍是（? ? ）

A. B. C. D.

解：因為曲線上存在不同的兩點，使得曲線在這兩點處的切線與軸垂直

所以有兩個不同的解

即得有兩個不同的解

設，則

所以時，

時，

所以時，函數取得極小值

圖像如右圖所示

由圖可知，故選D

小結：因為當時，，所以當時，圖像恒在軸下方，當時，圖像在軸下方無限靠近軸，即軸是圖像在時的漸近線，此題易忽視漸近線而錯選C，所以解這類題目時應注意圖像的漸近線問題，避免錯解。

例5. （2014新課標全國Ⅰ）已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（）

A. B. C. D.

解：由得

（若，則等式不成立）

令

令，得

當變化時，與的變化情況如下表

-1 （-1，0） （0，1） 1

- 0 + + 0 -

遞減 極小值-2 遞增 遞增 極大值2 遞減

圖像如右圖所示

依題意函數的圖像與的圖像有且只有一個交點，所以

小結：此題是我在上函數與方程這一節復習課與學生互動時，學生提供的一種思路即分離參數，研究兩個函數圖像的交點問題，但忽視了兩條漸近線軸和軸，造成了有思路而錯解的局面。

四、注意函數的定義域對解題的影響

例6. 若函數在其定義域的一個子區間內不是單調函數，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

解：

函數在上單調遞減，在上單調遞增

得

又所以，故選D

分析：此題很多學生誤選C，沒有注意到是定義域的一個子區間，即，所以解函數題時應定義域優選原則，避免對而不全。

離參數，也可以分離等。

參考文獻

[1]葉培杰.對一類利用導數求參數取值范圍問題解法的完善·福建中學數學2013（11）：46-47.