半群的區間值Q-模糊子半群?

王豐效

(喀什大學數學與統計學院,新疆 喀什 844000)

0 引言

自從Zadeh[1]引入模糊集的概念以來,模糊集理論及其應用得到了迅猛的發展.Rosenfeld[2]首次提出模糊子群的概念,開創了模糊代數的新領域.作為模糊集的推廣,區間值模糊集,直覺模糊集[3]等概念被提出,并被廣泛應用于各類代數系統，取得了大量的研究成果[4?9].Kuroki將模糊集的概念應用于半群，提出模糊半群的概念，并討論了半群的各類模糊理想[10].2001年,Jun[11]等給出了BCI-代數的Ω-模糊理想的概念,研究了它的相關性質.文獻[12-14]分別討論了BCI-代數的?- 模糊p- 理想的特性,BCH-代數的?-模糊點H-理想的性質,BCK-代數的?-模糊正定關聯理想.文獻[15]引入了半群的?-模糊子半群的概念,得到了它的相關性質.本文將?-模糊集與區間值模糊集相結合,給出了半群的區間值Q-模糊子半群的概念，討論了區間值Q-模糊子半群的相關特征.

為了討論方便,先給出一些相關概念.

定義1[8]設·是S的一個二元運算,如果對任意x,y ∈S有(1)x·y ∈S,(2)(x·y)·z=x·(y·z),則稱(S,·)為一個半群.

為方便起見,二元運算x·y用xy表示.

定義2[8]設A是半群S的模糊集,如果對任意x,y ∈S有A(xy)≥A(x)∧A(y),則稱A為S的模糊子半群.

非空集合X的區間值模糊集被定義為A=[AL,AU],這里AL和AU分別是X上的模糊集,并且對于任意x ∈X,有AL(x)≤AU(x),A=[AL,AU]是[0,1]的一個閉子區間.

若用D[0,1]表示區間數的集合.對D[0,1]中的兩個元素可以定義加細極?。ㄓ洖棣胢in）和加細極大（記為γmax）,也可以規定大小.D[0,1]中元素D1=[a1,a2],D2=[b1,b2],規定

由D[0,1]中兩個元素的大小規定以及加細極小和加細極大的定義可知,D[0,1]關于加細極小和加細極大構成完備格.

定義3[5]假設(S,·)為一個半群,A = [AL,AU]是S上的區間值模糊集,如果對于任意x,y ∈S有A(xy) ≥γmin(A(x),A(y)),則稱A=[AL,AU]為半群S的區間值模糊子半群.如果對于任意x,y ∈S有A(xy)≤γmax(A(x),A(y)),則稱A=[AL,AU]為半群S的區間值反模糊子半群.

假設Q表示一個非空給定集合,S為半群,稱μ:S×Q →[0,1]為S的Q-模糊集.

定義4[16]假設(S,·)為一個半群,μ為S的Q-模糊集.稱μ為S的Q-模糊子半群,如果對任意的x,y ∈S,q ∈Q有μ(xy,q)≥μ(x,q)∧μ(y,q).

1 主要結果

定義5假設Q表示一個非空給定集合,S為半群.A=[μA,νA]是S上的區間值模糊集,如果μA和νA都是S上的Q-模糊集,則稱A=[μA,νA]為S的區間值Q-模糊集.

定義6假設(S,·)為一個半群,A=[μA,νA]為S的區間值Q-模糊集.如果對任意的x,y ∈S,q ∈Q 有A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)).則稱A為S的區間值Q-模糊子半群.

例1設S={a,b,c},S上的二元運算如下表：

則(S,·)是半群.假設Q={q1,q2},定義S的區間值Q-模糊集A為

由定義可以驗證A為S的區間值Q-模糊子半群.

由定義6可知,對任意的θ,記A+θ=[μA+θ,νA+θ]?D[0,1].如果A=[μA,νA]為S的區間值Q-模糊集,則A+θ也是S的區間值Q-模糊集.

定理1設A=[μA,νA]為S的區間值Q-模糊子半群,則A+θ也是S的區間值Q-模糊子半群.

定理2設A=[μA,νA]為S的區間值Q-模糊集,A=[μA,νA]為S的區間值Q-模糊子半群當且僅當μA和νA都是S的Q-模糊子半群.

證明(必要性)設A為S的區間值Q-模糊子半群,則對任意的x,y ∈S,q ∈Q有

即

因此μA(xy,q)≥μA(x,q)∧μA(x,q),νA(xy,q)≥νA(x,q)∧νA(x,q).故由定義4可得μA和νA都是S的Q-模糊子半群.

(充分性)如果μA和νA都是S的Q-模糊子半群,則對任意x,y ∈S,q ∈Q,有

因此

即A(xy,q)≤γmax(A(x,q),A(y,q)),所以A=[μA,νA]為S的區間值Q-模糊子半群.

推論1設A=[μA,νA]和B=[μB,νB]是S的區間值Q-模糊子半群,則[μA,μB]和[νA,νB]都是S的區間值Q-模糊子半群.

定理3設A和B都是S的區間值Q-模糊子半群,則A∩B 是S的區間值Q-模糊子半群.

證明由于A和B都是S的區間值Q-模糊子半群,故對任意x,y ∈S,q ∈Q,有

從而

因此由定義2可知,A∩B 是S的區間值Q-模糊子半群.

如果給定集合Q是單元素集合,則S的區間值Q-模糊集就成為S的區間值模糊集,從而可得下面的幾個推論.

推論2設A=[μA,νA]為S的區間值模糊集,A=[μA,νA]為S的區間值模糊子半群當且僅當μA和νA都是S的模糊子半群.

推論3設A和B都是S的區間值模糊子半群,則A∩B=γmin(A,B)是S的區間值模糊子半群.

定義7假設A=[μA,νA]為S的區間值Q-模糊集,稱A[s,t]={x ∈S|A(x,q)≥[s,t],q ∈Q}為S的[s,t]上水平截集,稱[s,t]={x ∈S|A(x,q)>[s,t],q ∈Q}為S的[s,t]強上水平截集,其中[s,t]?D[0,1].

定理4設A為S的區間值Q-模糊集,則A是S的區間值Q-模糊子半群當且僅當非空集A[s,t]是S的子半群.

證明(必要性)設A[s,t]非空,且x,y ∈A[s,t],則對任意q ∈Q,有A(x,q)≥[s,t],A(y,q)≥[s,t].由于A是S的區間值Q-模糊子半群,故對任意x,y ∈S,q ∈Q有

因此xy ∈A[s,t],從而A[s,t]是S的子半群.

(充分性)若A[s,t]是S的子半群,如果存在x,y ∈S,q ∈Q,使得A(xy,q)<γmin(A(x,q),A(y,q)),取區間[a,b]?D[0,1]滿足A(xy,q)<[a,b]<γmin(A(x,q),A(y,q)),則A(x,q)>[a,b],A(y,q)>[a,b],A(xy,q)<[a,b].由于A[s,t]是S的子半群,從而x,y ∈A[s,t],即xy ∈A[s,t]與xy /∈A[s,t]矛盾.因此對任意x,y ∈S,q ∈Q,有A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)).因此A是S的區間值Q-模糊子半群.

定理5設A為S的區間值Q-模糊集,則A是S的區間值Q-模糊子半群當且僅當非空集[s,t]是S的子半群.

定理6設A為半群S的區間值Q-模糊子半群,則非空集U={x ∈S|A(x,q)=[1,1],q ∈Q}是S的子半群.

證明設U ={x ∈S|A(x,q)=[1,1],q ∈Q}非空,且x,y ∈U,則A(x,q)=A(y,q)=[1,1].由于A為S的區間值Q-模糊子半群,因而A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q))=[1,1],即A(xy,q)=[1,1],從而xy ∈U,即U是S的子半群.

假設I是半群S的子集,定義S的區間值Q-模糊集AI滿足：若x ∈I,AI(x,q)=[1,1]; 若x/∈I,AI(x,q)=[0,0].

定理7AI是半群S的區間值Q-模糊子半群當且僅當I是半群S的子半群.

證明設x,y ∈I,則AI(x,q)=[1,1],AI(y,q)=[1,1].由于AI是半群S的區間值Q-模糊子半群,從而AI(xy,q)≥γmin(AI(x,q),AI(y,q))=[1,1],即AI(xy,q)=[1,1],從而xy ∈I,即I是S的子半群.

假設I是S的子半群.下證AI是半群S的區間值Q-模糊子半群.對任意x,y ∈S,q ∈Q,分下面幾種情況：

(1) 如果x,y ∈I,I是S的子半群,則xy ∈I,從而AI(xy,q) = (AI(x,q) = AI(y,q)) = [1,1],即有AI(xy,q) ≥γmin(AI(x,q),AI(y,q)).

(2) 如果x/∈I或y /∈I,則AI(x,q)=[0,0]或AI(y,q)=[0,0],故

故AI是半群S的區間值Q-模糊子半群.

引理1[15]設S和R是兩個半群,f是S →R的同態滿射.如果μ為半群S的Q-值模糊子半群,則f(μ) 為半群R的Q-模糊子半群.其中f(μ)=sup{μ(x,q)|f(x)=y}.

定理8設S和R是兩個半群,f是S →R的同態滿射.如果A為半群S的區間值Q-模糊子半群,則f(A)為半群R的區間值Q-模糊子半群.其中f(A)=γmax{A(x,q)|f(x)=y}.

證明由于A = [μA,νA]為半群S的區間值Q-模糊子半群,從而由定理1可得μA和νA都是S的Q-模糊子半群.記μf(A)=sup{μA(x,q)|f(x)=y},νf(A)=sup{νA(x,q)|f(x)=y}.根據引理1 可知μf(A)和νf(A)都是半群R的Q-模糊子半群.故由定理1可得f(A)=[μf(A),νf(A)]是半群R的區間值Q-模糊子半群.

定理9設S和R是兩個半群,f是S →R的同態滿射.若B =[μB,νB]為半群R的區間值Q-模糊集,則B為半群R的區間值Q-模糊子半群當且僅當f?1(B)為半群S的區間值Q-模糊子半群.其中f?1(B)=B(f(x),q).

證明(必要性)假設B為半群R的區間值Q-模糊子半群,則對于任意的x,y ∈S,q ∈Q,有

所以f?1(B)為半群S的區間值Q-模糊子半群.

(充分性)由于f是S →R的同態滿射,因此對任意a,b ∈R,q ∈Q,存在x,y ∈S,使得f(x)=a,f(y)=b.于是

由定義6可知B為半群R的區間值Q-模糊子半群.

下面,我們討論半群的區間值Q-模糊子半群直積的性質.假設S和R是兩個半群,A和B分別是S和R上的區間值Q-模糊集,定義S×R上的區間值Q- 模糊集A×B為

定理10假設A和B分別是S和R上的區間值Q-模糊子半群,則A×B是半群S×R的區間值Q-模糊子半群.

證明對于任意的(x1,y1),(x2,y2)∈S×R,q ∈Q有

由于A和B分別是半群S和R上的區間值Q-模糊子半群,因此

故

因此A×B是半群S×R的區間值Q-模糊子半群.

定理11假設A是半群S上的區間值Q-模糊子半群,則A×A是半群S×S的區間值Q-模糊子半群.

定理12設A是S上的區間值Q-模糊集,定義S上的區間值模糊集δA(x)=min{A(x,q)|q ∈Q}.如果A是S上的區間值Q-模糊子半群,則δA是S上的區間值模糊子半群.

證明設A是S的區間值Q-模糊子半群,對x,y ∈S,q ∈Q有A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)),因此

因此δA是S上的區間值模糊子半群.

定理13設A是S上的區間值Q-模糊集,對固定的q ∈Q,定義δq(x)=A(x,q).A是S上的區間值Q-模糊子半群當且僅當對任意固定的q ∈Q,δq是S上的區間值模糊子半群.

證明(必要性)設A是S的區間值Q-模糊子半群,則對于任意的x,y ∈S,q ∈Q,有A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)).因此對于固定的q ∈Q,有

因此δq是S上的區間值模糊子半群.

(充分性)如果對于任意固定的q ∈Q,δq是S上的區間值模糊子半群.對于任意x,y ∈S都有δq(xy)≥γmin(δq(x),δq(y)),即A(xy,q)≥γmin(A(x,q),A(y,q)).因此A是S的區間值Q-模糊子半群.

命題1[15]若SQ表示從Q到半群S的映射的集合,在SQ上定義如下運算：對于任意的α,β ∈SQ,(α?β)(q)=α(q)β(q),q ∈Q,則SQ關于運算?構成一個半群.

定理14設A是半群S上的區間值模糊子半群，定義SQ的區間值Q-模糊集C:SQ×Q →D[0,1]滿足C(α,q)=A(α(q)),則C是半群SQ的區間值Q-模糊子半群.

證明對于任意的α,β ∈SQ,q ∈Q,由于A是半群S上的區間值模糊子半群,從而有

所以C是半群SQ的區間值Q-模糊子半群.

定理15設M是半群SQ的子半群,則對任意q ∈Q,Mq={α(q)|α ∈M}是半群S的子半群.

證明由于M是半群SQ的子半群,因此對任意的α,β ∈M有α?β ∈M.進一步有α(q)∈Mq,β(q)∈Mq,α?β(q)∈Mq,故對任意q ∈Q,Mq={α(q)|α ∈M}是半群S的子半群.

如果Q是一個單元素集合,則區間值Q-模糊集就是通常的區間值模糊集,從上述結果可以看出,區間值Q-模糊集就是區間值模糊集的一種推廣,相關的結論也是區間值模糊子半群相應結論的推廣.

2 結論

本文將區間值模糊集與Ω-模糊集相結合,在半群中引入了半群的區間值Q-模糊子半群的概念,討論了半群的區間值Q-模糊子半群的相關性質.給出了半群的區間值Q-模糊子半群與子半群,模糊子半群,區間值模糊子半群的關系.也討論了半群的區間值Q-模糊子半群關于交運算的封閉性質,以及半群的區間值Q-模糊子半群的同態像和直積的相關性質.另外,區間值Q-模糊子集的概念也可以應用于其他代數系統.