多普勒效應與相對運動的問題剖析

付大鵬

摘?要：由于接收者和波源相對于媒質運動，使接收者接收到的頻率與波源的頻率發生變化。具體計算聲波問題中接收者接收到的頻率時，有的學生在計算過程中，先利用運動的相對性，認為接收者和波源其中一個運動，另一個靜止，然后代入多普勒效應公式計算。其結果與直接將接收者和波源相對于媒質運動的速度代入多普勒效應公式計算結果不同。本文針對此問題進行剖析。有利于學生掌握和正確應用多普勒效應解決實際問題。

關鍵詞：多普勒效應;相對運動;測速

由于接收者或波源或二者相對于媒質運動，而使接收者接收到的頻率與波源頻率相比發生了變化的現象，稱為多普勒效應。在具體計算聲波的接收者接收到的頻率時，有學生用下面兩種方法求解：方法一：先利用運動的相對性，認為接收者和波源其中一個運動，另一個靜止，然后代入多普勒效應公式計算。方法二：直接將接收者和波源相對于媒質運動的速度代入多普勒效應公式計算。兩種解法的結果不同，很是疑惑？本文將剖析分析需要借助介質傳播的波在應用多普勒效應時，常見的上述問題的錯誤何在？

1 聲波的傳播需要借助于介質，應用多普勒效應時易出現的問題

問題：一個揚聲器相對地面以180m/s的速度向接收者運動，設揚聲器與接收者的運動發生在二者連線上，接收者相對地面以100m/s的速度遠離揚聲器運動，揚聲器發射的聲波頻率為2MHz。求接收者接收到的聲波頻率是多少？已知相對地面聲速為u=340m/s。

解1：由于接收者和波源都相對于媒質運動，使接收者接收到的頻率與波源的頻率發生變化，具體計算接收者接收到的頻率時用多普勒效應公式即可。

vR=u-vRu-vSvS=340-100340-180×2=3（MHZ）

解2：有的學生在計算過程中，先利用運動的相對性，認為接收者和波源其中一個運動，另一個靜止，然后代入多普勒效應公式計算。如認為接收者靜止，波源相對于接收者運動。

揚聲器相對聽者的速度為v′S=vS-vR=180-100=80（m/s），

接收者接收到的聲波頻率：

vR=uu-v′SvS=340340-80×2=2.61（MHZ）

兩種解題方法結果不同。哪個正確？表面上看不出原因何在？

由于波源相對于媒質運動，波在介質中傳播的波長不再是波源的波長，而這里波速是由介質特點決定的，是不變的量，所以，波在媒質中傳播的頻率發生了變化，其大小為：

v′W=uu-0vS=340340-180×2=4.25（MHZ）

而接收者相對于媒質運動，使接收者接收到的頻率與波的頻率發生變化，其大小為：

vR=u-vRuv′W=u-vRu-v0vS=340-100340-180×2=3（MHZ）

因此，解法1是正確，解法2是錯誤的。在應用多普勒效應時，一定要注意接收者和波源的速度是沿著接收者和波源連線方向，接收者和波源各自相對于傳播波的媒介質的速度。而不是接收者和波源的相對速度。

2 光波的傳播

不依賴于彈性媒質，故光在真空中傳播時，波速即光速，“光源向著接收器運動”和“接收器向著光源運動”是等價的，因此起作用的是它們之間的相對速度v。但是需要用速度的相對論處理。[1，2]

若相對速度發生在兩者連線上，則vR=（c+v）/（c-v）vs，靠近時速度v為正，遠離時為負。

若兩者相對速度垂直于兩者連線，則vR=1-v2/c2vs。

3 多普勒效應在實際中的應用

接收者接收到的頻率與波源的頻率差稱之為頻移Δv=vR-vS。

由頻移可推知接收者的速度。多普勒效應在近代科學中有著廣泛的應用。[3]它常用于測量運動物體的速度。如雷達向飛機發射已知頻率的電磁波并接收回波，由回波與發射波頻率之差可定出飛機以多大的速度靠近雷達。同理，可用微波監測汽車行駛速度，觀測人造衛星發射的電磁波的頻率變化，以判斷衛星的運行情況，測量來自星體的光的多普勒頻移來確定星體自轉和運行的速度等等。聲波的多普勒效應在醫學的診斷中也有重要的應用，如醫學診斷所用的彩超就是聲波的多普勒效應的應用。

參考文獻：

[1]張三慧.大學物理學.清華大學出版社，2000.

[2]吳柳.大學物理學.高等教育出版社，2014.

[3]胡紹樓.激光干涉測量技術.國防工業出版社，2001.