淺談微積分的發展歷史

李飛 姜攀 牛晉徽

微積分是數學史上一個偉大的發明。微積分在兩千多年前就開始萌芽，但真正開始發展是從16世紀開始的，并由牛頓和萊布尼茲在17世紀建立，然而為它打好邏輯基礎的是19世紀柯西。從此之后，微積分成了各學科中重要的數學工具。

1 引言

在高等數學的教學中，微積分是教學難點之一，學生普遍反應微積分的許多概念和公式比較難以理解。近幾年國內外越來越多的大學在數學教材引入數學史的知識，通過“歷史線索”和“歷史原型”來組織高等數學的教學，使學生真正理解課本上抽象的概念和形式化的公式背后的實際內涵。為便于將數學史引入高等數學的教學中，本文簡單地介紹一下微積分的發展歷史。

2 微積分的發展歷史

微積分從發端至今已有兩千多年的歷史，并且其發展并不是一帆風順的，本文將其分為四個階段：萌芽階段;醞釀階段;創立階段;發展階段。

2.1 萌芽階段

2000多年前東西方的數學家就開始對微積分思想的萌芽和探索。這個階段對后世最有影響的是古希臘的數學發展。

古希臘的數學并不是單獨的一個分支 ，而是與天文 、哲學密不可分的，其研究對象以幾何學為主。這一階段最重要的兩個哲學思想是“窮竭法”和“原子論”。公元前5世紀，古希臘詭辯學派的安提豐（Antiphon）為解決“化圓為方”的問題，提出如下方法：“先作一圓內接正方形，將邊數加倍，得內接8邊形;再加倍，得16邊形。如此作下去，最后正多邊形窮竭了圓?！痹摲椒ū话⒒椎拢ˋrchimedes）發展為“窮竭法”。同樣在公元前5世紀，德謨克利特（Demokritos）提出了“原子論”，并用“原子論”解釋數學概論，提出：“線段、面積和立體都是由一些不可再分的原子構成的 ，而計算面積 、體積就是將這些‘原子累加起來”。他根據這一思想來求解圓錐體的體積，發現“圓錐體積等于具有同底同高的圓柱體積的三分之一”。但這一結論的證明是由攸多克薩斯（Eudoxus）完成的。德謨克利特認為圓錐體是由一系列底面積不等的不可再分的圓形薄片構成，因此圓錐體的表面不光滑。（見《幾何原本》）

到公元前三世紀，古希臘哲學家阿基米德將“原子論”和“窮竭法”結合在一起，解決了許多問題，并編寫了著名的數學著作《幾何原本》。其中在《拋物線弓形求積法》和《論螺線》中，利用分割求和、逐次逼近，求出了拋物線弓形的面積和阿基米德螺線第一周圍成區域的面積。

在萌芽階段，數學家產生了微積分的萌芽“原子論”，和極限思想的萌芽“窮竭法”。但這一階段“極限”的概念還沒有真正出現，數學家不承認“無限”，因此在這一階段數學家解決幾何問題都是進行有限次分割，分割下來的每一個“元素”都是有有限的寬度或厚度。

2.2 醞釀階段

從萌芽到微積分開始醞釀前經歷了一段漫長的中世紀時期，包括三個主要的階段：（1）首先，古希臘的文化遺產最終由領土逐漸縮小的拜占庭帝國保存下來;（2）到公元7、8世紀，阿拉伯帝國繼承了希臘羅馬的古典名著，確定了代數、三角學以及數學符號化，建立了“阿拉伯數學”，最后“阿拉伯數學”和“印度—阿拉伯數碼”重新傳到西歐;（3）在歐洲，對無限的討論以及對運動和速度的研究已成為數學家們注意的中心（如德國的紅衣主教庫薩的尼古拉）。這些中世紀時期數學知識經過繼承、發展和交流，為文藝復興時期微積分的醞釀以及后來微積分的正式創立提供了學術基礎。

2.2.1 積分學的發展

在16世紀，數學家主要嘗試用積分學解決“求積問題”，這包括兩個方面：（1）求平面圖形的面積和由曲面包圍的體積;（2）靜力學中計算物體重心和液體壓力。為解決這個問題，德國天文學家、數學家開普勒（Johannes Kepler）在他的名著《測量酒桶體積的新科學》一書中 ，提出“任何給定的幾何圖形都是由無窮多個同維數的無窮小圖形構成的， 用某種方法把這些小圖形的面積或體積相加就能得到所求的面積或體積”的方法。開普勒引入無限的概念，提出了不成熟的無窮小量（用抽象的“纖細的小圈”或“寬度極小如線的部分”等描述）和連續性的思想（他認為一個無窮小元素通過連續變化可得到原來的圖形）。開普勒的弟子卡瓦列里（Cavalieri）組織并發展了開普勒的無窮小思想，著作了《用新的方法促進連續不可分量的幾何學》一書，在該書中建立了“不可分量原理”。然而他把幾何圖形不再看作同維無窮小元素，而是看作由維數較低的無窮小元素所組成，并把這些無窮小元素稱為“不可分量”，這個觀點被托里拆利（Torricelli）修正，重新用開普勒的同維無窮小去代替卡瓦列利的不可分量。

到17世紀中葉，利用分割求和及無窮小的性質求積的方法被數學家普遍采用，解決了求曲線的長度、曲線圍成的面積和體積、物體的重心等問題，因此當時積分又被稱為“無窮小分析”。其中法國數學家帕斯卡的積分法更加接近現代的求定積分的方法，他采取了略去無窮序列之和的高次項的方法，這種思想對牛頓有很大影響。

2.2.2 微分學的發展

相比積分學的幾何直觀，在數學史上微分學的誕生是比較晚的，它的概念和法則是16世紀下半葉后與近代力學同時產生和發展起來的。但直到笛卡爾在1637年發表的《科學中的正確運用理性和追求真理的方法論》確立了解析幾何，才為微分學的發展提供了理論基礎。在17世紀上半葉，為解決力學和天文等方面的問題，如求變化率和切線、函數的極值、物體在任意時刻的速度和加速度等，笛卡兒（Descartes）和費馬（Pierre de Fermat）引入解析幾何，將幾何問題歸結為代數問題，使微分學有了極大的發展。

費馬在1637年發表了《求最大值和最小值的方法》，記述了一個借助微小增量求曲線切線的方法，這是微分方法的第一個真正值得注意的先驅工作。到1638年，笛卡爾基于此提出割線移動決定切線的思想。另一個求切線的方法是笛卡兒的“圓法”，通過代數找到一個與曲線相切的圓來確定法線和切線。這種方法推動了微積分的早期發展，成為牛頓就研究微積分的起跑點。另一方面，費馬在寫給梅森（M.Mersenne）的一封手稿上記載了求函數的極大值和極小值的方法，該方法的本質是用代數的方法找到導數為0的點。

費馬在求切線和極值時，沒有引入無窮小的概念，不具有普遍性，但他發現求切線和求極值有相同的數學結構，這成為求導運算的雛形。費馬的方法對微分的發展有很大的影響。

2.2.3 微積分統一的前期探索

在微積分的醞釀階段前期，微分學和積分學都得到了進一步發展，但兩者是作為獨立的數學問題分別加以研究的。在后期，在積分學的發展中起到重要作用的無窮小概念，被引入微分學，使數學家發現了兩者間的聯系，逐漸向牛頓和萊布尼茨微積分的過渡。

把無窮小引入微分學的開創工作是由布萊斯·帕斯卡（Pascal Blaise）完成的。在他的《四分之一圓的正弦論》這一著作中，他將無窮小引入微分學（求切線）作出“微分三角形”，認為能把曲線看成直線，并進一步作出切線。這是微積分發展史上的重要事件，然而他沒有進一步進行代數處理并致力于切線的求法，但對萊布尼茨的微積分產生了直接的影響。而英國的沃里斯（J.Wallis）基于解析幾何和卡瓦列里的“不可分量原理”，將微積分問題徹底轉化為代數問題而完全脫離幾何表示，并第一個提出無窮大的概念。真正將微分和積分聯系起來的是英國的伊薩克·巴羅（Isaac Barrow），他采用幾何方法，在他的《幾何講義》第十講的命題十一和第十一講的命題十九把“求切線”和“求積”作為互逆問題聯系起來。同時，他將“微分三角形”和費馬的方法結合起來，發現了函數增量和自變量增量之比對于切線的重大意義。

微積分的醞釀階段以費馬和巴羅為標志而結束，但當時的數學家關注的是具體幾何特有的解答方法，而不具有普遍性。

2.3 創立階段

在醞釀階段，數學家對微分和積分做了大量論證工作。到1670年以后，牛頓和萊布尼茨發現微積分相關理論內容完整、前后一致并且有多方面的應用，于是把微積分作為一種具有普遍性的演算方法來總結和發展，最終他們分別獨立的完成了建立概念、提煉出具有普遍意義的微積分方法、把概念和方法的幾何形式改變為解析式等三個重要工作。

1664年，牛頓受笛卡兒求切線的“圓法”啟發，開始了對微積分的研究。牛頓微積分主要研究運動學，以速度形式引進了“流數”（即微商）概念。他以無限小量（牛頓稱為“瞬”）為論證基礎，基于帕斯卡的方法，在運算中采用將式子展開后再略去含有無窮小量的高次項的方法。在1665和1666年分別發明了“正流數術”（微分法）和“反流數術”（積分法），記錄于《流數簡論》（1666年完成）中，成為歷史上第一篇系統的微積分文獻。牛頓從確定面積的變化率出發通過反微分計算面積，建立了所謂“微積分基本定理”，揭示了微分和積分的互逆關系。這樣，牛頓將求解無限小問題的各種技巧統一為正、反流數術（微分和積分）兩類普遍的算法，并證明了兩者的互逆關系而將其進一步統一成整體，微積分正式建立。但《流數簡論》的微積分還不成熟，牛頓直到1693年都在不斷完善自己的微積分學說，先后完成《運用無限多項方程的分析》（1669年完成）、《流數法與無窮級數》（1671年完成）、《曲線求積術》（1691年完成）。這個過程中牛頓否定了《流數簡論》無限小量的方法（隨意忽略無窮小瞬），而引進了導數和極限的觀點（初生量最初比和消失量最后比）。牛頓過于借助于物理直觀，缺乏嚴格性的邏輯推導，其表達有些含混不清，微積分還有不完善的地方。

萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）通過卡瓦列里、帕斯卡、巴羅等人的著作，了解并開始研究求曲線的切線以及求面積、體積等微積分問題。萊布尼茨的微積分主要研究幾何特別是“微分三角形”問題，并發現曲線求切線和求積問題的互逆關系，并作為后續研究的出發點。萊布尼茨的研究成果被記載于共約100頁的札記《數學筆記》中，這些手稿散亂且難懂，被他于17世紀80年代初總結并整理成文。1684年萊布尼茨發表了他的第一篇微分學論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》，是萊布尼茨對自己1673年以來微分學研究的概括，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號“”，明確陳述了函數和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式。1686年，萊布尼茨又發表了他的第一篇積分學論文《深奧的幾何與不可分量及無限的分析》，這篇論文初步論述了求積問題與切線問題的互逆關系，即微積分基本定理，同時第一次出現了積分號“”。萊布尼茲的一套微積分符號是對微積分的重要貢獻，被沿用至今。

牛頓的積分研究的是面積的變化率問題，本質是原函數的概念，因此牛頓的積分是不微積分;而萊布尼茲的積分依賴于橫坐標上無限小區間的縱坐標（或無限小矩形）之和，他的積分是微積分。然而，牛頓和萊布尼茲都沒有很好的解釋無窮小的概念，牛頓因此開始采用了不成熟的極限觀點，而萊布尼茲由于沒有引入極限的概念，微分的定義面臨困境。

2.4 發展階段

牛頓和萊布尼茲建立了微積分方法， 但是， 還有兩個問題需要解決：首先是微積分的主要內容的擴展;其次是微積分的邏輯基礎的完善。

2.4.1 微積分的推廣

18世紀， 微積分進一步發展，被稱為“分析的時代”。雅各布.伯努利（Jakob Bernoulli）和約翰.伯努利（Johann Bernoulli）繼承和發展了萊布尼茲的微積分理論，把微積分推廣到多元函數而建立偏導數理論和多重積分理論，并推動了無窮級數、微分方程、變分法等微積分分支學科的發展，構建了現代初等微積分的大部分內容。在英國， 布魯克.泰勒（Brook Taylor）和科林.麥克勞林（Colin Maclaurin）繼承了牛頓的無窮級數理論，創建了泰勒公式和麥克勞林公式。

2.4.2 微積分的奠基

盡管牛頓和萊布尼茲的微積分取得了驚人的成就，但其理論不牢靠，有些概念十分模糊（主要是對“無窮小量”的解釋）。英國主教喬治.貝克萊（George Berkeley）強烈抨擊牛頓的理論，提出“貝克萊悖論”：“無窮小作為一個量，一會說是0，一會說不是0，那它一定是‘量的鬼魂了”，引發了長期關于微積分邏輯基礎的探討，數學史上稱為“第二次數學危機”。

為建立嚴格的微積分邏輯基礎，數學家主要提出了兩個思路。一是從泰勒和蘭道（Landau）開始到拉格朗日（Lagrange）的學派，打算放棄無窮小量，而用有窮量的代數分析取代微分學。這種方法有助于引入導函數的概念，揭示了微分學與代數的聯系，但并沒有真正進入微分學。二是從達朗貝爾（d'Alembert）和歐拉（Euler）開始到柯西（Cauchy）的學派，試圖用極限的方法給微積分奠基。其中柯西在1821—1823年出版的《分析教程》和《無窮小計算講義》成為數學史上劃時代的著作。他給出極限比較精確的定義，然后用它定義了連續、導數、微分、微積分和無窮級數的收斂性。后來魏爾斯特拉斯（Weierstrass）創立“”語言嚴格定義了極限，才結束了“第二次數學危機”，并沿用至今。此外，柯西給出了原函數的準確定義，并推導出牛頓——萊布尼茲公式。至此，柯西建立了一套完整的積分理論。

2.4.3 微積分的發展

然而，由于歷史原因，柯西的積分理論是基于閉區間上連續函數發展的，當閉區間上有無限多不連續點時，柯西積分就不適用了。

狄利克雷（Dirichlet）建立了一個高度不連續的函數“狄利克雷函數”，顯示了柯西方法的不足之處，并提出“可以用一種新的包容性更強的積分理論來處理在閉區間上具有無限多不連續點的函數”的想法。狄利克雷的學生黎曼實現了這個想法，在1854年為獲得德國大學的教授職位而寫的《大學執教資格講演》學術論文中提出了黎曼積分，找到了不需要預先假設函數的連續性就定義積分的途徑，使可積性同連續性分離。與有界函數的黎曼積分對定義域無窮分割開始構建微積分不同，勒貝格（Lebesgue）提出的勒貝格積分是對函數值域進行無窮分割的，使得勒貝格可積函數遠多于黎曼可積函數。這樣狄利克雷、黎曼等重建了積分的定義，使微積分可以處理閉區間上具有無限多不連續點的函數。

3 總結

微積分的發展經歷了2000多年的發展，經歷了萌芽階段、醞釀階段、創立階段和發展階段四個時期。在許多數學家的努力下，伴隨著許多相關理論和分支學科的建立，才發現了現在經典的微積分基本定理，牛頓——萊布尼茲公式。從此，在許多學科領域微積分成了解決問題最有力的數學工具之一。直到現在，面臨實際應用問題的復雜化，微積分的理論還在繼續發展。

基金項目：本文系江西省高校人文社會科學研究2017年度項目“高職數學教學中融入數學史的研究”（編號：JY17116）階段性成果。

（作者單位：江西泰豪動漫職業學院公共基礎教學部）