發展學生逆向思維

李林美

逆向思維也稱求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式，數學上常指從結論往回推，倒過來的思考。當一個人的思維向一個方向進行，或者形成一個固定的順向模式時，要轉變思維的方向就需要通過相應的學習活動來實現。

一、活動的構想與設計

低年級學生需要借助具體、有趣的數學活動來學習逆向思維。以下結合學生愛玩的天性和實際教學需要，設計了 “玩彈珠”一課的教學。

（一）動手動腦相結合，專注逆向思維

彈珠是小朋友的玩具之一。用小朋友喜歡的玩具作為學習材料，更能激發學生的探究熱情。學生在經歷了“猜想、觀察、發現、歸納”等一系列活動的過程中思考問題，發現問題，找到解決問題的方法，在探究學習中運用逆向思考，發展學生的逆向思維能力。

（二）活動中學習逆向思維

“玩彈珠”采用的學具是彈珠和帶有坡度的深淺不一的彈珠洞。學生通過實踐，發現彈珠滾入彈珠洞前后的排列情況。

整個數學活動考慮從兩個方面來發展學生的思維能力：一方面是順向思考，計算彈珠洞的每個洞最上面一顆彈珠的編號之和。另一方面是逆向思考，根據每個洞最上面一顆彈珠的編號之和來排列彈珠的位置，經歷從順向思維到逆向思維的過程，并著重學習已知編號之和來排列彈珠位置的方法，發展學生的逆向思維能力。

（三）活動目標

1.經歷滾一滾彈珠的操作活動，知道彈珠是按順序滾入彈珠洞的，依次填滿高低不同的幾個彈珠洞，每個彈珠洞從下往上被填滿。能在滾珠子的活動中觀察到每個彈珠洞最上面彈珠的編號，正確求和。

2.借助學習材料， 嘗試根據彈珠滾動后的結果（每個彈珠洞最上面彈珠的編號之和）來設計出彈珠滾動前的位置。引導學生從正向思考到逆向思考，發展逆向思維。

3.學生動手與動腦相結合，形成數學活動經驗，充分感受數學活動的樂趣。

（四）活動流程

二、教學實踐

（一）微課欣賞，了解彈珠的玩法

1.欣賞及交流彈珠的玩法。

師：彈珠有很多種玩法，我們來了解一下。

（師生共同欣賞彈珠的玩法）

師：你們是怎么玩彈珠的？

（生交流玩法）

2.出示課題。

師：這節課我們一起來玩彈珠。

（二）估一估，滾一滾，探索“滾彈珠”活動

1.比眼力——能藏幾顆珠子。

師：這是彈珠洞，每個小朋友手里都有彈珠，當彈珠滾入彈珠洞，每個彈珠洞（從左到右）最多能裝幾顆彈珠呢？你是怎么想的？

生：我估計左起第一個彈珠洞能裝1顆，第二個能裝4顆，第三個能裝2顆。

生：我認為左起第二個彈珠洞只能裝3顆，因為這個洞口不平的，要以低的那個口子為準，如果4顆就滾到下面去了。

師：到底能裝幾顆呢？我們來滾一滾。

一生示范，其余學生觀察，看看自己的猜測是否正確。

生： 第一個彈珠洞能裝1顆，第二個能裝3顆，第三個能裝2顆。

師：這里還有幾個不同的彈珠洞，請同學們估計它們各能裝幾顆，用手勢表示。

（課件展示各個彈珠洞能裝的數量）

2.感受彈珠依次滾入彈珠洞的過程。

師：（見下圖）這些編號彈珠落洞后分別滾入哪里？

先獨立猜想，再和同桌交流你的想法，最后動手操作驗證。

師：你能具體說說彈珠滾入彈珠洞的情況嗎？

生：左邊的彈珠洞先滾入彈珠，第一個彈珠洞裝滿后彈珠滾到第二個、第三個彈珠洞。

3.理解彈珠滾動前后次序及滾動后所在位置。

師：你能說說彈珠滾動前的排列和滾入彈珠洞后的排列嗎？

生：滾動的時候彈珠按從右到左的次序進行（最左邊彈珠洞中先滾入右邊的第一顆彈珠），滾動后的彈珠在每個洞中是從下到上排列的，即彈珠最先滾入洞口最高的彈珠洞，彈珠洞中彈珠排列的順序是下面2號，上面1號……

師：請完整地說一說彈珠滾動的次序及滾入彈珠洞后各個彈珠的相應編號。

生：滾入最左邊彈珠洞的彈珠次序是：從下往上2號、1號，滾入中間彈珠洞的彈珠次序是：從下往上6號、3號、5號，滾入最右邊彈珠洞的彈珠是4號。

師：現在我們把滾入彈珠洞的彈珠還原到滾入前的排列位置，再次觀察彈珠前后的位置。（倒推彈珠的初始位置，學生初步感受逆向思考和操作）

師生總結：我們發現彈珠滾入哪個洞和彈珠滾動前的排列次序有關，還和彈珠洞深淺（能容納彈彈珠的個數）有關。

（三）提出問題，探究和解決問題

1.提出問題（根據彈珠洞最上面編號求和）。

師：如果進洞后每個彈珠洞的最上面彈珠編號之和就是你的得分，算一算，你得了幾分？（出示下表）

[ 最上面彈珠編號 得分 最左邊彈珠洞 中間彈珠洞 最右邊彈珠洞 ]

2.探究和解決問題（根據編號之和最大或最小設置彈珠位置）。

（1）如果我想分數最高，那么這些彈珠最初該怎么排列？

（小組討論，排一排位置，滾一滾，填一填上表）

師：經過比較，第三組的得分最高，說說你們的設計思路。（從順向求彈珠的編號和到逆向思考要使編號之和最大，應怎樣排列彈珠的初始位置，通過逆向思考來解決問題）

生：我們想把編號最大的彈珠滾在每個彈珠洞的最上面，然后就想6號、5號、4號彈珠放在哪些位置上，就會在它們滾入彈珠洞后出現在每個彈珠洞的最上面。

生：根據滾入的順序，應該把它們放在從右往左的第2個、第5個和第6個位置上。

師：你這樣設計的理由是什么？（通過語言的描述，外化逆向推斷的過程，同時與操作活動相結合，促進學生深入體會逆向思維）

生：在剛才滾彈珠的過程中，我知道彈珠入洞后是從下往上填滿彈珠洞的，滾動后我知道從右往左的第2個、第5個和第6個位置上的彈珠會出現在三個彈珠洞的最上方。

師：那4號、5號、6號彈珠放在這三個位置上有指定的位置嗎？比如4號是不是一定要放在從右到左的第二個位置上。

生：我們發現，這三個位置上可以任意擺放4號、5號、6號彈珠，不會影響結果，因為得分都是將這三個數加起來。

生：交換加數的位置，得數相同。

（2）如果要得分最少，你覺得應該怎樣排列彈珠的位置？

（生獨立思考后師指名交流）

生：從右往左數的第2個、第5個和第6個位置上，放1號、2號、3號這三個編號的彈珠。

師：你是怎么想的？

生：找到每個彈珠洞最上面彈珠在落洞前的次序，并將編號之和最小的三個數擺放在這三個關鍵位置上。

（四）深化問題，拓展練習

1.深化問題情境。

師：同樣是編號為1～6號的6顆彈珠，3號已經排在從右到左的第6個位置上，剩下的5顆怎樣排列，滾入彈珠洞后三個洞最上面彈珠之和剛好是13分？

（生獨立嘗試解決問題，小組操作驗證）

師：要解決這個問題該從哪里入手？

生：觀察彈珠洞分別能滾入彈珠的顆數，分別是1顆、3顆和2顆。那么最上面的三顆彈珠是從右往左排的第1個、第4個和第6個。

生：先找出和是13的三個數可能是哪三個，然后把這三個數擺放在從右往左數的第1個、第4個和第6個位置上。

生：現在第6個位置已經知道了是3號，那么剩下第1個和第4個位置上的兩顆彈珠之和為10。我們計算13=3+（）+（），兩顆彈珠的編號分別是4號和6號。

師：你們想得對嗎？和同桌驗證一下。（已知和求加數的可能性的組合，是逆向計算與位置排列推斷的結合，對學生運用逆向思維解決問題提出了進一步的要求，在解決問題的過程中促使學生逆向思維的發展）

總結：根據總分設計彈珠位置分三步走，找到彈珠排列的幾個關鍵位置;嘗試找到總和符合要求的那幾顆彈珠;排列后驗證。

2.拓展練習。

師：如果這6顆彈珠（編號為1～6）的排列位置都不知道，要求入洞后最上面彈珠之和剛好是11分。那你知道要怎樣排列嗎？比一比，誰的方法多。

（同桌討論，完成下表的填寫。之后反饋學生的設計方法，交流想法）

[ 最左邊彈珠洞最上面的編號 中間彈珠洞最上面的編號 最右邊彈珠洞最上面的編號 總分 方法1 11 方法2 方法3 ]

（五）總結經驗，形成結論

師：根據彈珠編號和來設計彈珠排列位置，你有什么好的經驗和大家分享？

生：先要把能組成總分的那幾個編號的彈珠找出來，再把這些數的彈珠排列在關鍵的位置上。

生：編號和的列舉要有序，把所有情況都考慮周到。

師生總結：在解決問題時，我們可以順向思考，也可以倒過來想一想。從結果出發來解決問題，許多問題就能迎刃而解。

三、教學反思

（一）玩中學，感受逆向思維

“玩”是孩子們的天性，有了動作，兒童的思維就會更流暢。讓學生在操作活動中親歷發現和研究的過程，能培養其數學思維品質，為其后續的學習打好基礎。

活動設計力求學習活動的變化和有趣。學生把彈珠滾入三個不同的彈珠洞，再把滾入彈珠洞的彈珠還原到滾入前的排列位置，并觀察彈珠前后的所在位置，初步感受逆向思維。

（二）活動充分結合逆向思維

活動先是求三個彈珠洞最上面3個編號的和，接著根據和的最大或最小來排列彈珠的位置。根據和排列彈珠的位置，需要從結論往回推，倒過來思考6個數中和最大是6+5+4，和最小是1+2+3，并根據和的不同要求把這些編號的球擺在相應的位置上，引導學生從運用順向思維解決問題轉變為運用逆向思維來解決問題。

在拓展練習環節，教師圍繞用“1～6”編號的6顆彈珠進行排列，設計了已知彈珠洞最上面的彈珠編號和是13，其中3號排在從右往左數的第6個位置上，剩下的5顆彈珠如何進行排列的活動?；顒又袑W生首先猜測、驗證三個彈珠洞最上面的彈珠是擺放在從右往左數的哪幾個位置上的彈珠;接著發現和是13的三個數的組合情況，即13=3+（）+（），在1～6的數中，只有3+4+6這種情況。整個教學過程給予學生充足的活動時間，引導學生觀察和發現，學生學習的不僅僅是一個題型，而是一種思維方法。

（三）活動設計有層次

第一層次：用6顆已經編號的彈珠，通過滾一滾，觀察各個彈珠滾入三個從左到右的彈珠洞，接著還原彈珠的初始排列順序，初步感受逆向思維。

第二層次：根據得分最高或最低來排列彈珠位置。由結果出發，經歷分析、排列、驗證、歸納等過程，培養學生的逆向思維?；顒又袑W生獲得了成功的體驗。

第三層次：讓學生根據結果（已知編號和）來設計彈珠的擺放位置。這一環節中，彈珠滾入三個彈珠洞的前后排列位置，結合數（和）的幾種組成情況，排列結果有多種，問題難度提高，促使學生在解決問題的同時歸納出解決問題的方法，體會逆向思維在問題解決中的價值。

（浙江省杭州市建新小學? ?310005）