迭代方法計算矩陣特征值

黃朝軍

（凱里學院，貴州凱里 556011）

計算方陣A的特征值，就是求特征方程|λIA|=0的根，其中I為單位矩陣.這對于二階矩陣是可以的，但對于階數較大的矩陣來說，求解是十分困難，因為行列式|λI-A|的計算相當不易.

1 迭代方法

對于n階方陣A，其特征值λ1,λ2,???,λn按模的大小排列為|λn|≤|λn-1|≤???≤|λ2|＜|λ1|，αk是對應于特征值λk(k=1,2,???,n)的特征向量，且特征向量α1,α2,???,αn線性無關.

任取非零的n維初始向量X0，由矩陣A構造一個向量序列X1=AX0,X2=AX1,???,Xk=AXk-1,???，稱為迭代向量.由于α1,α2,???,αn線性無關，則初始向量X0可唯一表示成X0=a1α1+a2α2+???+anαn，由于Aαk=λkαk(k=1,2,???,n)，于是Xk=AXk-1=A2Xk-2=???=AkX0=Ak(a1α1+a2α2+???+anαn)=λ1ka1α1+λ2ka2α2+???+λnkanαn=，因為＜1(k=2,3,???,n)，所以=0，于是Xk=a1α1，即當k充分大時有Xk≈λ1ka1α1，從而有Xk+1≈λ1k+1a1α1.

這說明當k充分大時，兩個相鄰迭代向量Xk+1與Xk近似地相差一個倍數，這個倍數就是矩陣A的按模最大的特征值λ1，即Xk+1≈λ1Xk.記(xk)i表示向量Xk的第i個分量，則λ1≈.因為Xk+1≈λ1Xk，Xk+1=AXk，所以有AXk≈λ1Xk，則向量Xk可近似地作為對應于λ1的特征向量，從而對應于最大特征值λ1的特征向量就是Xk.

當取定初始向量X0后，建立迭代公式為Yk=AXk-1，mk=max(Yk)，Xk=Yk(k=0,1,2,???)，其中mk是向量Yk的模最大的一個分量.

這樣，有

當n階方陣A可逆時，A-1的特征值就是A的特征值λ1,λ2,???,λn的倒數，從而A-1的模最大特征值就是A的模最小特征值，所以可以用A-1來計算矩陣A的模最小特征值λn.

記A=LU，其中L是單位下三角矩陣，U是上三角矩陣，取定初始向量X0后，建立迭代公式為LZk=Xk-1，UYk=Zk，mk=max(Yk)，Xk=Yk(k=1,2,???)，其中mk是向量Yk的模最大的一個分量，則A的模最小的特征值為λn=mk-1，相應的特征向量為αn=Xk.

這表明，可以構造迭代向量，利用迭代方法計算出矩陣的模最大和模最小的特征值.

2 迭代法應用

2.1 計算三、四階矩陣的全部特征值

一般的三、四階矩陣的特征多項式是三、四次方程，根本無法求出其根，而利用迭代方法可以計算出全部的特征值.

解 先求出A的模最大的特征值.取初始向量X0=(6,10,6)T，建立迭代公式為Yk=AXk-1，mk=max(Yk)，Xk=Yk(k=0,1,2,???)，λ1=，計算結果如表1所示.

表1 迭代方法計算例1中矩陣最大特征值

由于|m6-m5|=0.000787411＜0.001，停止迭代，得所求模最大的特征值λ1≈m5=4.895.由于

λ1λ2λ3=|A|=-2，λ1+λ2+λ3=tr(A)=a11+a22+a33=6，則λ2+λ3=1.105，λ2λ3=0.4086，從而解得λ2=0.5525+0.3215i，λ3=0.5525-0.3215i，這樣就求出了矩陣A的全部特征值.

解 先用迭代法求矩陣A的模最大的特征值，取X0=(-6,2,10,3)T，建立迭代公式Yk=AXk-1，mk=max(Yk)，Xk=Yk(k=0,1,2,???)，λ1=，計算結果如表2所示.

再用迭代法求A的模最小的特征值，對矩陣A進行分解，即A=LU，有L=

由于|m6-m5|=0.00039＜0.001，停止迭代，得所求模最大的特征值λ1≈m6=5.863；

表2 迭代方法計算例2中矩陣最大特征值

續表2 迭代方法計算例2中矩陣最大特征值

表3 迭代方法計算例2中矩陣最小特征值

由于|m7-m6|=0.0008＜0.001，停止迭代，得所求模最小的特征值λ4≈m7-1=0.8006.

由于λ1λ2λ3λ4=|A|=-16，λ1+λ2+λ3+λ4=tr(A)=a11+a22+a33+a44=8，則λ2+λ3=1.3364，λ2λ3=-3.4087，從而解得λ2=2.63166，λ3=-1.29526，這樣就求出了矩陣A的全部特征值.

2.2 判斷線性方程組迭代法求解的收斂性

對于線性方程組AX=b，建立迭代格式X(k+1)=BX(k)+d，當迭代矩陣B的模最大的特征值λ1使得|λ1|＜1時，迭代收斂，否則就不收斂.當收斂時，即可求出線性方程組的解.

建立迭代格式

判斷迭代是否收斂？

表4 迭代方法計算例3中矩陣最大特征值

由于|m8-m7|=0.0009＜0.001，停止迭代，得所求模最大的特征值λ1≈m5=1.38，λ1＞1，從而按照此迭代格式求線性方程組的解，是不收斂的.

這樣的迭代方法，對于四階及以下的矩陣可以求出其所有特征值，對于五階及以上的矩陣可以求出其模最大及模最小的特征值.這種直接利用矩陣本身而建立的迭代方法避開了計算行列式，避開了解一元高次方程的困難，這樣的數值方法很實用.