武器彈藥密集度試驗分組的蒙特卡洛模擬研究

鄒陳來,王雨時,王光宇,聞 泉,張志彪

(南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094)

武器彈藥密集度是評估武器和彈藥散布特性的一項指標,是武器和彈藥射擊精度的重要組成部分。能否精確分析武器和彈藥系統的密集度特性,關系到武器和彈藥設計指標的制定以及武器和彈藥的靶場驗收標準的制定,對提升武器系統戰斗效能起著非常關鍵的作用[1]。對于常規兵器密集度試驗,原有的試驗資料、現行的國家軍用標準和兵工行業標準均有規定,且要求密集度試驗須分組、分不同天進行,高、低、常溫條件須單獨進行試驗[2-6],所需用彈量多,投入成本高。

在20世紀70年代,華東工程學院公算教研室提出了武器彈藥密集度試驗不分組的新做法[7]。1979年編寫的《火炮試驗法》中,單純密集度由原來的三天三組改為一天一組,而引起了爭論[8]。就武器和彈藥密集度試驗是否應該分組的問題,在20世紀80年代我國彈藥界和彈道界進行了深入討論[9-25]。文獻[9]通過列舉試驗數據,論述了分組試驗各組方差相等是不成立的,不分組理論需要商討,并引用了巴爾坎等人的密集度理論,即密集度本身是極不穩定的,組與組之間的密集度存在20%左右的變化,說明密集度試驗有必要分組進行。文獻[18]指出大量射擊試驗數據中各組試驗方差存在差異,不能引出各組方差不相等的結論,并通過理論計算提出:不分組試驗與分組試驗相比,可以得到較高的估計精度,并且可以節省人力、物力。文獻[10]通過Cochran統計量和最大F比統計量,對391批密集度試驗的結果數據進行了假設檢驗,拒絕了分組試驗各組理論方差相等的假設。

針對武器彈藥密集度試驗不分組試驗法和分組試驗法的優劣性及可行性問題的討論,主要有2種截然相反的觀點:①主張分組,方差反應了多種因素的影響,不只是武器彈藥本身,還與被試品以外的條件密切相關,不同的試驗條件可以得到不同的密集度試驗結果[9-16];②不主張分組,因為不分組試驗時的方差估計小于分組試驗時的方差估計,不分組試驗時方差估計精度更高[17-18]。文獻[19]從經濟性和估計精度兩方面考慮,更傾向于不分組試驗,但同時不否認立靶密集度試驗分組的做法。

除以上2種觀點外,文獻[21-24]主張根據試驗目的、試驗條件以及試驗對象的不同來確定是否需要分組試驗。文獻[8]主張現行的火炮、彈藥密集度試驗方法沒有修改或統一的必要,單純的密集度試驗,火炮仍可采用不分組射擊,彈藥則可保持原來的分組射擊規定,并提出中間誤差的二次散布隨用彈量的增加而減小,即用彈量越大,二次散布越小,而測得的中間誤差精度越高(組與組之間的跳動也將越小);當用彈量趨向于+∞時,中間誤差二次散布為0,即所求中間誤差為理論值。文獻[25]則認為密集度試驗應追求不分組試驗,但為了保證試驗結果為同一“母體”,應分組試驗。

關于武器彈藥密集度試驗,分組與不分組主張的差異在于進行分組試驗時各組試驗所得結果的方差是否相等[20]。文獻[9-25]主要通過文字和列舉試驗數據的方式進行論述,其中少部分文獻根據數理統計理論,將密集度的估計值作為與試驗分組數m和每組發數n相關的χ2函數進行理論分析。隨著計算機技術的發展,計算工具越來越發達,使得通過計算機進行大量數據的輔助分析成為可能。本文針對武器彈藥密集度試驗是否有必要分組進行的問題,借助計算機,應用蒙特卡洛方法,假設某彈藥具有特定的密集度特性,并假設分組試驗時各組試驗結果的方差相等,且等于總體方差,對密集度試驗的分組試驗法和不分組試驗法進行仿真對比研究。

除了上述武器彈藥密集度試驗之外,引信空炸作用時間(距離)精度試驗、引信自毀時間精度試驗、爆炸元件作用時間精度試驗、爆炸元件威力試驗等,也都屬于一次性的破壞試驗,目前均采用不分組試驗法[26-27]或分組試驗,但各組結果單獨考核[28],未見有采用分組法。

1 密集度試驗與蒙特卡洛法模擬方法簡介

1.1 密集度試驗簡介

射擊密集度是指在相同射擊條件下,彈丸的彈著點相對平均彈著點的密集程度[29],是通過對較少數量樣本參數的估計來評估總體分布參數的一種方法。射擊的密集度可以根據射彈的彈著點位置按下式計算[30]:

(1)

(2)

密集度試驗是考核武器彈藥射擊散布的方法,式(1)計算所得為彈著點位置的中間誤差,該散布范圍包含了50%發數的彈著點。

在20世紀70年代提出的密集度試驗新方法為不分組射擊,按式(1)進行密集度估算。原有的試驗方法及現行的試驗方法為分組射擊,按式(3)進行密集度估算:

(3)

(4)

(5)

由文獻[9]可知,分組射擊時,樣本密集度的估計存在2種算法,方法一為按式(3)計算,方法二為按式(6)計算:

(6)

現行國家軍用標準及兵工行業標準對常規兵器密集度試驗均有規定。其中文獻[4]對反裝甲彈的密集度試驗作了要求,要求試驗用彈樣本量須按高溫1～2組、常溫3組、低溫1～2組的組數進行,口徑大于57 mm時,每組發數為7發,否則每組發數為10～20發,且要求一組射彈射擊時間不大于30 min,一組射彈的各發時間間隔應盡量一致,各組之間的時間間隔應大于4 h。文獻[5]則對火炮的密集度試驗進行了規定,要求立靶密集度試驗和地面密集度試驗分組射擊。對于同一組彈,發與發之間射擊間隔為1～3 min,一組彈射擊時間不應大于30 min。同一種藥溫的彈,一般射擊3組,組間射擊間隔應大于4 h。每組彈的發數按口徑分,小口徑每組10發,中口徑每組7發,大口徑每組5發。文獻[6]對炮彈地面密集度試驗法進行了規定,對炮彈進行工廠鑒定和外貿設計定型試驗,每個試驗組用彈量有如下規定:

①彈徑在57 mm(含57 mm)以下每組試驗10(或15)發(一般為3個試驗組);

②彈徑在60～100 mm(不含100 mm)每組試驗10(或7)發(一般為3個試驗組);

③彈徑在100～160 mm(不含160 mm)每組試驗7發(一般為3個試驗組);

④彈徑在160 mm以上每組試驗5發(一般為3個試驗組)。

按要求進行高、低溫地面密集度試驗時,試驗用彈量參照常溫試驗用彈量。

火箭彈產品研制試驗、工廠鑒定和外貿設計定型試驗組用彈量則參照文獻[3]的規定。即:

地面密集度試驗每組彈數根據實際情況確定。對多管火箭炮連放射擊通常每組發數取“一次連放的彈數”;對單管火箭炮或多管火箭炮單放射擊,大口徑火箭彈每組5～7發,中小口徑每組7～12發。一般高、低、常溫各3組。一般一天內高、低、常溫各射擊一組,三天射擊完畢。一組射擊時間應在30 min之內,最長不應超過45 min。

以上3個標準所規定的密集度估計均按式(3)和式(4)進行。按以上規定進行密集度試驗,均要求高、低、常溫各射擊3組,所需試驗彈數較多,耗時較長。為減少試驗用彈量,文獻[31]根據某榴彈和某爆炸成型彈丸的常溫、高溫、低溫密集度試驗結果,提出溫度對密集度的影響較小,建議以常溫考核為主,高溫、低溫考核為輔的方法進行立靶密集度考核。文獻[32]通過數理統計理論建立方差檢驗模型,對密集度散布方差進行了檢驗分析,提出彈溫對密集度散布沒有影響,而分組試驗可以消除偶然因素帶來的不利影響,并建議輕武器榴彈密集度試驗采用單一溫度條件下射擊多組的方法試驗。

1.2 密集度試驗的蒙特卡洛法模擬的實現

蒙特卡洛法是一種隨機抽樣方法,其通過數量足夠大的模擬試驗來逼近服從特定分布的實際總體,該方法的理論基礎為概率論的大數定理和伯努利定理。只要進行足夠大量的模擬計算,蒙特卡洛法的應用幾乎沒有限制[33]。

蒙特卡羅法模擬密集度試驗需要產生彈著點位置坐標,彈著點位置坐標是試驗中的隨機變量,其產生服從選定的分布概率模型。在此假設其服從正態分布模型。

設共有試驗樣本K批,每批試驗的總用彈數為N,分m組射擊,每組射擊n發。則K批樣本的均值和方差為

(7)

(8)

通過估計量的精度來評估估計量的優劣,估計精度的指標包括估計均方差σB和估計相對誤差EB:

(9)

(10)

對于分組試驗,可根據同一批試驗中估計值最大一組的密集度與估計值最小一組的密集度的比值γ,來評估組與組之間的密集度差異大小:

(11)

同一次模擬(包含K批樣本)中比值最大值γmax為

γmax=max{γk}

(12)

式中:γk為第k批樣本的比值。

則K批樣本的均值和均方差為

(13)

(14)

2 蒙特卡洛法模擬

不妨假設某彈藥的彈著點位置坐標服從N(0,202)的標準正態分布,則該彈藥密集度真值B=13.49 m。國家軍用標準對密集度試驗用彈數的規定,包括5發一組、7發一組和10發一組的做法,組數一般要求3～6組?，F假設產品單批試驗樣本總量N分別為5發、7發、10發、14發、15發、20發、21發、25發、28發、30發、35發、40發、42發、50發和60發,用蒙特卡洛隨機抽樣方法模擬不同分組方式的密集度試驗,求取每個樣本的統計量B的最大似然估計值作為觀察值。模擬試驗批數K分別為104,105,106。

表1所列為密集度試驗分組試驗法散布參數的2種估計方法的對比,其中方法一為按式(3)進行估計,方法二為按式(6)進行估計。

表1 N(0,202)標準正態分布密集度試驗分組試驗2種估計方法模擬結果對比

為評估式(3)和式(6)2種估計方法的差異,得到組間密集度比值不同時2種估算方法的相對偏差大小為

(15)

式中:μ1為按式(3)進行估算所得的密集度估計值,μ2為按式(6)進行估算所得的密集度估計值。

表3所列為試驗樣本總量N為10,14,15,21,25,28,30,35,40,42,50和60時,按不同分組方式進行抽樣模擬,得到的組間密集度差異的估計參數γ、2種不同估計方法所得密集度估計值μ1和μ2以及兩者之間的相對偏差大小Δ12。

表2 N(0,202)標準正態分布密集度試驗分組試驗與不分組試驗的模擬結果

表3 N(0,202)標準正態分布密集度試驗分組試驗組間密集度最大比值γ以及2種密集度估算方法模擬結果對比

3 分析討論

由表2分組密集度試驗106批次模擬結果可知,每組試驗射擊5發,射擊2組所得密集度估計相對誤差為3.06%,射擊3組所得密集度估計相對誤差為2.04%。每組試驗射擊7發,射擊2組所得密集度估計相對誤差為2.07%,射擊3組所得密集度估計相對誤差為1.37%。每組試驗射擊10發,射擊2組所得密集度估計相對誤差為1.37%,射擊3組所得密集度估計相對誤差為0.92%。即每組射擊5發時,射擊3組及3組以上,即可得到較好的密集度估計精度;每組射擊7～10發時,射擊2組及2組以上,也可得到較好的密集度估計精度。

對表2模擬計算結果進行統計,得到不同試驗樣本總量,不同分組方式,按106批次進行模擬得到的計算結果,如表4所列,其中分組試驗的密集度是按式(3)～式(5)的方法計算的。

結果表明,試驗樣本總量N一定時,加大分組數m,樣本均方差增大,樣本估計相對誤差也增大,即估計的無偏性降低,估計精度也降低。與文獻[18]中所述對于總用彈數一定時,分組數越大估計無偏性越差的結論是一致的,與文獻[9]中引用的不分組理論也是一致的,即密集度估計精度隨著分組數增多而降低。密集度試驗不分組進行比分組進行可以得到更高的估計精度,但精度增加十分有限。

由表2中106批次模擬結果可知,估計相對誤差隨著樣本量的增加而減小。試驗組數m相同時,單組用彈量越大,密集度均方差越小,即密集度估計的散布越小,所得結論與文獻[8]中關于中間誤差二次散布隨用彈量的增加而減小的結論是一致的。不分組試驗,試驗樣本量為5發時,估計相對誤差為5.96%;試驗樣本量為7發時,估計相對誤差為4.12%;試驗樣本量為10發時,估計相對誤差為2.69%;試驗樣本量為14發時,估計相對誤差為1.87%;試驗樣本量為21發時,估計相對誤差為1.24%;試驗樣本量為28發時,估計相對誤差為0.92%。即不分組試驗,單次試驗射擊14發或14發以上即可得到較好的密集度估計精度。

根據表3中106次模擬的結果,試驗總發數15發,分3組試驗,每組5發時,各組中間誤差極大值與極小值之比最大為58.24,均值為2.11。試驗總發數21發,分3組試驗,每組7發時,各組密集度之間的最大比值的最大值為22.42,均值為1.77,按3倍均方差為誤差區間,則組間密集度最大比的有效范圍為1.00～3.60,文獻[9]所列舉試驗數據組間密集度的比值基本在這個范圍內,個別組比值超過3.60,但仍未超過模擬計算所得的最大值22.42。因此,單批試驗組與組之間的密集度差異大,不能得出各組樣本不屬于同一母體的結論。與文獻[18]關于大量射擊試驗數據中各組試驗方差存在差異,不能引出各組方差不相等的結論的論述是一致的。

根據各組密集度之間的最大比值的106次模擬結果,試驗總發數15發,分3組試驗,每組5發時,各組密集度之間的最大比值的均值為2.11,則組間密集度的平均差異約為35.7%。試驗總發數21發,分3組試驗,每組7發時,各組密集度之間的最大比值的均值為1.77,則組間密集度的平均差異約為27.8%。試驗總發數30發,分3組試驗,每組10發時,各組密集度之間的最大比值的均值為1.56,則組間密集度的平均差異約為21.9%。即組間密集度存在一定的差異,其差異大小隨單組試驗發數的增加而減小,隨試驗組數的增加而增大。所得結果與文獻[8]關于密集度組間跳動隨用彈量增加而減小的結論以及文獻[2]關于組間密集度存在20%左右差異的結論基本一致。

4 結束語

不考慮氣象等因素,從純數學角度,假設彈藥具有特定的密集度特性,密集度試驗分組進行會降低密集度的估計精度,密集度試驗由分組進行改為不分組試驗可以提高估計精度,但估計精度改善不明顯?，F行國家軍用標準和兵工行業標準均要求密集度試驗分組進行,可以計入氣象等隨機因素帶來的影響。

對于引信空炸(自毀)作用時間(距離)精度、爆炸元件作用時間精度、爆炸元件威力等一次性破壞試驗,從理論上講,采用分組試驗進行評估同樣可以計入不確定隨機因素的影響,從而提高估計精度。但這類試驗分組進行成本往往較高,而帶來的效果卻并不十分明顯,引信和火工品專業可能因此而一直采用不分組試驗方法。

采用分組方法進行武器彈藥密集度試驗時,如果單組試驗發數為5發,則應射擊3組或3組以上。如果單組試驗發數為7～10發,則應射擊2組或2組以上。對于分組試驗密集度估計,應使用各組密集度的幾何平均值作為總體密集度的估計。