空氣不耦合裝藥孔壁初始沖擊壓力的計算

張恒根，王衛華，王永強

(中南大學資源與安全工程學院，長沙 410083)

在確定不耦合裝藥系數等爆破參數時，孔壁初始沖擊壓力是重要的依據之一，對它的研究吸引了眾多學者的注意。在以往的研究中，有些學者主張利用計算爆轟產物壓力的方法得到不耦合裝藥時的孔壁壓力，如費鴻祿等[1]以爆轟氣體動力學及巖石斷裂理論為基礎，推導了裝藥不耦合系數的計算公式。宗琦等[2]將爆生氣體膨脹充滿炮孔時的準靜壓力作為孔壁初始壓力，得到了空氣墊層裝藥結構軸向不耦合系數的計算方法。也有學者主張利用計算沖擊波壓力的方法得到不耦合裝藥時的孔壁壓力，如朱紅兵等[3]利用沖擊波理論分析了空氣間隔裝藥炮孔內壓力波的傳播過程，得到了合理空氣層比例的確定方法。陳明等[4]推導了爆炸沖擊波與彈性壁碰撞后壓力增大倍數的理論解，提出了輪廓爆破孔壁壓力峰值的計算模型。杜俊林等[5]利用沖擊波的基本關系式計算了空氣不耦合裝藥時的孔壁壓力。還有學者用模擬及實驗等其他方法對孔壁壓力進行了研究，如王志亮等[6]對水不耦合裝藥爆破進行了數值模擬，分析了孔壁壓力與不耦合系數之間的關系。V.R.Feldgun等[7]對爆破荷載的變化過程進行了數值模擬，并與實驗結果進行了分析對比。凌偉明[8]采用錳銅壓阻傳感器進行了孔壁壓力測量的實驗，驗證了錳銅壓阻傳感器用于測試孔壁壓力的可行性。劉云川等[9]按照能量等效原則，給出了徑向不耦合裝藥條件下炮孔初始壓力的計算公式。樓曉明等[10]引入St-arfield迭加法，分析得到了上部空氣間隔裝藥和中部空氣間隔裝藥條件下孔壁初始沖擊壓力的計算公式。眾多其他學者[11-14]也研究了孔壁初始沖擊壓力問題，提出了許多計算孔壁壓力的方法。

目前常用的計算不耦合裝藥孔壁初始沖擊壓力的方法是,先計算爆轟產物在炮孔內做等熵膨脹后作用于孔壁的準靜壓力，然后將準靜壓力乘以壓力增大系數n，近似得到了孔壁巖石所受到的初始壓力。n一般取8～11。爆轟產物在炮孔內的膨脹可以按照一階段或兩階段等熵膨脹計算[15]。當不耦合系數比較小時，通常按照一階段等熵膨脹計算：

(1)

當不耦合系數比較大時，按照兩階段等熵膨脹計算：

(2)

式(1～2)中：pt為透射入孔壁的初始沖擊壓力；ρw為炸藥的密度；D為爆轟波波陣面的速度；R為炮孔半徑；r為藥卷半徑；pk為兩階段交接點處的臨界壓力，中等威力的硝銨類炸藥pk一般取2.0×108Pa。

上述常用公式在理論上并不嚴密，其計算結果與實測值往往相差較大。以往對于不耦合裝藥孔壁初始沖擊壓力計算方法的研究始終圍繞著不耦合裝藥的破巖機理，即由沖擊波破巖和爆生氣體破巖的理論展開。由于確定爆破近區空氣沖擊波衰減和爆生氣體膨脹規律的困難性，以及爆轟波、空氣沖擊波與孔壁之間相互作用的復雜性和測試系統的局限性等原因，致使空氣不耦合裝藥條件下孔壁初始沖擊壓力較難確定。以往利用計算爆轟產物壓力的方法計算孔壁壓力時，往往事先假定忽略炮孔內空氣層的存在，進而忽略空氣沖擊波對孔壁的影響，這與事實不符，因為利用計算沖擊波壓力的方法確定孔壁壓力時，往往將孔壁面作彈性面簡化處理，且較少考慮空氣沖擊波傳播過程中的衰減。作者在前人研究的基礎上，通過分析不耦合裝藥爆轟后沖擊波作用于孔壁的物理過程，建立了空氣沖擊波在炮孔內衰減傳播模型，利用該模型計算了空氣沖擊波對孔壁的入射壓力，再利用空氣沖擊波正入射時的界面處連續條件，獲得了孔壁初始沖擊壓力的計算公式，并將計算結果與常用公式的計算值、模擬值和實驗結果進行對比分析。

1 物理過程

為了比較合理地確定孔壁初始壓力，首先要清楚爆轟后沖擊波作用于孔壁的物理過程?？諝獠获詈涎b藥爆轟后，空氣沖擊波隨時間變化作用于孔壁的過程如圖1所示。

注：(1)區為未爆轟的藥卷；(2)區為炮孔內的空氣層；(3)區為爆轟后還未膨脹的爆轟產物；(4)區為受膨脹波擾動后開始膨脹的爆轟產物；(5)區為空氣沖擊波過后被壓縮的空氣。圖1 空氣沖擊波隨時間變化作用于孔壁的過程Fig.1 The process of air shock wave acting on the hole wall with time

當柱狀藥卷(1)孔底起爆時，爆轟波以半球面波的形式自藥卷底部向孔口方向傳播。爆轟波的波陣面在藥卷壁處以較小的傾斜角度β猛烈地撞擊藥卷周圍(2)區內的空氣，并在接觸空氣的瞬間產生反射和透射。這個傾角β即為爆轟波對空氣介質的入射角，由于入射角很小，可以近似地認為爆轟波以正入射的方式接觸藥卷周圍的空氣。由于爆轟波后(3)區內爆轟產物的沖擊阻抗遠大于(2)區內空氣介質的沖擊阻抗，因此爆轟波在空氣介質處的反射波為一膨脹波，反射的膨脹波可以理想化為經由(3)區內還未膨脹的爆轟產物向藥卷中心軸線上傳播的半徑不斷縮小的柱面波，受膨脹波的擾動，(3)區內未膨脹的爆轟產物即開始膨脹。膨脹波的波陣面最終匯聚于藥卷中心的軸線上，并且在軸線上產生一個在(4)區內已經膨脹的爆轟產物中向外傳播的新反射波。爆轟波透射形成的空氣沖擊波經(2)區內的空氣層向孔壁傳播，由于壓縮(5)區內的空氣散失能量致使空氣沖擊波在空氣層中傳播時，其峰值壓力和波陣面的速度會逐漸衰減。最后，衰減后的空氣沖擊波會以正入射的方式作用于孔壁巖石上，產生反射和透射。由于巖石的沖擊阻抗遠大于(2)區內空氣介質的沖擊阻抗，因此空氣沖擊波在孔壁處的反射波仍為沖擊波，反射的沖擊波同樣可以理想化為經由(4)區內已經膨脹的爆轟產物向炮孔中心軸線上傳播的半徑不斷減小的柱面波，并在其波陣面匯聚于炮孔中心的軸線上后向外傳播一個新的反射波。由于這個新的反射波在爆轟產物中傳播時，氣態爆轟產物已經迅速膨脹，充滿了整個炮孔，故可以認為在爆轟氣體接觸孔壁之前，爆轟擾動空氣產生的空氣沖擊波在孔壁的透射沖擊波參數即為孔壁初始沖擊參數。

2 衰減規律

爆轟擾動空氣形成的初始空氣沖擊波以柱面波的形式向孔壁傳播，由于柱面半徑的增大，其波陣面單位面積上的能量將不斷減少，被壓縮后的空氣由于熵值的增大，會將部分動能不可逆的轉化為熱能，這些能量的散失致使空氣沖擊波在到達孔壁時，其峰值壓力和波陣面的速度已迅速下降，另外隨著沖擊波寬度的增加，對空氣的正壓作用時間也不斷加長。

空氣沖擊波在炮孔空氣層中衰減傳播的計算模型如圖2所示，其中Da、pa、μa、ρa分別表示空氣沖擊波在炮孔內傳播距離為x時波陣面的速度、壓力、質點移動速度和密度；p0、ρ0、μ0分別表示空氣沖擊波前未受擾動的空氣的壓力、密度和質點移動速度。未受擾動的空氣處于靜止狀態，μ0=0，ρ0=1.2 kg/m3。

圖2 空氣沖擊波在炮孔空氣層內衰減傳播模型Fig.2 Attenuation propagation model of air shock wave in the air layer of blasthole

假定當空氣沖擊波在炮孔內的傳播距離為x時，途經的空氣受其擾動，質量全部集中于波陣面附近厚度為Δr的薄層之中。由于空氣沖擊波波陣面的壓力pa很強，波前靜止空氣的壓力p0可以忽略，于是空氣沖擊波滿足強沖擊波的基本關系式[16]如下：

(3)

(4)

(5)

式中：k為絕熱指數，一般取1.3。

(6)

(7)

式中：pw為爆生氣體的平均爆轟壓力，pw=ρwD2/2(γ+1)；Vw為裝藥體積，Vw=πr2l，l為炮孔長度，裝藥系數為1；Vk為爆生氣體壓力為pk時的體積；px為爆生氣體膨脹到距藥卷中心x處時的平均壓力；Vx為爆生氣體壓力為px時的體積，Vx=πx2l。

由界面條件可知，在薄層與爆生氣體的交界處，界面兩側的壓力相等，則

(8)

令pc等于波陣面壓強pa的θ倍，對薄層內的空氣應用牛頓第二定律，得

(9)

式中：m為被空氣沖擊波所席卷的空氣的質量，m=π(x2-r2)lρ0。

將式(3)和式(4)代入式(9)化簡得

(10)

可以將上式寫為

(11)

對兩邊積分得Da=A(x2-r2)θ-1，其中A為積分常數。

(12)

單位質量的理想氣體，其內能為

e=pν/(k-1)

(13)

式中：p和ν分別表示氣體的壓力和比容。

假設空氣薄層內壓力呈線性變化，則薄層內空氣的內能ET為

(14)

將式(4)和式(5)代入式(14)并替換掉m和Da可得

(15)

爆炸傳遞給沖擊波的總能量EO為

(16)

在對爆轟擾動空氣形成的初始沖擊波參數的計算過程中可以發現，空氣沖擊波的傳播速度要大于爆轟產物的噴流速度[15]，故可以認為空氣沖擊波對空氣的裹挾要快于爆轟產物膨脹對空氣的壓縮，進而認為爆轟產物在膨脹到孔壁前為自由膨脹，對炮孔內的空氣做功為零。爆轟傳遞給沖擊波的總能量EO為一定值，即EO為與x無關的常數，故

2θ-1=0

(17)

得θ=1/2。

借助于式(8)求得的pc值，可以計算出當空氣沖擊波傳播到孔壁時，即當x=R時，空氣沖擊波對孔壁的入射壓力pa為

(18)

利用強沖擊波的基本關系式和pa值可得,當空氣沖擊波傳播到孔壁時，入射空氣沖擊波波陣面的速度Da和質點移動速度μa分別為

(19)

(20)

將式(16)變換后代入Da=A(x2-r2)θ-1，并化簡得

(21)

將式(21)代入式(3)和式(4)可得

(22)

(23)

由式(21)～(23)得到空氣沖擊波參數隨傳播距離的衰減關系(見圖3～圖4)。

圖3 空氣沖擊波波陣面速度和質點移動速度隨傳播距離的衰減Fig.3 Attenuation of wave front velocity and particle moving velocity of air shock wave with propagation distance

圖4 空氣沖擊波波陣面壓力隨傳播距離的衰減Fig.4 Attenuation of wave front pressure of air shock wave with propagation distance

從圖3和圖4可以看出，空氣沖擊波在炮孔內空氣層中傳播時，波陣面的速度、壓力和質點移動速度會隨傳播距離的增加呈指數型衰減，波陣面壓力的衰減速度要比波陣面速度和波陣面質點移動速度衰減的快?？諝鉀_擊波參數的大小與爆炸傳遞給沖擊波的總能量和藥卷長度之間存在線性關系，爆炸傳遞給沖擊波的總能量越強，則沖擊波的參數越大?？諝鉀_擊波的衰減規律如下：

(24)

3 初始參數計算

空氣沖擊波傳播到孔壁時即產生反射和透射，在求解透射波的初始參數時，以往的研究中多將孔壁面作為彈性面處理，認為透射波是直接以應力波的形式在孔壁巖石中傳播的，進而應用彈性理論求解孔壁的初始沖擊壓力[16]。實際上，空氣沖擊波正入射孔壁之后，在已經膨脹的爆轟產物中傳播的反射波和在孔壁巖石中傳播的透射波均為沖擊波，且反射沖擊波和透射沖擊波波陣面的壓力會因巖石波阻抗的增大而大于入射空氣沖擊波波陣面的壓力?？諝鉀_擊波在孔壁處的壓力變化如圖5所示。

注：pa，μa分別表示空氣沖擊波傳播到孔壁時波陣面的壓力和質點速度；pt，μt分別表示在孔壁巖石中傳播的透射沖擊波波陣面的壓力和質點速度；μs表示反射沖擊波波陣面的質點速度，其與空氣沖擊波的傳播方向相反；pr，μr，ρr分別表示透射沖擊波前未受擾動的巖石的壓力、質點速度和密度。圖5 空氣沖擊波在孔壁處的透、反射Fig.5 The transmission and reflection of the air shock wave at the hole wall

未受擾動的巖石處于靜止狀態，μr=0?？諝馀c巖石交界面兩側質點的移動速度是相等的，因此在交界面上有

μt=μa-μs

(25)

對反射沖擊波應用沖擊波后質點速度方程可得

(26)

式中：ca，ct分別為反射沖擊波波前和波后介質的比容。

反射沖擊波的沖擊絕熱線可以寫為

(27)

將式(26)和式(27)代入式(25)可得

(28)

將式(18)和式(20)以及ca=(k-1)/(k+1)ρ0代入式(28)可得

(29)

對在巖石中傳播的透射沖擊波可用沖擊波后的質點速度方程計算，由于pt?pr，方程中的pr可以忽略，得

(30)

式中：ρt為受透射沖擊波擾動后巖石的密度。

巖石的狀態方程為[17]

(31)

式中：Cr為未受擾動的巖石中的縱波波速；B為常數。

當炸藥的密度ρw，爆速D，炮孔半徑R和藥卷半徑r已知時，由式(18)和式(29)～式(31)即可求得孔壁初始沖擊壓力pt。

4 結果對比與討論

文獻[8]采用錳銅壓阻傳感器實驗測量了水泥砂漿試件在空氣不耦合裝藥條件下的孔壁壓力，文獻[12]利用ANSYS/LS-DYNA軟件對文獻[8]中的實驗模型進行了數值模擬。采用文獻[8]中的巖石和炸藥參數以及不耦合系數，炸藥密度ρw=1.0 g/cm3，爆速D=3 200 m/s，水泥砂漿試件未受擾動時的密度ρr=2.2 g/cm3，縱波波速Cr=3 200 m/s，壓力增大系數n取8，炮孔直徑40 mm，分別代入2個常用公式和本文推導的方程組中計算孔壁初始壓力，將計算結果與文獻[8]的實測值及文獻[12]的模擬值共同繪制于圖6中。

圖6 本文計算結果與模擬值、實測值的比較Fig.6 Comparison of calculated results with simulated and measured values

從圖6可以看出，用本文推導方程組計算的孔壁初始壓力比常用公式的計算值和模擬值更接近于實測值。當不耦合系數為1.14時，方程組計算的孔壁初始壓力，與實測值誤差為8%；當不耦合系數為1.6時，誤差為21%，均小于模擬值和常用公式計算值相對于實測值的誤差。方程組計算值與實測值隨不耦合系數變化的趨勢也較為一致。數值模擬的結果與實測值相比，可靠度為80%左右[12]。

常用公式的計算結果比實測值小很多。常用公式依據沖擊波在炮孔壁的透、反射致使孔壁入射壓力增強的觀點得出，計算時將爆生氣體的準靜態壓力作為沖擊波對孔壁的入射壓力，理論上并不嚴密。其中n的取值直接影響到孔壁壓力的計算值。n的取值與裝藥結構、炸藥特性和巖體介質等多種因素有關，且應當隨不耦合系數的變化而變化，因此想要比較合理的確定n值是比較困難的[4]。

如果在方程組的推導過程中將爆生氣體在炮孔內的膨脹按照一階段的等熵膨脹計算，則此時用方程組計算的孔壁入射壓力值即為爆轟波波陣面的壓力，可得到耦合裝藥時孔壁壓力的計算方程組，其與文獻[11]中推導的耦合裝藥時巖體中爆炸沖擊波參數的計算公式一致。

文獻[18]利用彈性波動理論得出了耦合裝藥時透射波初始壓力的計算公式為

(32)

將文獻[8]中的巖石與炸藥參數代入式(32)計算得耦合裝藥時的孔壁壓力為3.52 GPa，與實驗值和模擬值相差較大。方程組計算的耦合裝藥時的孔壁壓力為8.14 GPa，與實驗值誤差僅為4.5%，遠小于模擬值和式(32)計算值較實驗值的誤差。

筆者在求解薄層內側壓力時，假設爆生氣體內壓力均勻分布，這樣會導致當不耦合系數較小時，計算的空氣沖擊波對孔壁的入射壓力值偏大，從而使孔壁壓力計算值偏大。其原因是當不耦合系數較小時，炮孔內孔隙較小，爆生氣體的膨脹空間有限，將爆生氣體內壓力做均壓處理會使計算的入射沖擊波壓力增大，導致計算的孔壁壓力值偏大。

5 結論

1)空氣不耦合裝藥時，爆轟擾動形成的空氣沖擊波在炮孔內的空氣層中傳播時，波陣面的速度、壓力和質點移動速度會隨距離的增加呈指數型衰減。

2)空氣不耦合裝藥時孔壁初始沖擊壓力會隨裝藥不耦合系數的增大先迅速減小后趨于穩定值。

3)與經驗公式計算值和模擬值相比，本文推導方程組的計算值較實驗值誤差更小。如果將爆生氣體的膨脹作一階段等熵膨脹考慮時，該方程組也能較好的計算耦合裝藥時的孔壁壓力。