經濟學中的數學模型應用及問題分析思考

劉悅彤 昌平第一中學

序言：經濟學與數學是相輔相成的。數學是經濟學的基礎，可以說沒有數學就沒有精確計量的經濟學。經濟學是數學在生活中應用的一個分支。實際上，數學對人類生活的作用是間接的，它通過和其他學科的融合對人類起指導作用。數學對推動經濟學學科的發展具有關鍵的作用，經濟學中很多模型都依賴于數學的推導。經濟學中的許多理念都是由數學確立起來的，相關人員以數學語言來建構經濟學的概念，使得經濟學的相關概念具有了數學特征。

經濟學中，大量的概念通過數學來定義，并且用到了函數、微積分等數學概念。人們可以利用數學這一不可或缺的工具將一些復雜的問題簡單化，可以快速、高效地解決經濟領域的問題[1]。本文的第二部分探討經濟學與數學的聯系；第三部分從微觀與宏觀經濟學視角闡述三個經濟學中的數學模型。

一、經濟學與數學

（一）數學讓經濟學更長遠有利的發展

數學是一門基礎學科，它研究的是數量、結構、變化、空間以及信息的一門學科[2]。它蘊含在生活中，生活的方方面面都離不開數學，它始終貫穿于人類社會的生產生活中，有著不可或缺的地位。數學是一個必不可少的基本工具，指導我們更好的發現問題，解決問題。給問題帶來了一個理論化的解釋，并可以加以推廣，解決同類問題，也可以上升到一個更廣泛的概念或者是數學思維，這會給我們的經濟生活帶來一種質的飛躍。以數學為基礎的物理化學等學科，讓人類社會爆發了工業革命等技術革命，使人類在近二百年的發展成果遠超人類歷史發展的總和。以數學為基礎的經濟學，讓商業、金融、借貸、貨幣等傳統上不知其所以然的概念有了新的詮釋，使人類認識到了經濟學的力量。而不是避而不談，甚至蔑視不懈。所以，數學是經濟學的基礎，沒有數學，就沒有今天的經濟學。

（二）經濟學讓數學有了生活中的實際意義

經濟是價值的創造、轉化與實現，生產是基礎，消費是最終結果[3]。亞當·斯密提出過經濟人假設，從個人來說，會出現追求物質利益的現象。從社會層面來說，社會同樣也為了追求社會利益，包括資源的合理配置，不同層面都會出現利益問題，那么在這些利益背后就是一個個數學問題。數學上的博弈論和納什均衡等等應用于經濟生活，使得數學學科生動形象。

二、經濟學中的數學模型分析

經濟學中的數學問題本質上是函數問題：函數是一種對應法則。它就是將經濟問題更數字化的變為數學問題。當然，不僅可以通過數學函數來運算，也可以轉化為圖像問題，圖像可以更清晰明了的幫助我們發現經濟的規律或者最值等問題，反映更多的經濟原理，圖像的走勢也可以來判斷經濟的發展趨勢。

（一）帕累托原理

帕累托原理是經濟學中常見的模型之一，探討關于經濟效率和收入分配的問題；納什均衡理論奠定了現代主流博弈理論和經濟理論的根本基礎；凱恩斯宏觀經濟理論奠定了宏觀經濟學在經濟學領域的主導地位。本文選擇這三個經典的經濟學原理，從微觀到宏觀，探討經濟學原理的數學模型的應用及對這些問題的分析思考。

在經濟學中，對于某個經濟分配結果，如果我們已無法使某些個體的狀況變得更好的同時、而又不損害其他個體的利益，那么這個經濟結果是帕累托最優的。如果沒有達到帕累托最優，那么就存在一種新的分配方式，使得這種改進方式從經濟學角度上，不會遭到任何人的反對，因為所有人的個人利益并沒有受損。帕累托最優就像分蛋糕，當蛋糕并沒有變大而且已經分完時，任何其他切分方式，不可能使得一些人的蛋糕變大，而其他人還不會變小。帕累托最優是“不可能再增加特定人群的利益，而不損害其他人的利益”的一個平衡點[4]。帕累托原理是經濟學中常常用到的一個模型。在經濟學、工程學和社會科學中有著廣泛的應用。

因為經濟的不確定性，所以用數學中的不等式來比較最優方法去取得最大利益。在數學上，我們假設一個可能的分配集合X中選擇一個分配x∈X，使得社會中n個參與人的效用向量u(x)=(u1(x)，u2(x)，…，un(x) )是帕累托最優。那么，令∑iaiui(x)為各參與人在權重向量α=(α1，α2，…，αn)下的效用加權，該加權可視為一個簡單的社會福利函數。也就是說，追求的是∑iaiui(x)的最大值，同時還要保證每個人的效用向量ui(x)并不會變小。

如果分配x0∈X可以最大程度上增大某個嚴格權重(α＞0)下參與人的效用加權，那么x0就是帕累托有效的。反過來，在一定條件下，每一個帕累托最優的分配都最大程度上增大社會參與人在某個權重下的加權效用，這種結果可以理解為對帕累托邊界的一種描述。

將效用向量加權后的值作為數學中的因變量，那么帕累托最優解就是使用數學方法，找出一組自變量x，使得因變量的值最大。這樣的分配方式，使得整體效益最高。

運用帕累托改進能夠解放社會發展的束縛，優化生產分配結構，使全社會的總體效益增加。比如，在公辦醫院之外運行私營醫院的開辦，這樣既保證了全民依然可以享受低價醫療等普惠性政策，又允許高收入者可以自由選擇服務更好的私營醫院，和收費高一些的專家掛號。再比如，當前某些教育資源匱乏的地區，引進名校的課堂錄播視頻等，通過互聯網遠程享受名校名師的優良教育，這對名校的教育資源沒有損害，但是又同時提高了偏遠地區的教育資源水平。這些就是帕累托改進，沒有損害任何人的現實利益，但是改善了其他人群的狀況。

（二）納什均衡

納什均衡是一種策略的組合方式，這個組合方式體現的是一種重要的思維邏輯，它是數學范疇下的博弈論的靈魂，融入到了生活中的方方面面。

納什均衡中有一個典型的例子。如果有兩個盜賊甲乙共同犯罪，被警察抓住，將他們兩個分開審問，雙方都可以選擇招供或者抗拒。

圖3-1 囚徒困境

如圖3-1所示，甲有兩種選擇，乙也有兩種選擇，他們雙方的選擇組合起來，就會有不同的結果。如果甲招供，乙也招供，他們坦白從寬，雙方會被判刑四年（圖中(-4，-4)所示；前者表示甲判刑四年，后者表示乙被判刑四年，下同）。如果甲不招供乙也選擇抗拒，警察沒有完全的證據，甲乙二人就會獲得較輕的刑罰一年。如果甲乙中有一人招供，而另外一人不承認罪行，那么不招供的那個人會被判刑5年，而招供的人不會被判刑。從甲乙雙方的立場上，他們都希望自己被輕罪處罰甚至無罪釋放，所以雙方都抵賴是對他倆整體而言最好的結果。

甲乙分開審問，互相不知道對方的供詞。如果自己抵抗而對方承認，那么自己面臨最嚴重的刑罰被判刑5年。比如從甲的角度考慮，甲若招供，甲在乙抗拒的情況下被無罪釋放，或者在乙招供的情況判刑四年。但如果甲不招供，甲在乙抗拒的情況下被判一年，或者在乙招供的情況下判刑五年。綜合來看，不管乙如何選擇，甲選擇坦白，都是對甲最有利的方式。同理，乙也是面臨同樣的狀況。那么在沒有互信的情況下，甲乙兩個人從自己利益出發，都選擇坦白，那么他們各被判刑四年。但是實際上，兩個人若都選擇抵抗，則僅被判刑一年，這個比兩個人均獲刑四年更有利。

在沒有商量沒有互信時，兩個人做出了均獲刑四年的選擇，而不是均獲刑一年。這恰恰和他們想減輕懲罰的初衷背道而馳。所以，這個數學模型，在經濟學上又稱作囚徒困境。

這個例子也告訴我們在納什均衡中，絕對理性人從自身利益出發，選擇對自己有利的一種選擇，但是可能并不是最優解。從長遠來看，從社會整體來看，個人的最佳選擇不一定對社會總體帶來最佳結果。

為了避免陷入囚徒困境，只需要甲乙兩個人事先溝通，增加對彼此的充分信任，設置違背承諾的處罰等，將均衡博弈引入良性方面。在經濟生活中為了達到更加有利的均衡點，可以通過宏觀調控、政策引導、政府監督等，將市場中的不確定性帶來的損失減小，從而帶來更多的利益，免于陷入囚徒困境。這是數學的博弈論模型給經濟生活帶來的解決方法。

（三）凱恩斯理論

著名經濟學家凱恩斯，曾經提出宏觀經濟學理論。該理論的主要方面是研究一個國家或地區的宏觀經濟總量之間的關系。因為宏觀經濟理論常常被用來指導政府針對有關就業、國民收入問題做出相應的政策，因此也被稱就業理論或收入理論。這一經濟學理論可以簡要地用兩個數學等式來闡述：

國民收入恒等式：

消費函數：

其中，Y表示收入，C表示消費，I表示私人投資，G表示政府支出，參數α表示維持生存的最低消費，參數β表示邊際消費傾向。若我們用國民收入恒等式減去消費函數，整理后求偏導，可以得到政府支出的乘數效應（GDP的數目和政府增加公共開支數目的倍數關系）：

凱恩斯理論的基本思想可以用上述兩個或三個數學等式來表述。

從凱恩斯理論可以得出，如果財富過分集中在少數人手中，就會降低社會消費傾向，不利于國家的經濟發展。為了促進消費，結合我國國情及經濟活動的狀態，我國采用適當提高累進個人所得稅的起征點，努力減少中低收入人群的個人所得稅，從而提高居民可支配收入，提高了全民的消費意識，有利于經濟的發展。由此看來，凱恩斯理論的應用對中國有良好的影響。

三、結語

數學能夠既精確又簡潔地刻畫經濟理論中最重要的本質。經濟學研究的是整個社會層面的現象，著重于提高社會整體效率，改善全人類的生活水平。運用經濟學的規律，可以更好的達到人類命運共同體的美好前景。這一切使得數學不是抽象的哲學，而是實實在在從生活中來到生活中去的學科。

本文通過簡單分析帕累托最優模型、凱恩斯理論模型、納什均衡模型，指出了數學模型在經濟學中的重要作用。當然，也不能陷入對數學盲目崇拜的困境，否則會形成數學化傾向，經濟學也將最終失去其寬厚的社會基礎[5]。