孔洞排布對PMMA 多孔材料沖擊響應行為的影響

羅國強，費細歡，喻 寅，張睿智，張成成，沈 強

（1. 武漢理工大學材料復合新技術國家重點實驗室，湖北 武漢 430070；2. 中國工程物理研究院流體物理研究所沖擊波物理與爆轟物理重點實驗室，四川 綿陽 621999）

多孔材料具有比強度高、比剛度高、質量輕、吸收載荷能力強等優點，廣泛應用于緩沖減震、沖擊防護、加載路徑調控等領域[1-3]。在這些應用場景中，多孔材料受到沖擊加載作用，孔洞的破碎機制和壓縮模式與準靜態加載下不同，且孔隙內部氣相吸附出現滯后等現象[4-5]，導致材料整體系統發生復雜的體積收縮變化，處于非平衡狀態。這一過程的沖擊響應行為相關實驗、模擬和結果分析均具有較強的挑戰性[6]。探究多孔材料在沖擊加載中的響應特征，不僅可以完善多孔材料在沖擊領域的應用理論體系，還可以為多孔材料在沖擊載荷環境下的實際應用提供重要的指導。

關于孔洞微觀結構對多孔材料動態沖擊響應影響的研究有很多。在實驗方面，Setchell[7]通過動態沖擊實驗發現，隨機排列的微孔洞使脆性材料中的沖擊波剖面展現出相比密實材料體積應變顯著增強的“變形波”；Branch 等[8-9]利用增材制造方法，研究了不同結構的多孔泡沫材料在動態壓縮下的力學響應特征，結果表明體心立方和面心立方等周期性排列的多孔泡沫材料可以調節彈塑性壓縮響應和應力集中行為。在數值模擬方面，Liu 等[10]采用顯式動態有限元方法進行模擬，發現在動態加載過程中蜂窩結構從整齊排列到交錯排列的變化會導致蜂窩平面更均勻的變形和穩定的平臺應力；Zheng 等[11]采用ABAQUS/Explicit 軟件分析發現，蜂窩排列的不規則性導致多孔材料的變形更復雜，且模擬結果表明這是由無序排列引起多孔材料在沖擊過程中各向異性變形導致的；Zhao 等[12]采用分子動力學模擬研究了孔洞形狀、排列、大小等因素對納米銅復合材料沖擊響應的影響，其中孔洞的排列對材料的彈塑性、孔洞塌縮等起調節作用；Herring 等[13]通過分子動力學研究了孔洞排列、形狀等二維微觀孔隙結構對多孔晶體沖擊響應的影響，發現引起的爆轟壓縮波變化與材料性質有關，與孔洞的排列方式以及形狀等因素無關；姜太龍等[14]通過離散元模擬發現，隨機排列的脆性多孔材料具有明顯高于脆性致密材料的沖擊塑性，而具有正六邊形排列的多孔結構進一步提高了脆性材料的沖擊塑性。以上報道的實驗和計算模擬結果表明，孔洞的微觀排列方式是影響多孔材料沖擊響應行為的重要因素，但大部分研究人員更多是綜合研究多孔材料的孔隙形狀、排列等微觀結構對多孔材料沖擊響應的共同作用，很少分解研究孔洞排列因素對多孔材料沖擊響應的影響。

在緩沖吸能、路徑調控等動態加載領域中，如準等熵加載技術研究中，需要由高、中、低不同阻抗的多種材料疊層組合形成阻抗梯度飛片材料[15-16]，其低阻抗部分多采用高分子多孔材料。PMMA 多孔材料因其質輕、力學性能優異且制備技術簡易[17]，在準等熵加載技術中具有較好的應用前景。本工作以PMMA 多孔材料為研究對象，通過格點-彈簧模型，探究不同孔洞排列方式對PMMA 多孔材料沖擊響應行為的影響，分析不同排列模型的孔洞在動態沖擊加載過程中的介觀變形、應力變化以及剖面粒子速度變化特征，模擬結果可為后續通過增材制造等方式制備孔洞規則排布的PMMA 多孔材料，并主動調控其動態響應提供科學支撐。

1 方法與模型

采用由中國工程物理研究院流體物理研究所自主編寫的格點-彈簧模型(Lattice-spring model)[18-19]。該方法與物質點法、近場動力學以及格子模型等相似，主要解決大變形、裂紋、復雜界面等[20-21]問題，現已在脆性介質斷裂研究中發揮了重要作用。其算法原理：將連續介質離散分化為由格點/顆粒和彈簧相互連接的網絡，通過計算格點與彈簧之間的演化過程和響應特征來獲得連續介質整體系統的演化機制與規律。格點攜帶材料中物質微元的質量、位置、速度等信息，彈簧在兩格點之間施加相互作用，并存儲應變能和損傷斷裂信息。圖1 顯示了兩顆粒之間的相互作用模型，鄰近顆粒i和j之間分別設定沿法向和切向的彈簧。兩顆粒中心連接的法向彈簧主要起著抵抗拉伸和壓縮的作用，剛度系數為kn；垂直兩顆粒中心線且作用于顆粒接觸邊緣的切向彈簧主要起著抵抗剪切和轉動的作用，剛度系數為kτ。法向和切向作用力表示為

圖1 相鄰兩顆粒間的相互作用示意圖Fig. 1 Schematic of the interaction between adjacent

計算模型中的核心問題是準確地設定彈簧的剛度系數。Gusev[22]提出了一種有限元-離散元參數映射方法，其基本思想是：先將目標材料的彈性常數轉換為有限元模型中的相互作用參數，再進行映射，將有限元模型參數轉換為彈簧剛度系數。Gusev 驗證了模擬不同周期性復合介質格點-彈簧模型的準確性。Yu 等[23]對比了通過格點-彈簧模型設定的孔洞模型的損傷演化結果與回收實驗材料的微觀形貌，進一步驗證了格點-彈簧模型的準確性。

在本計算模型中，統一采用了Griffith 能量平衡原理的斷裂判據[24]，即模型中相鄰格點微元之間存在一根法向拉壓彈簧和一根切向剪切彈簧。一對彈簧中儲存的總應變能是法向彈簧中儲存的拉伸應變能與切向彈簧中儲存的剪切應變能之和；當彈簧的總應變能等于或大于形成新微裂紋表面所對應的表面能時，即發生斷裂。一般認為，靜水壓壓縮不會導致斷裂，故模型中沒有計入法向彈簧儲存的壓縮應變能對斷裂的影響。具體而言，計算模型的斷裂判據如下

式中：Uij為一對彈簧中儲存的總應變能，Uin j和Uiτj分別為法向和切向應變能，c0為兩格點間微裂紋的長度， γ為斷裂表面能。當彈簧滿足以上條件時發生斷裂，兩個格點之間原本存在的相互作用力（抗拉伸和抗剪切作用力）消失，在目標樣品中形成一小段裂紋；而在靠近裂紋兩側的格點仍存在其他相互作用，其周圍區域應力分布不均勻，當某一時刻或某一區域產生應力集中時，就有可能導致下一對彈簧的斷裂，如此演化，彈簧斷裂判據依次進行。

本研究所建立的基于格點-彈簧模型的沖擊壓縮構型如圖2 所示：左端紅色部分代表銅（Cu）沖擊加載平板，選擇銅材料的原因在于相同的沖擊條件下銅沖擊平板所攜帶的能量高，獲得的沖擊響應信號更顯著；沖擊平板以恒定速度vp沿x軸正方向沖擊目標樣品，如黃色箭頭所示，使得沖擊波在目標樣品中自左向右傳播；中間藍色部分表示目標樣品，即PMMA 多孔材料，白色圓形部分表示孔洞；右端灰色部分為氟化鋰（LiF）窗口，用于防止沖擊波在目標樣品后界面突然卸載而無法獲得正常信號；模型上、下邊界都設定為周期性邊界條件。在本研究中，將x軸稱為橫向，y軸稱為縱向。

圖2 基于格點-彈簧模型的沖擊壓縮構型Fig. 2 Configuration of the shock compression model based on the lattice-spring model

基于準等熵加載技術研究背景，本研究設計的孔洞模型及其參數如下：整體模型大小設定為600 μm ×300 μm，Cu、PMMA 多孔材料和LiF 窗口材料的厚度（ δ）均為200 μm，單元格點半徑為1 μm，計算單元格點數為413 816。設計孔洞排列模型的孔隙率（ Φ）均控制在10%，孔洞半徑R設定為10 μm，整體模型所包含的計算單元格點數為396 735。材料的相關參數及斷裂表面能（ γ）[25]如表1 所示，其中： ρ為密度；E為楊氏模量； μ為泊松比；PMMA 的斷裂表面能 γ沒有采用準靜態下的實驗參數，而是先基于密實PMMA 的沖擊加載實驗結果反推高應變率條件下PMMA 的斷裂參數，然后將其應用于本研究中的PMMA 多孔材料計算。計算中，孔洞直接作為微結構加入，無孔洞的地方仍為密實PMMA。根據低速下準等熵加載技術研究的需要，結合本程序的實際計算能力，平板沖擊加載速度設定為vp= 100 m/s。

表1 模型各部分材料的物性參數Table 1 Specific physical parameters of each part of the model

如前所述，大部分研究人員都在關注多孔材料的孔隙形狀、排列等微觀結構對多孔材料沖擊響應的綜合作用[8-14]，很少關注孔洞排列單一因素對多孔材料沖擊響應的影響。為了研究孔洞排列對PMMA 多孔材料沖擊響應的影響，設計了隨機排列（Random lattice）、四角點陣（Square lattice）、三角點陣（Triangular lattice）以及錐形的遞減排列（Decreasing lattice）和遞增排列（Increasing lattice），如圖3 所示。

圖3 多孔材料的孔洞排列模型Fig. 3 Arrangement modes of voids of the cellular materials

2 結果與分析

2.1 孔洞裂紋擴展

圖4 展示了5 種孔洞排列模型PMMA 多孔材料在早期單次沖擊加載時孔洞裂紋的擴展過程，為了觀察孔洞的裂紋擴展演化，每種排列模型的記錄時刻為50、100、130、180 ns。當沖擊波傳播50 ns 時，靠近沖擊端孔洞體積收縮，孔洞外壁開始破碎，縱向區域萌發裂紋。100 ns 時，靠近沖擊端孔洞已經開始被破碎顆粒填充，裂紋已經擴展并沿45°傾角方向延伸。130 ns 時，各個模型的沖擊波正好傳播至PMMA 多孔材料與LiF 窗口界面位置，即沖擊波已通過整個孔洞區域，說明孔洞排列方式不影響沖擊波的傳播速度；另外，也可以觀察到沖擊波傳播完整個孔洞區域時，所有孔洞未發生完全塌縮變形，見130 ns 時各個模型中孔洞的形貌。當沖擊加載至180 ns 時，孔洞塌縮程度開始呈現不同的現象。隨機排列和三角點陣模型中，孔洞附近區域均已萌發裂紋，并產生破碎顆粒；在四角點陣模型中，雖然孔洞附近區域已經萌發裂紋，但有一列孔洞并未展開裂紋，孔洞外壁沒有被完全壓縮破壞，如圖4（b）中180 ns時刻裂紋擴展的虛線框所示；同樣，在遞減、遞增排列模型中部分孔洞外壁未被壓縮損傷，沒有產生破碎顆粒，與喻寅等[26]的研究結論相似，規則排列中孔洞與孔洞之間的損傷區域可以產生應力屏蔽響應，使得一定范圍內孔洞附近區域的損傷破壞受到抑制。由此可見，四角點陣、遞增排列和遞減排列方式的孔洞結構能夠有效減緩PMMA 多孔材料內部孔洞區域的應力集中和孔洞塌縮變形速率，其中四角點陣方式的孔洞結構影響效果最顯著。

從圖4 中也可以觀察到，每種排列模型的孔洞縱向附近區域優先出現裂紋，這是因為沖擊波接觸孔洞界面時反射稀疏波[27]，稀疏波主要作用于孔洞橫向附近區域，從而降低橫向區域的壓應力，導致孔洞縱向附近區域應力集中并產生裂紋。從理論公式上也可以分析出，孔洞附近區域出現應力集中現象，容易導致材料被壓縮破壞。然而在沖擊加載過程中應力集中并不是導致孔洞周圍區域塌縮破壞的直接原因，通常還與材料的剪應力有關。二維平面內的最大分解剪應力定義為[23]

式中： σ1和 σ2為材料主應力。在理想的平面沖擊狀態下，目標樣品處于一維應變狀態，而且沿x軸和y軸的正應力 σx、 σy分別對應材料主應力 σ1和 σ2。最大分解剪應力 τmax的方向與x軸的夾角約為45°?？梢杂^察到，孔洞附近區域應力偏離一維應變狀態，主應力方向會偏離x軸和y軸，因此需要根據 σx、σy計算出兩個主應力[28]，即

圖4 不同時刻下5 種孔洞排列模型的裂紋擴展Fig. 4 Crack growth patterns of five arrangement models of voids at various times

從圖5(a)中的孔洞附近區域可以看到，遠離孔洞區域的剪應力很小，且沿著遠離孔洞區域擴展，孔洞附近區域容易產生剪應力集中，導致該區域的彈簧先達到斷裂判據要求，剪切裂紋從孔洞縱向區域向遠離孔洞內部擴展。由2.2 節中各個模型的應力分布可知，部分孔洞周圍區域應力達到300 MPa，而在圖4 對應的部分孔洞裂紋擴展圖中并沒有出現裂紋。這是因為單軸壓縮下PMMA 材料處于壓剪復合狀態，且靜水壓力較低而剪切應力分量較大，此刻PMMA 材料發生斷裂不是因為靜水壓力，而是因為剪切應力達到了閾值。在本計算的沖擊加載條件下，PMMA 多孔材料處于一維應變狀態，該狀態下靜水壓力高，而剪切應力分量小，導致部分孔洞周圍區域應力雖然達到300 MPa，但其對應的剪切應力分量（即切向彈簧中的剪切應變能）并未達到斷裂閾值，因此PMMA 多孔材料中有部分孔洞并未出現裂紋。

隨著沖擊波的傳播，裂紋逐漸向遠離孔洞內部方向擴展，形成剪切裂紋，孔洞周圍區域受到剪切破壞；且相鄰孔洞之間的裂紋相互貫通，加快了孔洞的塌縮變形，破碎顆粒逐漸填滿孔洞內部而達到材料密實化，如圖5(b)所示。

圖5 孔洞附近區域剪切裂紋(a)和顆粒破碎填充孔洞示意圖(b)Fig. 5 Shear cracks in the area around the void (a) and schematic of particle-fragmentation-filled void (b)

2.2 孔洞附近區域的應力分布云圖

圖6 記錄了5 種孔洞排列模型中孔洞附近區域早期被壓縮損傷時沿沖擊波方向（橫向）的應力分布變化，即沿x軸的正應力 σx的分布?？锥粗車m然存在應力集中和應力松弛區域，但是都在沖擊波平均應力幅值上下浮動，沖擊波應力很高，本研究將平均沖擊應力幅值設為正值。在50 和100 ns 時刻，沖擊波在PMMA 多孔材料內傳播，可以清楚地觀察到當沖擊波掃過孔洞時，每種模型中孔洞周圍的應力分布不均勻，橫、縱向區域應力變化顯著，即孔洞橫向區域應力低，縱向區域應力高，且應力集中于孔洞縱向區域。這是因為PMMA 多孔材料在橫向受到動態沖擊加載時，沖擊波沿著PMMA 多孔材料橫向傳播，當沖擊波傳播到孔洞自由面時，會反射稀疏波，根據動量守恒定律，稀疏波起卸載作用，導致碰撞瞬間橫向自由面區域應力迅速下降[27]。這也解釋了前面所述的裂紋萌發于孔洞縱向區域的現象。130 ns時刻，可以觀察到四角點陣模型中同一層孔洞的橫向區域是低應力區域且相互連通，降低了PMMA 多孔材料與窗口界面處應力，影響了沖擊波陣面的平整性。同樣，在該時刻，三角點陣、遞減排列、遞增排列模型中，靠近PMMA 多孔材料與窗口界面處的孔洞引起波陣面不平整，導致界面處應力不均勻且得到降低效果，影響了PMMA 多孔材料與窗口界面處粒子速度的大小。待到沖擊加載經歷180 ns 后，根據波阻抗匹配原理，當沖擊波從低阻抗材料傳播到高阻抗材料界面時，會反射比原沖擊波速度更快的壓縮波[27]，LiF 窗口材料的波阻抗遠大于PMMA 的波阻抗，因此界面處會反射壓縮波，當壓縮波在PMMA 多孔材料中傳播時，PMMA 多孔材料右端孔洞周圍應力迅速升高，進一步加快孔洞的壓縮破壞。

圖6 不同時刻5 種孔洞排列模型的應力分布云圖Fig. 6 Stress distributions of five arrangement models of voids at various times

2.3 粒子速度剖面

圖7 顯示了5 種孔洞排列模型在目標樣品與窗口界面處的宏觀粒子速度剖面。從圖7 中可以觀察到，每種排列方式的PMMA 多孔材料被完全壓縮破壞后，其粒子速度曲線均存在多個速度平臺，依次標記為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ，曲線整體呈階梯式上升趨勢。當沖擊波第1 次掃完孔洞并傳播到PMMA 多孔材料與窗口界面時，因LiF 窗口的阻抗高于PMMA 的阻抗，將反射壓縮波，使得該界面處粒子速度上升，同時因孔洞塌縮變形降低粒子速度導致第Ⅰ平臺的形成。同理，隨著沖擊時間的增加，對應的第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ平臺都是由多種波系與孔洞結構相互作用形成，直到第Ⅴ平臺時，孔洞完全塌縮，孔洞內部被破碎顆粒填充密實化達到Hugoniot 狀態。雖然每種排列模型的粒子速度曲線趨勢相同，但是對應每個階段的平臺速度大小卻存在差異，且從第Ⅱ平臺開始，差異更顯著，尤其是隨機排列模型，其對應的粒子速度曲線都是最低的。同時不難發現，四角點陣模型對應的粒子速度曲線的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ平臺左端有凸起，即每當多種波系作用于PMMA 多孔材料與窗口界面時，粒子速度較快地升高而后降低形成平臺。如前所述，這是因為規則的四角點陣排列結構左右兩端孔洞受到損傷時產生的應力場區域可延緩中間孔洞損傷，進一步延緩孔洞的塌縮變形，導致多種波系作用于界面時延緩粒子速度的降低。

從PMMA 多孔材料孔洞密實化到Hugoniot狀態，可以看出，孔洞排布方式不同導致粒子速度各不相同，記錄第Ⅴ平臺的平均粒子速度并列于表2。從對應狀態的應力云圖中讀取PMMA 多孔材料與窗口界面附近區域的平均應力，也記錄在表2 中。從圖7可以看到，引起第Ⅰ平臺升起時刻相同，即沖擊波掃完各個孔洞排列模型中的孔洞后到達PMMA 多孔材料與窗口界面位置的時間相同，表明孔洞排布結構不影響沖擊波傳播速度，但影響粒子速度。同時，PMMA 多孔材料的體積收縮，密度改變，也影響波陣面后壓力。由表2 中的數據可知，孔洞排列方式對PMMA 多孔材料的粒子速度剖面和波陣面后壓力的影響程度各不相同，其中孔洞的隨機排列模型對降低粒子速度最有效，四角點陣排列模型對降低波陣面后壓力貢獻最大。因為當沖擊波經過四角點陣孔洞區域后，每層4 個孔洞均處于壓縮狀態，對于內側的兩列孔洞而言，左右兩側都受到其他孔洞的應力屏蔽影響，而對于外側兩列孔洞，左右兩側中有一側受其他孔洞的應力屏蔽影響，另一側承受密實材料區域的壓縮，因此在早期孔洞損傷過程中，四角點陣中外側兩列孔洞附近區域出現相對嚴重的損傷裂紋，且隨著時間的推移，外側孔洞附近出現較嚴重的橫向拉伸和剪切破壞而形成低應力區，對內側兩列孔洞起到明顯的損傷屏蔽作用，從而達到降低波陣面后壓力的作用[26]。這說明通過孔洞排布設計，可以改變PMMA 多孔材料的沖擊響應行為。

圖7 5 種孔洞排列模型的粒子速度剖面Fig. 7 Particle velocity profiles of voids for five arrangement modes

表2 5 種孔洞排列模型中的粒子速度與波陣面后應力Table 2 Particle velocities and stresses in the five arrangements modes of void

3 結 論

采用格點-彈簧模型，分析了5 種孔洞排列方式下PMMA 多孔材料的介觀裂紋擴展與非彈性變形、應力變化特征以及宏觀粒子速度剖面曲線，得到以下結論。

（1）孔洞破壞形式以剪切斷裂為主；四角點陣排列模型能有效減緩孔洞附近區域的應力集中和孔洞非彈性變形；在每種排列模型中均觀察到了孔洞與孔洞之間的擴展裂紋相互貫通，促進材料的密實化。

（2）在各種排列模型中孔洞側向（垂直于沖擊方向）區域應力較低，縱向（沿沖擊方向）區域應力較高，裂紋萌發于孔洞縱向區域；四角點陣模型中同一層孔洞的側向區域是相互連通的低應力區，降低了界面處應力；四角點陣、三角點陣、遞減排列、遞增排列模型都顯著影響沖擊波陣面的平整性。

（3）孔洞排列方式不影響沖擊波的傳播速度（傳播速度由總的孔隙率決定），但影響粒子速度剖面和波陣面后壓力；孔洞的隨機排列模型對降低粒子速度最有效，四角點陣排列模型對降低波陣面后壓力貢獻最大。