矩形面積的特殊求法

朱亞邦

求矩形面積，除了常規方法，還可以根據不同問題的特征，采取特殊的方法.現介紹幾種特殊方法，

一、由比例求面積

側1如圖1，在矩形ABCD中，EF，GH分矩形為四個面積不等的矩形，其中三個矩形的面積如圖中所示，求S矩形EHM.

分析：矩形ABCD中的四個小矩形里，有些有公共邊，它們的面積之比等于另兩邊的比.

解：設S矩形EBHM=x，則得S矩形GMFD/S矩形MHCF=S矩形AEMG/S矩形EBHM，故15/30=20/x.解得x=40，即S矩形EBHM=40.

二、由等積變換求面積

例2如圖2，已知正方形ABCD的邊長為5.矩形PDMN的邊MN經過點A，且點P在邊BC上，求S矩形PDMN.

解：連接AP，如圖3.在正方形ABCD中，可知S△APD=1/2S正方形ABCD.

在矩形PDMN中，可知S△APD=1/2S矩形PDMN.

∴S矩形PDMN=S正方形ABCD=52=25.

三、由對稱性求面積

例3如圖4，正方形ABCD中，P為對角線AC上一點.HF過點P且HF⊥AD，EG過點P且EG⊥AB.已知AF=3，CF=4，試求矩形BFPE的面積.

分析：由已知條件可求得S矩形DGPH，又矩形DGPH和矩形BFPE關于AC對稱，面積相等，故S矩形BFPE=S矩DGPH=3x4=12.

也可由△APE，△PCF都是等腰直角三角形，知PE=3，PF=4，得面積為12.

四、由折疊求面積

例4如圖5，把矩形ABCD沿EF折疊，點B恰好落在邊AD上的點B1處，若AE=2，DE=6，∠1=60°，求S矩形ABCD.

解：由折疊性質可知A1E=AE=2.由∠1=60°，可知∠3=∠2=∠4=60°.

因∠A1B1F=90°，故∠5=30°，則B1E=4.

在Rt△A1B1E中，可得

A1B1=√B1E2-A1E2=√42-22=2√3=AB.

而AD=2+6=8，所以S矩形ABCD=AB·AD=2√3×8=16√3.

五、由等底等高求面積

例5已知矩形ABCD和矩形BEFG的位置如圖6所示，點G，B，C共線.BC=2AB，EF=2BE，S△ACF=9.S矩形ABCD.

解：如圖7，連接BF.由EF⊥A8可得：S△ABF=1/2EF·AB.

由已知可得S△BCF=1/2BC·BE.

∵BC=2AB ，EF=2BE，

∴S△ABF=BE·AB，S△BCF=AB·BE，S△ABF=S△BCF

①

設CF交AB于H，由①可得S△AFH=S△BCH.

∴S△ACF=S△ABC=1/2S矩形ABCD，S矩形ABCD=2S△ACF=18.

數學奇景

√459756