一種改進的水準網條件平差算法

張廣興

(河北省地礦局第八地質大隊測繪處, 河北 秦皇島 066000)

0 引言

在高程控制測量中水準網平差至關重要,通常使用條件平差和間接平差[1-3]。間接平差利用未知參數消除觀測值之間的不符值,通過自由極值求解未知參數的最或是值,達到平差的目的。間接平差參數設定簡單,誤差方程在建立過程中唯一,但未知參數個數的選定要求高,一旦選定不合適就會產生較大誤差[4-10]。

條件平差是一種經典的平差方法,19世紀到20世紀之間發展的已經相對成熟。條件平差是將全部觀測值的平差值作為未知數,利用多余觀測數列方程,通過求條件極值求解改正數,進行平差。條件平差方程式直觀簡單,計算過程規律性強,但由于水準網形多種多樣,導致條件平差方程不唯一[11]。自20世紀50年代開始,隨著計算機的不斷發展,條件平差方法也得到了很大程度的發展,研究成果相當普遍,但是由于水準網形復雜多樣,條件平差方程列立不唯一,改正數的解存在多樣性,在使用計算機進行處理時非常困難,由此本文提出了一種利用傳遞矩陣建立條件平差的算法。

1 利用傳遞矩陣建立條件方程

1.1 傳遞數矩陣的建立

假設某一水準網中水準路線數為n,水準點的個數為m,則該水準網的傳遞數矩陣T為:

(1)

式(1)中水準路線取值為1,2,…,n,水準點從待定點開始編號,全部編號結束后緊接著對已知點編號,直到m結束。

1.2 傳遞數矩陣的運算規則

通過選取的水準路線的起點和終點是否已知、未知水準點的近似高程是否已經計算,計算傳遞數矩陣[12],運算規則為:

(1)若水準路線j的起始水準點i已知,終點水準點k未知,且該點近似高程未知,則有:

T(k,j)=1,且T(k)其余分量值為0,式中,T(k)為第k號水準點的傳遞向量。

(2)若水準路線j的起始水準點i未知,且該點近似高程未知,終點水準點k已知,則有:

T(i,j)=-1,且T(i)其余分量值為0。

(3)若水準路線j的起始水準點i未知,且該點近似高程已知,終點水準點k未知,且該點近似高程未知,則T(k)由兩部分組成,一部分為該水準路線對終點的影響:

T(k,j)=1,且T(k)其余分量值為0。

另一部分為起點傳遞數向量傳遞給終點的,為:

T(k)=T(k)+T(i)

(2)

(4)若水準路線j的起始水準點i未知,且該點近似高程未知,終點水準點k未知,且該點近似高程未知,則T(k)由兩部分組成,一部分為該水準路線對起點的影響:

T(i,j)=-1,且T(i)其余分量值為0。

另一部分為終點傳遞數向量傳遞給起點的,為:

T(i)=T(i)+T(k)

2.3 利用傳遞數矩陣的條件平差系數矩陣的建立

選取必要觀測數t條水準路線計算待定點的近似高程,則多余觀測數r為水準路線的總數n與必要觀測水準路線數t的差值,利用r條水準路線建立條件方程。

假設系數矩陣A為:

(3)

假設A(s)為第s個條件方程的系數構成的行向量,若第j條水準路線未用于計算待定點的近似高程,起始水準點點號為i,終點水準點點號為k,則A(s)為:

A(s)=T(i)-T(k)

(4)

常數項W為:

W(s)=該點水準路線起點高程+高差-終點高程

(5)

2 算例分析

2.1 算例1

水準網1如圖1所示。已知高程為HX=237.483 m,水準路線數n為5,水準點總個數m為4,觀測高差與路線長度如表1所示。

圖1 水準網1

表1 水準網1觀測高差和路線長度

水準網1的水準路線的編號如表1所示,水準點的編號如表2所示。

表2 水準網1水準點點名與對應編號

利用L1、L3、L5水準路線計算待定點的近似高程,即第1、3、5號水準路線,相應確定傳遞數矩陣。第1、3、5號水準路線為水準路線起始水準點已知,終點水準點未知,且該點近似高程未知,則有T(1, 4)=1,T(2, 4)=1,T(3, 4)=1,其余分量值為0,所以傳遞數矩陣為:

(6)

第2、4號水準路線未參與傳遞數矩陣的計算,可以用來計算條件平差的系數矩陣和常數項矩陣。以第2條水準路線為例,起點點號為1,終點點號為2,所以可以求得:

(7)

同理可以計算出:

(8)

又因為A(s)第j個分量的值為1,所以最終求得條件平差的系數矩陣為:

(9)

根據常數項W的計算公式,以W(1)為例,2號水準路線起點Y近似高程為237.483+5.835=238.018 m,終點Z的近似高程為237.483+9.640=247.123 m,可以求得:

W(1)=238.018+3.782-247.123=-0.023 m

(10)

同理可以求得W(2)=0.014 m。

所以求得常數項矩陣為:

(11)

根據條件平差過程可以求得法方程聯系數K:

(12)

所以改正數V為:

(13)

這樣就可以求得觀測高差的改正數,對水準網1的原始測量高差進行改正后如表3所示。

表3 水準網1觀測高差及其改正值 單位:m

為了比較通過傳遞數矩陣改正后高程的精度,以環路閉合差進行評價,選取了水準網1中的三個閉合環路,計算其改正前后環路閉合差,如表4所示。

表4 改正后環路閉合差 單位:mm

由表4可知,閉合環XYZ、XZQ以及XYZQ的環路閉合差在利用傳遞數矩陣改正后效果明顯變好,環路閉合差都為0 mm,說明本文所用方法有效,可以在高程改正中應用。為了避免數據的偶然性,利用算例2進行驗證。

2.2 算例2

水準網2如圖2所示。已知高程為HA=23.0 m,HB=23.564 m,HC=23.663 m,水準路線數n為6,水準點總個數m為5,觀測高差與路線長度如表5所示。

圖2 水準網2

水準網2的水準路線的編號如表5所示,水準點的編號如表6所示。

表5 水準網2觀測高差和路線長度

表6 水準網2水準點點名與對應編號

利用第3、4兩條水準路線計算待定點的近似高程,相應確定傳遞數矩陣。第3、4這兩條水準路線為水準路線起始水準點已知,終點水準點未知,且該點近似高程未知,則有T(1, 4)=1,T(2, 3)=1,其余分量值為0,所以傳遞數矩陣為:

(14)

第1、2、5、6條水準路線未參與傳遞數矩陣的計算,可以用來計算條件平差的系數矩陣和常數項矩陣。以第1條水準路線為例,起點點號為2,終點點號為1,所以可以求得系數矩陣A為:

(15)

根據常數項W的計算公式,求得常數項矩陣為:

(16)

根據條件平差過程可以求得法方程聯系數K:

(17)

所以改正數V為:

V=QATK=
[0.001 1-0.004 450.005 5-0.000 36
0.011 60.012 4]T

(18)

對水準網2的原始測量高差進行改正后如表7所示。

表7 水準網2觀測高差及其改正值

同樣,參考算例1,采用水準網2中的三個閉合環進行評價,改正后效果,如表8所示。

表8 環路閉合差 單位:mm

由表8可知,閉合環ADE、BDE以及ABD的環路閉合差在改正前分別為10 mm、-7 mm、3 mm,利用傳遞數矩陣改正后效果明顯變好,環路閉合差分別為5 mm、-4 mm、1 mm,證明了利用傳遞數矩陣的條件平差的有效性。

3 結束語

基于條件平差和間接平差本身計算過程中存在的問題,本文提出了一種利用傳遞數矩陣建立條件方程的算法,利用傳遞數的運算規則,解決了條件方程建立過程中多樣性的問題,采用兩個算例,對改正后結果的環路閉合差進行比較,算例1通過改正之后三個環路閉合差全部為0,算例2在改正后三個環路閉合差為5 mm、4 mm、1 mm,效果明顯變好,兩個算例證明了本文所用方法的有效性,在實際應用中具有參考價值。