考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基固結分析

秦愛芳, 許薇芳, 江良華

(上海大學土木工程系, 上海 200444)

在高速公路和高速鐵路路基的設計和施工中, 通常采用堆載預壓及豎井加堆載預壓等方法進行地基處理, 而處理后的地基以固結沉降變形為主.部分壓實后的路基填土的飽和度為65%～87%, 其固結特性與飽和土明顯不同, 利用飽和土固結理論進行分析與工程實測值產生較大偏差[1], 因此, 研究非飽和土豎井地基的固結特性是非常必要的.20 世紀40 年代初,Carrillo[2]為分析豎井地基的固結特性, 采用軸對稱模型將豎井地基模型進行了簡化, 提出了著名的Carrillo 定理.Barron[3]發現在豎井地基固結過程中, 靠近豎井的土體因固結較快產生了較大沉降, 因而使得作用荷載的材料在該部分產生拱作用, 如果拱作用足夠明顯, 將使得地面變形更接近于等應變情況.因此, Barron 在Terzaghi[4]提出的固結理論基礎上建立了豎井地基等應變固結理論, 并通過與自由應變固結解的比較, 證明了等應變假設的可靠性.Yoshikuni等[5]進一步完善了Barron 固結理論, 提出自由應變假設下考慮井阻與涂抹的豎井地基解析解.在國內, 謝康和等[6]建立了考慮井阻與涂抹的豎井地基等應變解析理論.陳國紅等[7]基于等應變假設, 考慮涂抹區土體水平滲透系數呈不同變化模式, 得到飽和土豎井地基固結解.張驛等[8]基于連續排水邊界條件, 得到了考慮涂抹及井阻效應的飽和土軸對稱豎井地基等應變固結解析解, 飽和土豎井地基固結理論被不斷完善.

非飽和土豎井地基固結有關理論是基于Fredlund 等[9]提出的一維固結理論而發展的.秦愛芳等[10]采用Laplace 變換及Cayley-Hamilton 定理得到了非飽和土一維固結半解析解;周萬歡等[11]采用差分積分法推導出復雜邊界下的一維固結解;Wang 等[12]針對不同的邊界條件對非飽和土二維固結做了進一步完善.對于非飽和土豎井地基固結, Conte[13]利用Hankel 變換研究了非飽和土中的軸對稱固結問題;Qin等[14]采用Laplace 變換并引入Bessel 方程, 得到了自由應變假設下理想井固結的半解析解;Ho 等[15-16]變換得到了非飽和土軸對稱固結解析解及考慮涂抹作用的非飽和土豎井地基固結的解析解;Zhou 等[17]研究了等應變假設下考慮井阻的非飽和土豎井地基固結解析解.

然而, 目前還未見同時考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基固結相關研究.本工作在現有理論基礎上, 首先引入變量Φ和Laplace 變換, 將非飽和土豎井地基固結控制方程組轉化, 同時考慮井阻與涂抹作用, 采用Crump 方法編程實現Laplace 逆變換, 得到了地基內任一深度的平均超孔隙氣壓力、平均超孔隙水壓力及整個深度范圍內的平均固結度;然后, 采用算例驗證了所得解的可靠性, 并分析了井阻因子G、涂抹系數α及涂抹區半徑比S對非飽和土豎井地基固結的影響;最后, 對比分析了非飽和土豎井地基4 種假設情況下的固結度預測.

1 半解析解

1.1 基本假設

基于Fredlund 等[9]和Ho 等[15]的有關假設, 本工作假設如下: ①非飽和土土層是均質的;②液相與土顆粒在加載過程中不可壓縮;③固結過程中發生的應變為小應變;④氣相、液相滲流分別符合Darcy 定律與Fick 定律, 二者滲流連續并獨立;⑤固結過程中氣相與液相滲透系數、體積變化系數均假設為常數(參數在非飽和土固結過程中為應力狀態的函數, 通常具有非線性性質, 但在非飽和土性狀的初步研究中, 可以認為這些參數在小應變及瞬時荷載作用過程中是恒定的, 且容易得到非飽和土固結方程的解).

1.2 計算模型

單層完全打穿非飽和土豎井地基計算模型如圖1 所示.圖1 中: 豎井地基厚度為H;未擾動區氣相、液相在水平方向滲透系數為ka、kw;涂抹區氣相、液相在水平方向滲透系數為kas、kws;豎井內的氣相、液相在豎直方向滲透系數為kaw、kww;豎井半徑為rw, 涂抹區半徑為rs, 影響區半徑為re;涂抹區范圍為rw≤r≤rs, 未擾動區范圍為rs≤r≤re;在豎井地基的頂面與底面以及影響區邊界(r=re處)均為完全不透水不透氣;豎井地基表面所受瞬時均布荷載為q;r、z為徑向和豎向坐標.

圖1 非飽和土豎井地基計算模型Fig.1 Consolidation modeling of vertical drain foundations in unsaturated soils

1.3 控制方程

根據基本假設以及文獻[17]可知, 當僅考慮徑向滲流時, 瞬時均布荷載下考慮涂抹的豎井地基等應變模型, 在固結過程中的控制方程為

1.4 初始條件與邊界條件

(1) 初始條件

(2) 邊界條件

在r=re處,

在r=rs處,

在r=rw處,

在z=0 處,

在z=H處,

1.5 半解析解推導

整理控制方程(1)和(2), 可得

式中:

引入任意常數q1、q2, 由式(10)可得

再引入常數Q, 有

求解式(12), 可得

當Q=Q1時, 式(12)中的q1、q2分別為q11和q21;而當Q=Q2時,q1、q2分別為q12和q22.

在不失最初假設的前提下, 假設q11=q22=1, 并引入變量Φ.則式(10)可表示為

式中:

將式(13)對變量r作兩次積分, 并代入邊界條件(4)、(5)以及考慮井阻的邊界條件(6)可得

涂抹區半徑比S=rs/rw.

將式(15)、(16)代入式(14), 可得

式中:4N4lnS ?4N2?S2?1S2?1,井徑比N=re/rw.

井阻邊界條件式(7)通過變量Φ轉換, 可得

式中: 涂抹系數α=kw/kws=ka/kas, 未擾動區土體與豎井中材料的滲透系數比β=kw/kww=ka/kaw.

此處需要說明: 雖然實際工程中kw/kww可能不等于ka/kaw, 但根據Zhou 等[17]的分析結果可知, 假設kw/kww=β, 當固結度超過一定值(20%～30%)之后, 無論ka/kaw是否等于β, 固結曲線都將趨于一致, 即豎井地基達到一般設計要求的固結度, 所需要的時間不會因為ka/kaw(kaw不變)取值不同而不同.這說明在預測豎井地基固結度時, 假設kw/kww=ka/kaw是可行的.

對式(13)積分并代入邊界條件可知, 對于涂抹區有

將式(18)代入式(19), 可得

注重宣傳教育，構筑社會共治格局。樹立“宣傳也是監管”的理念，積極打造全方位、立體式宣傳模式。廣泛開展食品藥品安全宣傳活動，通過舉辦“食品安全宣傳周”、安全用藥月、食品藥品安全知識“六進”等活動，建立科普服務站和志愿者隊伍，強化媒體監督，引導公眾合理消費。實施信用信息和“紅黑榜”管理制度，建立企業主體責任約談告誡機制，暢通“12331”舉報投訴電話和網絡舉報平臺，推動社會共治。

式中:

結合式(17)和(20), 可得

再對式(17)和(21)分別進行Laplace 變換, 整合后可得

邊界條件(8)和(9)經Laplace 變換并結合式(22), 可求得解為

式中: 豎井直徑dw= 2rw;井阻因子

將式(23)代入Laplace 變換下的式(17), 可得

故由式(14)可得

因此, Laplace 變換下的非飽和土豎井地基平均固結度由體積應變表示[15]為

式(25)、(26)通過Crump 方法編制程序實現Laplace 逆變換, 即得到瞬時均布荷載下考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基等應變固結半解析解.

2 驗證與算例分析

2.1 退化驗證

為了驗證本工作結果的正確性, 將半解析解退化為飽和土中Laplace 變換下考慮井阻與涂抹的豎井地基等應變固結解.

式中:

采用飽和土中等應變假設下考慮井阻與涂抹的豎井地基算例[6]進行驗證, 其中N=10,dw= 0.3 m,H= 15 m,kw/kww= 10?4,S= 1.2,kw/kws= 5,ch=kwEs/γw=kw/γwmv= 2×10?7m2/s.根據Fredlund 非飽和土固結理論, 在非飽和土中一般取負值, 即ms2=mw2=?mv.將上述參數代入程序計算, 結果如圖2 所示, 其中時間因素T=kwt/γwms1kr2e.由圖2 可以看出, 二者的曲線幾乎吻合, 初步驗證了本工作中半解析解的正確性.

圖2 不同方法下平均固結度的比較Fig.2 Comparison of average consolidation degree obtained from different methods

2.2 對比驗證

為了進一步驗證半解析解的可靠性, 在不考慮井阻與涂抹(α= 1,G= 0)的理想情況下,將半解析解與Qin 等[14]非飽和土自由應變假設下理想井固結解在不同ka/kw時進行比較.驗證及后續算例分析均采用Qin 等[14]給出的非飽和土算例: 單層完全打穿豎井地基, 表面瞬時均布荷載為q=100 kPa,=5 kPa,=40 kPa,n0=50%,Sr0=80%,kw=10?10m/s,=?5×10?5kPa?1,=?2×10?4kPa?1,=?10?4kPa?1,=10?4kPa?1,rw=0.5 m,rs=1.5 m,re=4.5 m,H=10 m.

圖3 為不同ka/kw(kw= 10?10m/s)時理想井在等應變與自由應變假設下與的消散曲線.在ua消散過程中,隨著ka/kw增大而消散變快, 這是由于氣相滲透系數ka(假設kw不變)增大引起的.而在消散曲線中, 當ka/kw>1 時呈現兩個階段, 在兩階段中間有一段“平臺期”.在第一階段,的消散受到影響, 消散較為緩慢, 且隨著ka/kw(kw不變)增大而消散加快, 這體現了對于的耦合作用;進入第二階段后,消散已經結束,消散速率(即曲線斜率)由于沒有氣體的影響而明顯加快,消散曲線在不同ka/kw情況下逐漸趨于一致.以上所有現象均與Qin 等[14]給出的結果相符, 而且隨著固結時間的增加,與在等應變與自由應變假設下的消散曲線逐漸趨于一致.綜上, 驗證了本工作非飽和土豎井地基等應變固結解的正確性.

圖3 不同假設條件下平均超孔隙壓力的比較Fig.3 Comparison of average excess pore pressure dissipation curves under different assumptions

2.3 算例分析

同時考慮井阻和涂抹時, 為了顯示井阻和涂抹對非飽和豎井地基固結特性的影響, 選取不同的井阻因子G、涂抹系數α和涂抹區半徑比值S對豎井地基固結進行分析, 并將非飽和土豎井地基在4 種假設情況下的固結度預測進行對比.

圖4(a)為不同井阻因子G對考慮井阻和涂抹(α=3,S=3)的非飽和土豎井地基固結的影響.不考慮井阻(G=0)時的曲線與其他曲線對比可知, 井阻對豎井地基固結影響較為明顯, 且井阻因子G越大, 固結越慢.在分析過程中, 取豎井內豎向滲透系數作為單一變量來調整井阻因子, 那么從本質上來看, 是因為豎井內豎向滲透系數的減小, 使得氣相以及液相的消散過程變得相對緩慢, 從而延長了地基的固結時間.

圖4(b)與圖4(c)分別顯示了不同涂抹系數α和不同涂抹區半徑比S對考慮井阻(G=0.1)與涂抹的非飽和土豎井地基固結的影響.不考慮涂抹(α= 1 或S= 1)的曲線與其他曲線對比可知, 考慮涂抹將顯著地增加豎井地基的固結時間, 且隨著涂抹系數α減小, 固結變快;而隨著涂抹區半徑比S增大, 固結變慢, 當S大于5 后, 涂抹對豎井地基固結的影響與S= 5時無明顯差異.

圖4 非飽和土豎井地基固結分析Fig.4 Analysis to consolidation of unsaturated soil with vertical drain

圖4(d)是非飽和土豎井地基在考慮井阻與涂抹(G= 0.1,α= 3,S= 3), 僅考慮涂抹(G= 0,α= 3,S= 3), 僅考慮井阻(G= 0.1,α= 1,S= 1)以及理想邊界(G= 0,α= 1,S=1)假設下平均固結度預測的對比.從圖4(d)可知, 井阻及涂抹對豎井地基的固結均有不同程度的影響, 且與平均超孔隙水壓消散曲線一樣, 平均固結度隨時間變化的曲線也分為兩個階段.為了顯示不同階段的影響, 分別取不同時間因素T所對應的平均固結度以進行比較, 具體結果見表1.

表1 不同情況下平均固結度在不同階段的比較Table 1 Comparison of average consolidation degree at different stages in different cases %

表1 不同情況下平均固結度在不同階段的比較Table 1 Comparison of average consolidation degree at different stages in different cases %

T 第一階段 第二階段2×10?5 2×10?3 2×10?1 2 5理想井 1.11 23.76 45.60 97.41 99.98僅考慮井阻 0.93 23.47 42.46 95.44 99.93僅考慮涂抹 0.47 20.64 33.83 81.65 97.84涂抹+井阻 0.38 19.03 31.92 75.55 95.54

由表1 可知, 考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基的平均固結度在第二階段與其他3 種情況相比差別較為明顯.當T=2 時, 同時考慮井阻和涂抹的豎井地基平均固結度, 與僅考慮涂抹的豎井地基平均固結度相差6.1%, 與僅考慮井阻的豎井地基平均固結度相差達19.89%,而與理想井豎井地基平均固結度相差高達21.86%.由此可知, 同時考慮井阻與涂抹在工程設計中更為合理.

3 結 論

本工作推導出考慮井阻與涂抹的非飽和土豎井地基等應變固結半解析解, 通過分析得到如下結論.

(1) 將半解析解退化為飽和土中考慮井阻與涂抹的等應變固結半解析解, 初步驗證了所得半解析解的正確性.

(2) 通過與非飽和土中自由應變假設下理想井固結解的比較, 表明了非飽和土中等應變模型的有效性, 且間接驗證了本工作中解的可靠性.

(3) 井阻對于非飽和土豎井地基固結有一定影響, 隨著井阻因子G變大, 固結變慢.

(4) 考慮涂抹將顯著地增加豎井地基的固結時間, 且隨著涂抹系數α與涂抹區半徑比S的增大, 固結變慢;但當S >5 時影響變化不再明顯.

(5) 非飽和土豎井地基中, 同時考慮井阻與涂抹將使地基固結度的預測更為合理.