S-T線性耦合級聯混沌擴頻碼及其性能分析*

趙 雷，保利勇，丁洪偉

(云南大學 信息學院，昆明 650500)

0 引 言

擴頻技術由于其寬頻帶特性帶來了極高的安全性，被譽為三大高技術通信傳輸方式之一[1]。擴頻通信技術由于其信號隱蔽性好、抗干擾能力強、可以實現碼分多址等優點，最初被用于軍用通信系統[2]，而后，由于其技術設備高度集成易于維護，同時適用于數字信號和模擬信號的傳輸，也逐漸被用于商用通信系統。大量的研究和實踐表明，擴頻通信是復雜干擾環境下最有效的通信手段。

混沌數字序列具有良好的偽隨機特性，近年來大量的學者和專家對混沌擴頻碼進行了深入研究。文獻[3]提出了利用Tent映射生成混沌擴頻序列。文獻[4]在Tent映射中加入了擾動，克服了映射的周期性和不穩定性，但是隨機擾動的幅度有很大的限制，同時映射表達式仍然較為簡單，系統容易受到攻擊。為了提升系統的安全性，文獻[5]提出了一種基于Logistic改進型映射和Cubic映射的級聯型混沌序列，提高了混沌系統的復雜性，得到了和傳統一維混沌序列相當的擴頻特性。文獻[6]將改進型Logistic混沌映射和Chebyshev混沌映射通過迭代級聯構造出一種新型混沌映射，有效擴展了混沌系統的密鑰空間。文獻[7]將實值混沌序列作為擴頻序列應用于直接序列擴頻(Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS)系統中，具備更好的抗截獲能力。上述研究有效提升了擴頻系統的安全性，然而在誤碼率方面確沒有明顯改善。為了提升系統的誤碼率表現，文獻[8]分別運用初值替換、參數控制、多重復合和異或疊加的方法，對提出的改進混沌系統所產生的混沌序列進行優選，在打破系統連貫性的前提下得到了性能更優的混沌時間序列。

上述研究分別從克服經典映射缺陷、提高系統安全性或降低誤碼率的角度改進了傳統混沌映射擴頻系統，然而僅從某一方面提升系統性能對系統的提升有限，若能同時對系統結構復雜性、密鑰空間以及生成的時間序列復雜度進行進行改進將會大大拓展混沌理論在擴頻系統中的應用前景。同時，現有的研究大都基于Logistic映射、Logistic改進型映射、Chebyshev映射和Cubic映射，而對于與之擁有相似特性的Sine映射研究相對較少。為此，本文以Sine映射為主體，同時引入了具有均勻分布特性的Tent映射，以期得到一種具有更強偽隨機特性的混沌動力學系統。

1 S-T耦合級聯混沌映射構建

1.1 Sine映射

正弦映射[9]的數學模型為

xi+1=(1-a)sin(πxi) 。

(1)

式中：映射值域為xn∈(0,1)，映射參數取值區間為a∈[0,1]。

Sine映射的序列取值范圍與控制參數密切相關，當且僅當參數a取值為1時Sine映射才是(0,1)區間上的滿映射。

1.2 Tent映射

Tent映射有多種形式，本文選取的為[10]

xi+1=1-b×|xi-(1/b)| 。

(2)

式中：映射值域為xn∈(0,1)，控制參數取值區間為b∈[0,2]。

Tent映射的序列取值范圍同樣與控制參數密切相關，當且僅當參數b取值無限接近于2時Sine映射才是[0,1]區間的滿映射。

1.3 傳統映射的平衡性

序列的平衡性可以體現序列的分布情況，是評價擴頻碼優劣程度的重要指標。序列的平衡性與載波抑制度有密切關系，平衡性越好則載波泄露可能性越低，系統保密性越高；反之系統的載波越容易泄露，系統安全性越低[11]。以滿映射條件下序列取值范圍的中點0.5作為判決門限，序列依據判決門限分別取值為+1和-1，此時序列中“+1”“-1”的個數就代表了序列平衡性。設“+1”個數為P，“-1”個數為Q，序列總長度為N，平衡性為E，則

(3)

E值越趨近于0，說明序列中“+1”“-1”的個數越接近，序列的平衡性也就越好。Sine映射的序列值更多地分布在0.5以下，而Tent映射的序列值更多地分布在0.5以上，兩者平衡性較差卻存在互補關系。

1.4 S-T耦合級聯混沌映射

如前文所述，Sine映射和Tent映射在平衡性上存在互補關系，因而可以引入耦合因子調節其各自的權重，對兩者進行線性耦合，即

(4)

為了確保耦合映射的值域在[0,1]內，令b=1-a，則

(5)

滿映射間的線性耦合在保持系統動力學結構完整性的前提下引入了耦合因子，同時消除了原映射參數取值對序列取值范圍帶來的影響，大大增加了擴頻碼的地址空間。

其次，為了提高映射結構的復雜性，將耦合映射與Sine映射級聯，新型映射的最終表達式為

(6)

系統動力學結構圖如圖1所示。

圖1 S-T耦合級聯混沌映射動力學結構圖

從式(6)和圖1都可以看出，新型映射具有復雜的動力學結構，模型的結構復雜性得到了有效地提高。

1.5 S-T耦合級聯混沌映射平衡性與耦合因子的關系

取序列長度為n=1×106，S-T耦合級聯混沌映射的平衡性隨耦合因子的變化情況如圖2所示。

圖2 S-T耦合級聯混沌映射因子對平衡性的影響

由圖2可以看出，隨著耦合因子a的增大，序列的平衡性幾乎以單調的形式發生變化，因而在實際應用中可以根據實際需求對序列的平衡性進行動態調控，以更好地適應不各類場景中對序列平衡性的不同要求。

從圖2可以看出,當耦合因子a∈(0.1,0.3)時序列平衡性都接近于0。圖3給出了a=0.1時序列平衡性隨迭代次數而對變化情況，可以看出當迭代進行了足夠多得到次數后序列平衡性趨近并收斂到0，S-T耦合級聯混沌映射的平衡性同時優于Sine映射和Tent映射?？紤]通常情況下到擴頻碼對平衡性的要求，后續仿真中均取a=0.1，此時序列平衡性接近于0。

圖3 S-T耦合級聯混沌映射平衡性曲線(a=0.1)

2 S-T耦合級聯映射動力學特性分析

2.1 系統特性分析

2.1.1 Lyapunov指數

Lyapunov指數描述了在初始點x0處無窮小誤差的平均增長，其大小直接反映了系統的混沌程度，定義為

式中：E0表示初始誤差，En表示第n次迭代的誤差[12]。S-T耦合級聯映射的Lyapunov指數圖如圖4所示，可以看出該級聯混沌映射的Lyapunov指數始終為正，當a=0時取到最大值1.38，當a=1時取到最小值1.28，數值均大于單級結構的映射(約為0.69)。因此，該耦合映射仍然是混沌映射，且混沌性強于傳統的一維映射。

圖4 S-T耦合級聯映射的Lyapunov指數

2.1.2 分叉圖

S-T耦合級聯混沌映射分岔圖如圖5所示，可以看出S-T耦合級聯映射在耦合因子a定義域內在區間[0,1]上分布均勻且始終保持滿映射，映射的耦合消除了參數對序列取值范圍的影響。新型映射與Sine映射和Tent映射只在參數r=1、b=2時才是滿映射相比具有明顯的優勢。

圖5 S-T耦合級聯混沌映射分岔圖

2.1.3 遍歷特性

蛛網圖又叫雷達圖，直觀地展示了映射迭代過程中的翻轉過程，常用于表現系統的吸引子及遍歷軌跡。S-T耦合級聯混沌映射蛛網圖如圖6所示，能夠看出，S-T耦合級聯映射的迭代值不斷趨近于不動點，然后又不斷從不動點跳出，說明該映射存在奇異吸引子；同時，隨著迭代次數的增加，映射的迭代軌跡幾乎遍布了[0,1]區間，映射具有良好的遍歷特性。

圖6 S-T耦合級聯混沌映射蛛網圖

2.2 混沌時間序列特性分析

3.2.1 序列復雜度

序列復雜度是測度混沌系統產生序列接近隨機序列程度的一個量化指標，復雜度的大小直接關系到混沌系統的密碼學性能。本文選用了近似熵和譜熵來衡量混沌時間序列的復雜度。

近似熵算法利用邊緣條件概率的統計方式統計序列的隨機程度，用相鄰軌道的變化程度體現整個序列的內在復雜性[13]。取不同的序列長度n，Sine映射、Tent映射及S-T耦合級聯混沌映射的近似熵如表1所示，std表示序列的標準差。從表1中可以看出，S-T耦合級聯混沌映射生成的時間序列近似熵明顯高于Sine映射、Tent映射和Logistic-Cubic映射，序列局部的復雜度更高；Logistic-Cubic映射譜熵明顯低與其他映射，而S-T耦合級聯映射譜熵與Sine映射和Tent映射接近，序列整體的復雜度相當，說明S-T耦合級聯混沌映射生成的時間序列較其他映射具有更高的序列復雜度，序列的偽隨機特性更強。

表1 近似熵對比(r=0.3std)

譜熵采用傅里葉變換，通過傅里葉變換域內能量分布，結合香農熵得出相應譜熵值。同樣取不同的序列長度n，Sine映射、Tent映射及S-T耦合級聯混沌映射的譜熵如表2所示。

表2 譜熵對比

2.2.2 序列相關特性

表3給出了序列長度為n=50 000時S-T耦合級聯混沌映射與傳統一維映射生成時間序列的功率譜均方根差、自相關旁瓣均方根差以及互相關均方根差的對比。

表3 混沌時間序列性能對比

從表3可以看出，Logistic-Cubic映射功率譜表現和相關特性表現均較差，S-T耦合級聯混沌映射的生成時間序列功率譜均方根值介于Sine映射和Tent映射之間；自相關旁瓣均方根值及互相關均方根與Tent映射接近而低于Sine映射，說明S-T耦合級聯混沌映射的功率譜較為均勻，自相關和互相關特性也不亞于傳統映射，因而該映射對多徑干擾以及多址干擾的抑制能力強于Sine映射、Logistic-Cubic映射，與Tent映射相當。

2.2.3 游程特性

序列的游程特性表示了序列中出現連續0或者連續1的概率，也是表現序列偽隨機特性的重要指標。根據文獻[11]，理想的偽隨機序列中長度為i的游程約占游程總數的(1/2)i。S-T耦合級聯混沌映射的游程特性如表4所示。

表4 游程特性對比

從表4中可以看出，S-T耦合級聯混沌映射生成的時間序列序列具有良好的游程特性，當i=1時其性能略低于傳統一維Tent映射，其余情況下的游程表現相當，序列分布情況較為理想。同時，經過進一步的研究發現，S-T耦合級聯混沌映射的游程特性與耦合因子a的取值有關，恰當的取值(如取a=0.05)能夠在犧牲序列平衡性的前提下得到更為理想的游程性。

從以上的分析可以看出，S-T耦合級聯混沌映射在耦合因子定義域范圍內始終保持滿映射，且具有較單一結構映射更高的Lyapunov指數，映射的混沌性更強。該映射生成的時間序列具有良好的偽隨機特性，序列復雜度更高，平衡性優于單一結構映射，而在功率譜密度、自相關互相關特性、游程特性方面的表現不亞于單一結構映射，是一種理想的擴頻序列。

3 S-T映射混沌擴頻系統實現與分析

3.1 擴頻通信系統的搭建

基于S-T耦合級聯映射的混沌擴頻碼生成算法流程如圖7所示，描述如下：

圖7 S-T耦合級聯混沌映射擴頻碼生成算法流程圖

Step1 輸入迭代次數N和映射初值x0，根據S-T耦合級聯混沌映射進行N-1次迭代得到長度為N的混沌時間序列。

Step2 以0.5為判決門限依次對序列中的每一個實數值進行二值量化，得到的M序列即為擴頻碼。

基于Simulink的混沌擴頻通信系統采用伯努利信號發生器作為信元，經過極性轉換后與From File模塊嵌入的S-T線性耦合級聯混沌擴頻碼相乘得到擴頻后的信號，而后通過BPSK模塊進行射頻調制，最后進入AWGN模塊模擬信號的傳輸。在信號接收部分采用相反的設計，依次對信號解調、解擴，得到最終的信號。為了體現該映射在擴頻碼生成算法中的優越性，本文引入了Sine映射擴頻系統、Tent映射擴頻系統和文獻[3]中提出的LC映射擴頻系統，并在相同噪聲干擾下分析了各個系統的誤碼率(Bit Error Rate,BER)曲線。

3.2 BER仿真

3.2.1 突發脈沖干擾下的BER仿真

引入“Discrete Impulse”信元模塊模擬突發脈沖信號干擾，系統BER仿真結果如圖8所示。

圖8 突發脈沖干擾下擴頻系統誤碼率對比

圖8中可以看出，在突發脈沖干擾下，當信噪比較低時基于S-T耦合級聯混沌映射的擴頻系統誤碼率明顯低于低于其他擴頻系統，在信噪比為-1 dB時只有基于S-T耦合級聯混沌映射的擴頻系統的誤碼率低于0.1；當信噪比逐漸增大到3 dB時誤碼率表現與其他擴頻系統趨于一致，約為0.03；當信噪比為7 dB時基于S-T耦合級聯混沌映射的擴頻系統誤碼率達到了0.000 1，實現了良好的通信效果?？梢娫诘托旁氡葪l件下該系統具有更優異的抗干擾性，采用該系統通信更具保密性和安全性。

3.2.2 隨機信號干擾下的BER仿真

引入“Random Number”信元模塊模擬隨機信號干擾，系統BER仿真結果如圖9所示。

圖9 隨機信號干擾下系統誤碼率對比

圖9中可以看出，在隨機信號干擾下通信系統對信噪比的要求更高，然而與突發脈沖干擾下的系統性能類似，基于S-T耦合級聯混沌映射的擴頻系統在較低信噪比的條件下有著更優的表現，在信噪比為10 dB時只有基于S-T耦合級聯混沌映射的擴頻系統誤碼率低于0.13，且隨著信噪比的不斷增大誤碼率始終低于其他三種擴頻系統；當信噪比達到26 dB時基于S-T耦合級聯混沌映射的擴頻系統誤碼率低于0.000 1，能夠保證高質量的通信。

綜上所述，無論是存在突發脈沖干擾還是隨機信號干擾，基于S-T耦合級聯混沌映射的擴頻系統在各個信噪比下傳輸的誤碼率均低于Sine映射擴頻系統、Tent映射擴頻系統和LC映射擴頻系統，且當信噪比足夠大時系統都表現出了極低的誤碼率。由此可以說明，在復雜的干擾環境下基于S-T耦合級聯混沌映射的擴頻系統比現有的一維混沌映射擴頻通信系統具有更好的抗干擾性，當信噪比滿足要求時能夠保證優異的傳輸效果。

4 結 論

混沌時間序列具有良好的偽隨機特性，大量的研究表明基于混沌理論的擴頻系統誤碼率遠低于傳統的m序列擴頻系統及PN序列擴頻系統。然而傳統的一維映射存在表達式簡單、Lyapunov指數小、時間序列復雜度低以及參數取值對系統偽隨機特性存在限制等問題，這些缺陷限制了混沌理論在擴頻通信領域的應用。為此，本文提出了一種基于S-T耦合級聯混沌映射的擴頻碼生成算法。理論分析和實驗結果表明，S-T耦合級聯混沌映射具有更大的Lyapunov指數，且該映射生成的時間序列復雜度高于現有的一維映射。搭建了不同噪聲干擾下的直序擴頻仿真實驗系統，證明了在復雜干擾下基于該映射的擴頻系統較現有的一維映射擴頻系統具有更低的誤碼率，在信道的信噪比足夠高時系統的誤碼率低于10-4，具有良好的通信質量。