范才鳳
在計算組合長方體的表面積時,由于擺放方法不一樣,它的表面積也就不一樣。例如:有兩個相同的長方體紙盒,它們的長、寬、高分別是16cm、6cm、2cm,現要用這兩個紙盒搭成一個大長方體,怎樣搭可使長方體的表面積最???
實踐操作:我們發現,無論怎樣放置這兩個長方體紙盒,搭成的大長方體體積都不變。但是由于擺放位置的不同,它們的表面積會發生變化。經過操作,發現共有3種不同的擺放方式,如圖所示:
探究結論:
(1)請計算圖2、圖3、圖4中的大長方體的長、寬、高及其表面積,并填充下表:
根據上表可知,表面積最小的是所示的長方體。(填“圖2”“圖3”“圖4”)。解決問題:
(2)現在有4個小長方體紙盒,每個的長、寬、高都分別是16cm、6cm、2cm,若將這4個紙盒搭成一個大長方體,共有種不同的方式,搭成的大長方體的表面積最小為cm2。
(3)現在有4個小長方體紙盒,每個的長、寬、高都分別是a、b、c,a>2b且b>2c,若用這4個長方體紙盒搭成一個大長方體,共有種不同的方式,搭成的大長方體的表面積最小為cm2。(用含a、b、c的代數式表示)【解析】(1)長方體的體積不變,但由于擺放重疊的面不一樣,每個圖形的表面積也就不一樣。圖2中,長方體的高為4,表面積=2(16×6+16×4+4×6)=368;圖3中,長為32,表面積=2(32×6+32×2+6×2)=536;圖4中,寬為12,表面積=2(16×12+16×2+12×2)=496。所以圖1的表面積最小。
(2)如圖5所示:
現在有4個小長方體紙盒,每個的長、寬、高都分別是16cm、6cm、2cm,若將這4個紙盒搭成一個大長方體,共有7種不同的方式,搭成的大長方體的表面積最小為2(16×6+16×8+6×8)=544cm2。故答案為7,544。
(3)現在有4個小長方體紙盒,每個長、寬、高都分別是a、b、c,a>2b且b>2c,若用這4個長方體紙盒搭成一個大長方體,當a=?3b且b=?3c時,共有6種搭法,可分兩類。如圖5,第一類有3種情況,表面積分別為(8ab+8ac+2bc)cm2、(8ab+2ac+8bc)cm2、(2ab+8ac+8bc)cm2。第二類也有3種情況,表面積分別為(4ab+4ac+8bc)cm2、(8ab+4ac+4bc)cm2、(4ab+8ac+4bc)cm2。第三類:當a=3b時,表面積分別為(8ab+5ac+3bc)cm2;當b=3c時,表面積分別為(3ab+8ac+5bc)cm2。因此共有6(a=?3b且b=?3c)或7(a=3b或b=3c)或8(a=3b且b=3c)種不同的方式。由于a>2b且b>2c搭成的大長方體的表面積最小為(2ab+8ac+8bc)cm2。(用含a、b、c的代數式表示)
本題主要考查了幾何體的表面積,解題的關鍵是如何用分類討論的方法思考長方體的擺放。擺放的方法不一樣,解題的結果就不一樣,這屬于中考常見題型。
(作者單位:江蘇省興化市戴澤初級中學)