矩形明渠消力池水躍的水頭損失研究

傅銘煥，張志昌

(1.浙江省水利水電勘測設計院 施概院，杭州 310002； 2.西安理工大學 水利水電學院，西安 710048)

1 研究背景

水躍是急流向緩流過渡的一種局部水力現象，并伴隨著能量的消散。水躍段能量的衰減，由2部分組成：一部分是水躍區下部主流受到壁面摩擦阻力的影響而產生的沿程水頭損失，另一部分是上部水體強烈摻氣旋滾而產生的局部水頭損失。

吳持恭[1]研究了水躍區水頭損失的變化規律，認為水躍區能量損失分為水躍段水頭損失和躍后段水頭損失，并給出了相應的計算式。文獻[2]認為，水躍躍后段消能所占比例一般較小，實際計算中可假定水躍的能量消耗全部集中于水躍段。

文獻[1]—文獻[2]雖然給出了水躍區總水頭損失計算式，但均未對水頭損失進行進一步的細分。張志昌等[3]根據水躍區流速分布公式及邊界層理論，結合沿程水頭損失的定義分析了水躍區沿程水頭損失和局部水頭損失的變化規律。研究表明，隨著躍前斷面弗勞德數的增加，水躍沿程水頭損失占比逐漸減小而局部水頭損失占比逐漸增大；在弗勞德數較大時，水躍段的水頭損失主要為局部水頭損失。但須說明的是，在主流方向上文獻[3]將躍前斷面至7倍躍前水深處的區間范圍產生的所有水頭損失歸到局部水頭損失之中。

根據沿程水頭損失定義，沿程水頭損失主要與壁面的摩擦阻力有關。倪漢根等[4]研究的一般光滑床面水躍特性表明，一般光滑床面消力池的床面摩擦阻力很小，對水躍共軛水深比及相對能量損失的影響并不明顯。Ead等[5]研究了水躍區壁面阻力的變化規律，給出了一般光滑壁面與波狀床面消力池的壁面阻力系數計算公式。研究表明，壁面阻力系數是躍前斷面弗勞德數的函數，并隨著弗勞德數的增大而增大。波狀床面消力池壁面阻力系數遠大于一般光滑床面消力池。文獻[6]—文獻[10]也研究了粗糙床面消力池壁面阻力系數的變化規律，給出了壁面阻力系數的計算方法。

由以上研究可知，一般光滑壁面消力池水躍區水頭損失的研究成果還很少，遠沒有水躍躍后水深和水躍長度研究深入與透徹。筆者嘗試根據沿程水頭損失的定義，研究沿程水頭損失與局部水頭損失的變化規律，完善并豐富水躍理論體系。

圖1 矩形明渠消力池水躍示意圖Fig.1 Sketch of hydraulic jump in stilling pool ofrectangular open channel

2 沿程水頭損失

圖1為一矩形明渠消力池水躍示意圖。圖中h1和h2分別為水躍躍前、躍后斷面水深；v1和v2分別為躍前、躍后斷面的平均流速；Lj為水躍長度；F為整個水躍段渠底對水流的總摩擦阻力(后文簡稱渠底阻力)。

根據沿程水頭損失的定義，水躍段沿程水頭損失hf可表示為

(1)

式中：τ(x)為水躍區渠底任一點對水流施加的壁面切應力；ρ為水體密度；g為重力加速度；R(x)為水躍區任一斷面處的水力半徑；L1、L2分別為積分上下限，x軸正方向與水躍主流前進方向一致。

矩形明渠消力池水躍區任一過水斷面的水力半徑R(x)可表示為

(2)

式中：A(x)為水躍區任一過水斷面面積；χ(x)為任一過水斷面濕周；h(x)為任一過水斷面處水深；b為消力池寬度。

將式(2)代入式(1)，則

(3)

式(3)可簡化為

(4)

(5)

對式(4)進行變形，可得

(6)

渠底阻力F[14]可表示為

(7)

式中：Cf為床面阻力系數；γ為水體重度。

(8)

將共軛水深比η=h2/h1，躍首斷面寬高比ξ=b/h1代入式(8)可得

(9)

由式(9)可知，矩形明渠水躍區沿程水頭損失hf是躍前斷面水深h1、床面阻力系數Cf、水躍共軛水深比η及躍首斷面寬高比ξ的函數。hf隨著h1和Cf的增大而增大，隨著η和ξ的增大而減小。

(10)

式中Fr1為躍前斷面弗勞德數。

由式(10)可得沿程水頭損失系數λ為

(11)

在水力計算中，床面阻力系數Cf往往是未知的，倪漢根等[4]在研究一般矩形明渠水躍共軛水深時，給出了Cf與共軛水深比的理論關系，即

(12)

將式(12)代入式(11)可得

(13)

由式(13)可知，沿程水頭損失系數λ是躍前斷面弗勞德數Fr1、水躍共軛水深比η和躍首斷面寬高比ξ的函數。

筆者根據Francesco等[15]和Hughes等[16]的矩形明渠水躍的試驗工況對水躍區沿程水頭損失系數進行分析。在數據整理時，筆者發現Francesco等[15]和Hughes等[16]的102組光滑壁面試驗工況中，有44組實測的躍后水深值略大于Belanger公式計算值(忽略壁面阻力)。由于Cf是個小量，用式(12)計算的床面阻力系數對躍后水深的變動十分敏感，如果實測的躍后水深略微偏大，則Cf就會以負數的形式出現，這與實際并不相符(渠底阻力方向同水體主流方向相反)。故筆者在分析沿程水頭損失系數λ時，只保留了58組正常試驗工況，即實測的躍后水深值小于Belanger公式計算值的試驗工況(Cf>0)。其中，Francesco等試驗的躍前斷面弗勞德數范圍為1.99

圖2 λ/Cf隨著弗勞德數Fr1的變化規律Fig.2 Change law of λ/Cf with Froude number Fr1

λ/Cf與Fr1可用一個乘冪公式表示，即

(14)

由式(14)可知，λ隨Cf的增大而增大，隨著Fr1的增大而減小。

故在1.99

(15)

式(15)計算的平均相對誤差為4.74%。

3 局部水頭損失

假定躍前、躍后斷面的動能修正系數均為1，則水躍區躍前和躍后斷面的能量平衡方程為

(16)

式中hw為水躍區總水頭損失。

根據總水頭損失定義可知

hw=hf+hj。

(17)

式中hj為水躍區局部水頭損失。

對于局部水頭損失，可表示為

(18)

式中ζ為局部水頭損失系數。

聯立式(10)—式(11)、式(16)—式(18)的等式可得局部水頭損失系數，即

(19)

式中q為單寬流量。

將式(13)代入式(17)，則

(20)

式(20)即為矩形明渠水躍區局部水頭損失系數的計算式。由式(20)可知，ζ是Fr1、η、ξ、h1、h2和q的函數。

由于式(20)計算的局部水頭損失系數較為復雜，筆者仍舊結合Francesco等[15]和Hughes等[16]的58組試驗工況，重新分析了局部水頭損失系數ζ的變化規律，結果如圖3所示。

圖3 局部水頭損失系數ζ隨著弗勞德數Fr1的變化規律Fig.3 Change law of local head loss coefficient ζ withFroude number Fr1

由圖3可知，局部水頭損失系數ζ隨著躍前斷面弗勞德數Fr1的增大而增大，ζ可用一個Fr1的對數關系式簡單表示，即

ζ=0.396 5ln (Fr1)-0.117 2 。

(21)

式(21)適用范圍為1.99

4 總水頭損失

對于矩形明渠床面水躍區總水頭損失hw，對式(16)變形可得

(22)

令總水頭損失

(23)

式中ψ為總水頭損失系數。

根據式(22)和式(23)，筆者結合文獻[15]和文獻[16]的58組試驗工況，分析了水躍區總水頭損失系數的變化規律，結果如圖4所示。

圖4 總水頭損失系數ψ隨著弗勞德數Fr1的變化規律Fig.4 Change law of total head loss coefficient ψ withFroude number Fr1

由圖4可知，總水頭損失系數ψ是躍前斷面弗勞德數Fr1的函數，ψ隨著Fr1的增大而增大，兩者近似服從對數關系，即

ψ=0.373 5ln(Fr1)-0.058 6 。

(24)

式(24)平均誤差為3.32%。式(24)的適用范圍為1.99

5 水頭損失占比

為了比較水躍段各水頭損失的占比，筆者結合上述58組試驗工況，對其進行了分析，結果見圖5。

圖5 水頭損失占比隨弗勞德數Fr1的變化Fig.5 Variation of ratio of head loss with Froudenumber Fr1

由圖5可知，在58組試驗工況中只有1組工況的沿程水頭損失略大于局部水頭損失(Fr1=2.1)，其余工況沿程水頭損失均小于局部水頭損失?？梢?，在水躍區水頭損失總體上主要由局部水頭損失組成。在1.99

需要說明的是，本文推導計算的沿程水頭損失hf是躍首斷面到躍尾斷面間整段水躍的沿程損失，與文獻[17]計算的沿程水頭損失hf并不等價。文獻[17]計算的hf起始斷面為離躍首7h1處而非躍首斷面，其值應該小于本文的計算值。

6 結 論

本文根據沿程水頭損失的基本定義，推導了矩形明渠水躍段沿程水頭損失hf與躍前斷面水深h1、床面阻力系數Cf、水躍共軛水深比η及躍首斷面寬高比ξ的本構關系以及局部水頭損失系數的理論計算公式。結合文獻[15]和文獻[16]的試驗工況，提出了沿程水頭損失系數、局部水頭損失系數和總水頭損失系數的簡單擬合公式。研究發現：

(1)沿程水頭損失hf隨著h1和Cf的增大而增大，隨著η和ξ的增大而減??；沿程水頭損失系數λ隨Cf的增大而增大，隨著Fr1的增大而減小。

(2)局部水頭損失系數ζ是Fr1、η、ξ、h1、h2和q的函數；ζ隨著Fr1的增大而增大。

(3)總水頭損失系數ψ是Fr1的函數，ψ隨著Fr1的增大而增大。

(4)在1.99