無需初始輪廓的圖像分割模型

羅 琴，王 艷

（重慶師范大學數學科學學院，重慶 401331）

0 引言

準確分割圖像是圖像處理的一項重要的任務。到目前為止，圖像分割的一個主要挑戰是對含噪聲、灰度不均的復雜圖像進行分割。

幾何活動輪廓模型可分兩大類：基于邊緣的模型［1-2］和基于區域的模型［3-10］。前者通常利用圖像的梯度信息來吸引活動輪廓接近圖像目標邊界，進而提取出來；后者是利用演化輪廓內外的區域信息來控制輪廓的運動。其中，分片常值（Piecewise Constant，PC）模型（常被稱為C-V 模型）［11］和區域可變灰度擬合（Region-Scalable Fitting，RSF）模型［12］是最具代表性的。在實際應用中，這兩類模型各有優點和不足的地方。

將目標和背景的灰度假設為常值的C-V 模型是基于區域的全局活動輪廓模型，由于對全局均值的過度依賴，當分割灰度不均圖像時，這種假設會導致模型在分割灰度不均圖像時出現演化曲線的錯誤分割。近些年，很多研究者從不同方向對C-V 模型進行拓展或改進［13-14］，例如，Zhang 等［15］提出一個選擇性局部或全局分割（Selective Local or Global Segmentation，SLGS）模型，在C-V 模型的基礎上大幅提高了分割速度；但由于依賴圖像的全局信息，故對灰度不均圖像的分割效果不理想；Li 等［12］提出的基于圖像局部區域的可變灰度擬合的RSF 模型，克服了C-V 模型在灰度不均圖像分割中的不足，但從分割結果中可以看出，過度依賴圖像的局部信息使得它對初始化輪廓和噪聲較敏感。為了有效地解決RSF模型對初始輪廓敏感的問題，劉瑞娟等［16］提出融合局部圖像信息的SLGS（SLGS with Local Information，SLGSLI）模型和張栩源等［17］提出了自適應灰度擬合（Adaptive Intensity Fitting，AIF）模型，雖然在一定程度上降低了RSF 模型對初始輪廓的敏感性，但由于仍需要初始輪廓，所以并未從根本上解決初始輪廓敏感問題。陳星等［18］提出了結合全局信息的局部圖像灰度 擬 合（Local Intensity Fitting Combined with Global Information，LIFCGI）模型，雖然在無初始輪廓的情形下能夠分割一些真實圖像和人造圖像，但無法分割灰度不均圖像。

為了更好地解決輪廓初始化問題，本文在SLGS模型的啟發下，從偏微分方程的角度提出了一個新的區域活動輪廓模型。模型在演化過程無需設定初始輪廓，因此有效地避免了輪廓初始化給分割過程帶來的諸多問題。將局部和全局信息線性組合獲得模型最終的擬合項，通過調整權重參數，使得本文模型有效地分割噪聲圖像和灰度不均圖像。

1 預備知識

1.1 C-V模型

假設I(x)是待分割圖像，φ(x)是水平集函數。C-V 模型通過極小化下面的能量泛函來實現分割：

其中：Ω是圖像區域；c1和c2分別為圖像區域在演化曲線內部和外部的灰度平均值；δ(φ(x))和H(φ(x))分別是Dirac 函數和Heaviside 函數。式（1）中前兩項分別擬合演化曲線內外的全局圖像，最后一項為長度項，控制演化曲線的長度。

由變分法和最速下降法，導出控制水平集函數演化的偏微分方程：

C-V 模型假設圖像的目標和背景的灰度均值區別較大，故在灰度不均性較弱的圖像中能取得較好的分割效果。

1.2 SLGS模型

式（2）中水平集函數演化的主要作用力為：

其中：α是大于零的常數。SLGS模型收斂迅速、耗時短和全局最優的特點，但對于噪聲比較敏感，不能有效分割灰度不均圖像。

1.3 RSF模型

RSF 模型基于可變區域灰度擬合能量擬合局部圖像，具體講，它通過極小化以下能量泛函來實現分割：

其中：M1(φ)=H(φ)；M2(φ)=1-H(φ)；Kσ(x-y)是高斯核函數；ν為長度項系數；f1(x)和f2(x)是點x小鄰域內演化曲線內、外的加權灰度均值，是一種與尺度參數σ有關的局部量；最后一項是無需重新初始化項。RSF 模型是通過統計以每個像素點為中心的局部區域信息來進行灰度擬合，故該模型能夠較好地處理灰度不均圖像。然而，過度依賴局部信息也導致該模型對噪聲和初始化輪廓比較敏感，不同的初始輪廓可能會導致模型的解為局部極小值而非全局最優，甚至是不收斂的解。

2 本文模型

2.1 模型描述

正如前文所述，每個模型都有各自的優缺點。C-V 模型是基于全局信息的活動輪廓模型，對初始輪廓和噪聲不敏感，然而對全局均值的過度依賴使得該模型不能分割灰度不均圖像，而且模型的計算量較大；SLGS模型提高了分割效率，但無法分割灰度不均性較嚴重的圖像和高強度的噪聲圖像；RSF模型基于圖像局部區域的可變灰度來擬合圖像，能有效地分割灰度不均圖像，由于對局部信息的過度依賴，使得它對噪聲和初始輪廓較敏感。本文提出了一個新的基于區域的活動輪廓模型來分割灰度不均圖像和噪聲圖像。該模型線性加權F1(φ，x)+F2(φ，x)，以此作為分割的擬合項，通過適當選擇控制權系數ω，該模型可以有效分割灰度不均圖像和噪聲圖像。同時，由于本文模型可以在無初始輪廓下進行分割，故可以完全避免輪廓初始化對模型分割過程的不利影響。本文模型水平集演化的偏微分方程定義為：

其中：參數ω為全局驅動力和局部驅動力的權重系數，其作用是控制全局力和局部力在模型中所起的作用。

參數ω的取值依賴于圖像的特征，特別地：對于灰度不均圖像，為了增大局部力，參數ω選取較小的值，如ω=0.2；對噪聲圖像，為了突出全局項的作用，參數ω選取較大的值，如ω=21。此外，在無初始輪廓的情況下，本文模型的水平集函數可以簡單初始化為常值函數，使得本文模型的分割效率大大提升。

2.2 數值實現

為了計算未知函數φ的相關歐拉-拉格朗日方程，函數H和δ用一個正則化的函數Hε和δε來近似，分別定義為：

本文采用有限差分法求解微分方程（7），利用中心差分法近似計算空間域的偏導數，向前差分法近似計算時間域的偏導數。離散網格的空間步長為h，時間步長為Δt。水平集函數φ在點x處n時刻的值可表示為式（7）的離散形式為：

本文模型的算法實現步驟：

1）初始化φ(x，y，t= 0)= 0。

4）檢驗演化曲線C在相鄰兩次迭代時的長度改變量|L(C(n))-L(C(n- 1))|不超過一個給定的閾值ξ，或者迭代次數不小于預先給定的常值N，則停止迭代；如果不穩定收斂，則重復2）～3）。

3 實驗與結果分析

本文對灰度不均圖像與噪聲圖像進行分割實驗，并對比其他模型的結果，從以下幾個方面驗證本文模型的有效性：

1）不受初始輪廓的影響；2）對灰度和噪聲的魯棒性；3）比較分割效率。從表1、表3 和表4 中，采用數值的平均值，可以看出本文模型比RSF 和SLGS 模型的迭代步數分別減少了約57%和31%，分割時間分別減少了約62%和14%。

數值實現采用有限差分法，實驗環境如下：Matlab R2016a，Intel Corel I5-5200U 處理器，4 GB 內存和Windows 8操作系統。

本文模型選取如下參數值：時間步長Δt= 0.1，ε= 1，σ=3，參數μ∈[0，2]、ω∈[0，21]是兩個可調參數。當待分割圖像的背景較為復雜時，μ和ω取較大的值；反之μ和ω取較小的值。若無特殊說明，實驗設置為μ= 0.1，ω= 0.2。

3.1 對初始輪廓的魯棒性

圖1 用一幅含自然噪聲圖像來驗證本文模型對初始輪廓的魯棒性。本文模型的實驗中μ= 2，ω= 21。從圖1 可以看出，本文模型對初始輪廓具有較強的魯棒性。

圖1 本文模型在四種不同初始輪廓下對噪聲圖像的分割結果Fig.1 Segmentation results of proposed model on a noise image with four different initial contours

3.2 灰度不均圖像的分割

圖2 中，實驗樣本為五幅不同程度的灰度不均圖像，展示了在不同初始輪廓的情況下的分割效果。選取的模型有：RSF 模型、SLGS 模型和本文模型。從圖2（b）的框出部分可以看出，RSF 模型對輪廓初始化較為敏感。從圖2（c）的框出部分可以看出，由于SLGS 模型只考慮了圖像的全局信息，難以處理圖像的灰度不均現象。表1 給出了迭代步數和分割時間。從圖2和表1可以看出，本文模型在無初始輪廓的情況下能夠兼顧分割準確性與分割速度，有效提取灰度不均圖像中的目標。

圖2 三個模型對灰度不均圖像的分割結果Fig.2 Segmentation results of inhomogeneous images by three models

表1 三個模型分割圖2中圖像的迭代次數和分割時間Tab.1 Number of iterations and segmentation time of three models for segmenting images in Fig.2

3.3 噪聲圖像的分割

通過實驗驗證本文所提模型對不同噪聲強度、不同噪聲種類的魯棒性。對噪聲圖像，參數σ∈[1，5]是一個可調參數，其值根據噪聲污染的強度來選取。當噪聲污染較輕時，σ選取較小的值，例如σ= 1；當噪聲污染較強時，σ選取較大的值，例如σ= 5。

圖3選取了零均值，方差分別為0.01、0.20的兩幅高斯噪聲圖像。參數取值σ= 1，3，5，7。從圖3 和表2 可以看出，在得到較好的分割結果前提下，方差為0.01 的高斯噪聲圖像中取σ= 1時迭代時間更少；在方差為0.20的高斯噪聲圖像中，取σ= 5時分割效果更好、分割時間更少。

圖3 本文模型在四種不同σ和兩種方差情況下的分割結果Fig.3 Segmentation results of proposed model with four different σ and two different variance

表2 本文模型分割圖3中圖像的迭代次數和分割時間Tab.2 Number of iterations and segmentation time of proposed model for segmenting images in Fig.3

圖4 展示了實驗模型分割不同程度的高斯噪聲圖像的分割結果。為了驗證本文模型的抗噪性，實驗選取了零均值，方差分別為0.01、0.05、0.10 和0.20 的四幅高斯噪聲圖像。根據噪聲污染情況本文模型不同的參數。從圖4 所示的實驗結果可以看出：RSF模型對噪聲較為敏感，如圖4（b）的框出部分所示；SLGS 模型對于噪聲污染不嚴重的圖像，能夠得到較好的分割結果，但隨著噪聲污染的加重，該模型仍無法準確分割；本文模型對噪聲強度具有足夠的魯棒性，均能有效地提取目標邊界。

圖4 三個模型對不同程度的高斯噪聲圖像的分割結果Fig.4 Segmentation results of different degree Gaussian noisy images by three models

表3 三個模型分割圖4中圖像的迭代次數和分割時間Tab.3 Number of iterations and segmentation time of three models for segmenting images in Fig.4

為比較不同模型對噪聲種類的魯棒性，本文將三個模型應用于含有不同程度乘性斑點噪聲的圖像，實驗結果如圖5所示。圖5（a）的圖像2 的乘性斑點噪聲較大，因此實驗中本文模型選取參數σ=5，其余圖像選取參數σ=3。從圖5 可以看出，RSF 模型對乘性噪聲較為敏感；SLGS 模型對于方差為0.10的乘性斑點噪聲分割效果較好，而對于方差為0.60的乘性斑點噪聲分割效果不理想；本文模型對這兩幅含不同程度乘性斑點噪聲的圖像得到了準確、一致的分割效果。

圖5 三個模型對不同程度的乘性斑點噪聲圖像的分割結果Fig.5 Segmentation results of different degree multiplicative speckle noisy images by three models

表4 不同模型分割圖5中圖像的迭代次數和分割時間Tab.4 Number of iterations and segmentation time of three models for segmenting images in Fig.5

3.4 定量化分析

圖6 選取了四幅皮膚損傷圖像對所提模型進行定量化評價。實驗圖像均來自https：//isic-archive.com/api/vl，包含原始圖像和對應的GT（Ground Truth）圖像。

評價指標分別為Dice 相似系數（Dice Similarity Coefficient，DSC）、錯誤率（Ratio of Segmentation Error，RSE）、假陽性率（False Positive Ratio，FPR）和虛警率（False Alarm，FA）。DSC 越接近于1，RSE、FPR 和FA 越接近于0，表明分割結果越準確。表5 給出了三個模型對這四幅圖像分割結果的平均指標值。從表5 可以看出，本文模型取得了較為準確的分割結果。

圖6 三個模型對不同皮膚損傷圖像的分割結果Fig.6 Segmentation results of different skin lesion images by three models

表5 圖6圖像分割結果的DSC、RSE、FPR和FA值Tab.5 DSC，RSE，FPR and FA of segmentation results shown in Fig.6

3.5 實際應用

圖7 給出了本文模型對四幅實際應用中不同類型圖像的分割結果。其中：圖7（a）的框出部分是醫學圖像，目標邊緣較弱；其余兩幅圖像是紅外船舶圖像，紅外船舶圖像1 中目標船舶邊緣較弱，紅外船舶圖像2 中背景不均勻，而且帶有設備引起的噪聲。本實驗中，對圖7（a）圖像4 選取σ=5，其余圖像選取σ=3。本文模型的實驗結果如圖7（b）所示，可以看出，本文模型在無初始輪廓的情況下，對不同類型的實際圖像均取得了準確的分割效果。

圖7 本文模型對不同類型圖像的分割結果Fig.7 Segmentation results by proposed model of different types of images

4 結語

本文受到SLGS模型的啟發，提出了一個偏微分方程形式的圖像分割模型。該模型在無初始輪廓的情況下，能夠對灰度不均圖像和噪聲圖像取得理想的分割結果；同時，還能有效提取目標的模糊邊緣和弱邊緣。但是本文模型選取的權重系數ω 為特定值。因此，如何更好地提高模型的自適應性和迭代速度，增加模型的應用場景是接下來的工作。