板簧扭振減振器力學性質和規律研究

李嘉鵬，田中旭

（1.中煤科工集團 上海有限公司，上海 200030，2.上海海洋大學 工程學院，上海 201306）

0 引言

板簧扭振減振器因其可靠性高、減振性能優良、防腐蝕性等特點，在船用柴油機領域中廣泛使用。其主要結構包括慣性塊、彈性部件和阻尼部件等零件。比較早期的板簧減振器剛度計算模型是文獻[1]給出的，也只能計算線性剛度，且簧片厚度須依次滿足固定的厚度比。文獻[2]推導出單片簧片的線性剛度，多片簧片的剛度則可視為所有簧片的剛度疊加。以上計算都是基于Euler-Bernoulli 梁模型，也沒有考慮簧片與限位塊的接觸、簧片層間的相互作用，以及軸向和剪切變形等因素。田中旭等基于Euler-Bernoulli 梁模型[3]給出了板簧扭振減振器彎曲應力和扭轉剛度的直接計算公式。目前，對漸變剛度鋼板彈簧的計算方法[4-7]雖然不少，但其力學性質仍以經驗公式總結和宏觀力學性質測試為主要確定方法，計算精度不高，限制了減振器對工程應用的支持等多個方面。本研究基于Timoshenko 梁理論構建的高精度的力學模型，利用Matlab 軟件編寫基于Runge-Kutta 法的數值求解程序得到所述模型中關鍵參數的數值解，采用有限元進行了驗證，在此基礎上探討墊片和簧片對變形和應力的影響規律。

1 減振器力學模型

采用考慮剪切變形的Timoshenko 梁理論建立減振器剛度力學模型。如若減振器設計制造合理，則簧片兩端與槽底座始終接觸，無沖擊載荷。在構建力學模型時，減振器內外圈的相對轉動可以看成簧片組與外圈接觸時左端固定，簧片組與內圈接觸時右端橫向運動。此時，減振器扭轉剛度研究的關鍵是簧片組兩端發生相對運動，簧片受力可簡化為一集中力，其集中力的方向垂直于簧片面。對于變截面的變剛度簧片來說，由于每片厚度是片長的函數，所以對于撓曲線上每一點斜率的求解較為困難。在本研究中，變形協調條件取其上下簧片的撓曲線在接觸點處的坐標相等[8，9]這一假設進行求解。

減振器簧片組參數模型如圖1 所示，圖中黑色條狀為紫銅墊片，下部為簧片1，上部為簧片2，簧片組左端固定。模型中各參數的含義見表1。

表1 板簧片參數

圖1 簧片組參數模型

在文獻[3]的基礎上，考慮到邊界條w1（x）|x=0=w2（x）|x=0= 0，得到兩板簧片的撓度函數：

得到兩板簧片的彎曲應力如式（3）和式（4）所示。

2 數值求解與驗證

龍格-庫塔（Runge-Kutta）法是求解數值計算中非線性常微分方程近似解的一種高精度經典方法。由于該算法精度較高，采取了抑制誤差的措施，其整體截斷誤差為（Vx）5，通常應用于常微分方程數值求解，在工程上得到廣泛應用。根據式（1）、（2），借助Matlab軟件編程計算求解板簧片變形撓度的數值解，定義計算參數，分別計算5 組不同長細比板簧片末端撓度的變化結果見表2。

表2 Runge-Kutta 法和有限元法計算的撓度

圖4 有限元仿真應變云圖

為了證明本研究提出的基于Timoshenko 梁理論所建立的力學模型精確解析解的可靠性和精確度，以圖2 所示某型板簧片計算結果為例，利用ANSYS 進行計算分析，因板簧片的橫截面大小和形狀沿軸線方向不變，作用外力沿縱軸長度方向不變，故板簧片每個橫截面的受力情況相同，在仿真時將板簧片分析的三維問題轉化為二維平面應變問題，大大節約計算時間。建模時采用的參數如表2 所示，在板簧片垂直正方向施加集中力F= 1000 N，銅墊片末端（圖1 中A處）耦合垂直方向的自由度，分別模擬板簧片長細比為8.7692、17.5385、7.0154、5.8462 以及4.3846 時板簧片1 和板簧片2 的沿Y軸變形量。圖3 至圖7 分別是表2 中第一至第五組數值的簧片應變云圖，其中第二組至第五組數值分別是第一組簧片厚度擴大0.5 倍、1.25 倍、1.5 倍和2 倍得到的，其余參數不變。

圖2 板簧片組幾何模型圖

圖3 有限元仿真應變云圖

圖5 有限元仿真應變云圖

圖6 有限元仿真應變云圖

圖7 有限元仿真應變云圖

表2 中對集中荷載作用下減振器簧片在基于Timoshenko 梁理論構建的高精度的力學模型下四階Runge-Kutta 數值解與有限元分析的計算結果進行比較，可以看出基于Runge-Kutta 求解方法的理論解與有限元值吻合良好。通過平面應力應變分析，以有限元分析ANSYS 的計算結果作為標準，使用Timoshenko 梁理論所建立的力學模型理論解與其比較，最大的誤差才為-3.04%。從而證明了本研究求解方法對基于Timoshenko 理論建立的高精度力學模型的求解是可靠的，驗證了本文計算方法的準確性。

3 減振器設計參數分析

3.1 紫銅墊片長度對變形和應力的影響

紫銅墊片作為減振器中的阻尼原件，其在減振器運行過程中雖然變形量很?。◣缀蹩梢院雎圆挥嫞?，但是卻對簧片組結構的撓度有影響，也能改變簧片的彎曲應力分布，所以選用合適的墊片長度對于簧片組的性能發揮及強度壽命不容忽視。在研究紫銅墊片長度對變形和應力的影響之前首先要找到變形和應力最大的位置。根據式（3）和（4）編寫Matlab 程序計算，繪制表2 中第一組參數簧片組的撓度曲線如圖8 所示、彎曲應力分布曲線如圖9 所示。從撓度圖像圖8 可以看到，兩簧片僅在A 點接觸，前文假設的計算方法正確。從圖9 所示應力計算結果中可以看到，簧片1 在[0，S]范圍內的應力逐漸增大，在[S，L]范圍內逐漸減小到零；簧片2 在[0，S]范圍內的應力逐漸減小到零，在[S，L]范圍內一直為零?；善墓潭ǘ撕妥香~墊片末端為彎曲應力最大處。最大應力大小和位置受到紫銅墊片長度影響。

圖8 板簧片撓度曲線

圖9 簧片彎曲應力曲線

紫銅墊片、簧片直接關系到減振器的減振性能。為了進一步探究紫銅墊片長度對變形和應力的影響，以某型減振器為例，研究紫銅墊片長度對變形和應力的影響規律，以指導減振器的設計。從圖9 可得，簧片1 在A 點和簧片2 在B 點均為簧片彎曲應力最大的地方，所以選擇這兩個點分析紫銅墊片長度和簧片厚度對簧片應力的影響。此時，只改變紫銅墊片長度，其余參數不變，計算10 組不同墊片長度下的簧片末端變形及彎曲應力，其結果如圖10 和圖11 所示。由圖10 可見，隨著紫銅墊片長度的增大，簧片1 末端變形減小，簧片2 末端變形增加，且越來越接近。在圖11中，存在一相應的墊片長度使得板簧片1 在A 處和板簧片2 在B 處的彎曲應力值相等，且板簧片彎曲應力隨著墊片長度的增大先增加后減小。

圖10 墊片長度對簧片變形影響

圖11 不同墊片長度下的簧片應力曲線

3.2 板簧片厚度對變形和應力的影響

板簧片作為板簧扭振減振器的核心部件，對減振器的減振性能至關重要。以某型減振器為例，研究板簧片厚度等參數對變形和應力的影響規律，以指導減振器的設計。用式（1）計算10 組不同板簧片厚度下板簧片1 末端撓度，用式（2）計算10 組不同板簧片厚度下板簧片2 末端撓度，用式（3）計算10 組不同板簧片厚度下板簧片1 在A 處的彎曲應力，用式（4）計算10組不同板簧片厚度下板簧片2 在B 處的彎曲應力。此時，只改變板簧片的厚度，其余設計參數不變。

圖12 為板簧片厚度與板簧片變形關系曲線，不同板簧片厚度下的板簧片應力曲線如圖13 所示。由圖12 可以看出板簧片1 和板簧片2 末端變形均與板簧片厚度成負相關。圖13 表明板簧片1 在A 處彎曲應力值和板簧片2 在B 處應力值隨板簧片厚度的增大而顯著減小。

圖12 簧片厚度與簧片變形關系曲線

圖13 不同板簧片厚度下的應力曲線

4 結束語

對依據Timoshenko 梁理論構建的板簧扭振減振器高精度的力學模型，本研究利用Matlab 軟件編寫的基于Runge-Kutta 法的數值求解程序得到了所述模型中關鍵參數的數值解，采用了有限元分析進行求解驗證，并在此基礎上探討了力學性質的影響參數及規律，主要結論如下：

（1）基于Runge-Kutta 法的數值求解結果與有限元數值吻合較好，具有較高的分析精度。證實了本研究方法可以用于減振器的計算分析。

（2）計算并給出了減振器板簧片的撓度和彎曲應力曲線。隨著紫銅墊片長度的增大，上、下兩板簧片末端變形越來越接近，且板簧片1 彎曲應力最大處A和板簧片2 彎曲應力最大處B 的彎曲應力均隨著墊片長度的增大先增加后減小。板簧片末端變形、板簧片1 彎曲應力最大處A 和板簧片2 彎曲應力最大處B 的彎曲應力均隨板簧片厚度的增大而顯著減小。

（3）在減振器的設計、制造和選型中，所提出的應力應變影響規律可起到有益的參考作用，豐富了減振器的計算方法研究。