探索性數學教學實驗培養學生創新素質的研究與實踐

趙 勇

（廣安職業技術學院師范學院，四川廣安 638000）

0 引言

“創新是一個民族進步的靈魂，是一個國家興旺發達的不竭動力，也是中華民族最深沉的民族稟賦?！薄秶覄撔买寗影l展戰略綱要》［1］指出，要讓創新成為引領發展的第一動力，要推動教育創新，把科學精神、創新思維、創造能力和社會責任感的培養貫穿教育全過程。數學作為現代理性文化的核心，是科技創新必不可少的一種資源，是一種普遍適用并賦予人以能力的技術，高技術本質上是一種數學技術正在成為共識［2］。

探索性實驗是指采用科學思維方法，進行大膽設計，探索研究的一種開放式教學實驗，實驗實施的基本程序與科研過程基本一致［3］。探索性數學實驗不僅要用到數學知識，還要用到非數學領域的知識，按照分析整理的數據與信息自行設定已知條件，將問題經過數學抽象轉化為數學問題，利用數學經典理論和算法提出解決思路和解決方案。探索性數學實驗強調學生的主體地位，訓練學生快速獲取信息和資料、快速了解和掌握新知識的能力、團隊合作意識和團隊合作精神、邏輯思維和開放性思考方式，是培養大學生創新素養——即創新人格、創新思維、創新實踐的有效途徑。

1 探索性數學實驗的構建

高校數學教師在教學過程中，不能停留在營造創新的“氛圍”、開展創新“活動”，而應設計有探索性的數學實驗任務，鼓勵學生利用創新思維、創新實踐完成任務并及時給予有效指導。探索性數學實驗與生產、生活實際緊密結合，所解決的問題沒有經過數學抽象和數量轉化，量與量之間的關系不明確，需要學生自己動手去采集、分析、整理數據和信息。在教學實踐中，利用國家政策、社會熱點、生活實際需求構建項目任務，驅動學生發現問題、分析問題、解決問題，越來越受到師生的歡迎與青睞。究其原因，在于探索性數學實驗有一定的挑戰度，沒有創新就不能完成實驗任務，學生通過實驗獲取了信息歸結、探求新知、思維創新，最終解決問題所帶來的成就感、獲得感。

探索性數學實驗構建原則上要學生參與，通過數學協會在全校廣泛征集實際問題，由學生自行查閱資料，擬定實驗方案，與指導教師一起敲定實驗方案，發布并實施，學生自行組隊開展實驗，實驗以課題的形式加以推進。根據實驗方案進行反復實驗、討論，提出解決方案，對比分析實驗結果，提升學生學習數學的興趣度、挑戰度和獲得感；要求學生撰寫實驗報告，格式應工整，圖文并茂，程序規范；實驗完成后要總結匯報，組織數模協會學生對實驗進行總結，相互交流，取長補短。

2 探索性數學實驗的案例

結合成渝地區雙城經濟圈這一國家級的發展戰略，形成了優化成渝地區城市群旅游交通路線為任務的實驗題目：《2019 年新型城鎮化建設重點任務》明確將成渝城市群與京津冀城市群、長三角城市群和粵港澳城市群并列［4］。成渝城市群旅游資源非常豐富，連接旅游城市的高速公路網絡較為完善，2019 年川渝高速總里程超10 000 km，預計到2022 年將達到12 000 km，高速公路在促進交通運輸與旅游融合發展發揮了重要作用。旅游交通特別是高速公路交通的便利程度，是區域旅游業是否發達的重要因素。試從旅游一體化發展、旅行成本最小化的角度，優化成渝城市群旅游交通路線。

2.1 問題的數學轉化

針對該問題，學生查閱、整理和分析相關資料，得到如下結論：旅游交通路線的選擇是旅行組織最優先考慮首要成本要素，尋求最短的交通路線是游客追求時間最少獲得更多的旅游體驗、旅行社追求最小的成本獲得最大的收益的前提。在旅游交通線路線路況、交通流量等相差不大的情況下，最優化路線實際上就是遍歷所有旅游城市的最短交通路線。尋求最短路線是節約旅游成本、時間的最好途徑，也是規劃旅游線路的首要考慮。于是，問題就轉化為求遍歷n 個川渝旅游城市最短的高速公路旅行路線，其中這n 個城市學生可以自行選擇。問題經過數學抽象和轉化后，學生開展實驗的方向明確了，接下來就是合理假設和尋求問題的解決方案。

2.2 解決問題的基礎知識

圖是由表示頂點的集合V 和表示頂點之間關系的集合E組成的，通常表示為G=（V，E），其中，G 表示一個圖，V是圖G中頂點的有窮非空集合，E 是圖G中邊的有限集合。設G 為圖，圖的頂點集為V=｛v1，v2，…，vn｝，邊集為E=｛e1，e2，…，en｝，對圖的每一條邊e=（vi，vj）來說，都對應于一個實數wij（可以理解為邊的“長度”），把wij稱為e 的“權”，這樣的圖G 稱為“加權圖”，其加權鄰接矩陣L=（lij）n×n可以定義為

圖的用途是將圖中的點和映射關系反映到現實生活，例如“頂點”可以對應為旅游交通節點城市；邊對應節點城市公路的長度，如此便構成了一張區域交通圖。旅游交通路線是指連接旅游城市的高速公路網絡，如果只考慮旅游城市與高速公路構成的網絡的拓撲關系，可將旅游交通路線抽象成一個圖（Graph），其中旅游城市是圖的頂點；連接旅游城市的高速公路是圖的邊。在圖論中，最短路問題通常指求加權圖中兩個指定點（一般為不相鄰的點）之間的最短路徑。許多學者開展了最短路問題和最短路徑優化問題的研究，如文獻［5-12］。

0-1 規劃是決策變量僅取值0 或1 的規劃模型。0-1 變量可以數量化地描述諸如開與關、取與棄、有與無等現象所反映的離散變量間的邏輯關系、順序關系，以及互斥的約束條件，因此0-1 規劃模型非常適合描述和解決如線路設計、工廠選址、生產計劃安排、人員安排、代碼選取、可靠性等人們所關心的多種問題，是運籌學的重要分支［13-14］。

2.3 兩點之間最短路問題一般模型

已知無向加權圖有n個頂點，設為v1，v2，…，vn，見圖1。

假設圖G的加權鄰接矩陣為

其中：lii=0。若vi，vj之間沒有邊，不直接連通，則lij=∞；若vi，vj之間有邊，則lij=wij，i，j=1，2，…，n。圖1是無向圖，L0是對稱矩陣，lij=lji。

圖1 有n個頂點的加權圖

利用Floyd 算法計算各頂點之間的最短通路值，其基本思路是：遞推產生一個矩陣序列L0，L1，L2，…，Lk，…，Ln，Lk（i，j）表示從頂點vi到頂點vj的路徑上所經過的頂點序號不大于k的最短路徑長度。建立迭代模型如下：

其中：k是迭代次數，i，j，k=1，2，…，n。當k=n 時，Ln即是各頂點之間的最短路徑［15-16］。

2.4 遍歷所有頂點的最短路徑一般模型

假設n個頂點每2 個頂點以最短的距離互相連通，dij表示vi到vj的最短距離。設0-1 矩陣Xij=（xij）n×n，且xij=于是，若每個點之前只有一個點，1，i=1，2，…，n；若每個點之前只有一個點，則1，j=1，2，…，n。同時，為避免在一次遍歷n個點的計算過程中產生多于一個互不相連的回路，加入約束條件，引入額外變量ui（i=1，2，…，n），使得：ui-uj+nxij≤n-1，1 ＜i≠j≤n。對于此約束條件的解釋是：一方面，vi、vj不可能構成回路。若構成回路，則xij=1 且xji=1，則ui-uj≤-1 且uj-ui≤-1，于是0≤-2，矛盾。另一方面，vi、vj和vk不可能構成回路。若構成回路，則xij=1、xjk=1 且xki=1，于是ui-uj≤-1、uj-uk≤-1 且uk-ui≤-1，三式子相加可得0≤-3，矛盾。

于是可以建立最短路徑的一般模型如下：

2.5 成渝城市群最短旅游交通路線實際案例

學生選取川東北地級市南充、廣安、達州、遂寧和重慶的合川、沙坪壩、永川、南川、武隆9 個成渝地區旅游節點城市，以高速公路交通線路構建城市群旅游路線，9 個城市交通矢量圖如圖2 所示。

圖2 9個城市高速公路交通矢量圖

假設以廣安為起點和終點（即從廣安出發，旅行完8 個城市后回到廣安）求解最短交通路線。利用模型（1）、（2）求出遍歷9 個城市的最短路線。假設9 個城市與圖的頂點對應關系見表1。

表1 9 個城市與圖的頂點對應關系

第1 步：根據任意兩點最短路徑求解模型（1），編寫Lingo程序如下：

可以計算出各個節點城市之間的最短距離，見表2。

表2 9 個節點城市之間的最短距離

第2 步：根據遍歷所有頂點的最短路徑求解模型（2），編寫Lingo程序：

計算出最優化路線為：v1→v2→v3→v5→v6→v7→v8→v9→v4→v1，即最優化的旅游交通路線為廣安→南充→遂寧→合川→沙坪壩→永川→南川→武隆→達州→廣安，如圖3 所示。

圖3 9個城市高速最短路徑

3 探索性數學實驗的效果

本探索性實驗解決問題采用的算法和軟件較多，大致可以歸納為以下幾個算法和軟件（見表3）。

表3 學生采用的算法和軟件

學生基于圖論知識，積極學習、掌握以上算法的基本思路，融匯貫通，創建了切實可行的模型，比較圓滿地解決了問題。對于參與本實驗的12 個小組使用的算法情況統計如表4。

表4 12 個小組使用的算法、程序統計

通過實施探索性數學實驗，對學生創新人格、創新思維、創新實踐有積極影響，有效培養了大學生的創新素養。具體表現在以下3 個方面：①激發了學生好奇心，培養勇于挑戰、獨立自信的良好特質，解決了“想不想”的問題。探索性實驗來源于生產生活，沒有經過數學抽象和數量轉化，沒有解決的范式和套路，具有一定的難度和挑戰性，能有效激發學生的好奇心、樹立學生自信心，引導學生不畏困難、勇于挑戰。②訓練學生進行信息梳理聚焦，多角度尋找解決問題的方法，鍛煉了學生思維能力，解決“能不能”的問題。實驗以項目的方式展開，鼓勵學生積極探索，運用新知識、新技術、新方法開展實驗研究。統計數據顯示，學生在實驗中創新運用了各種新知識、新理論和新軟件，進一步鍛煉了學生邏輯思維和開放性思考方式，拓展了學生理論知識的應用實踐，有效培養學生的創新思維。③有效驅動學生全身心投入創新實踐，解決學生“做不做”的問題。探索性數學實驗鍛煉了學生快速獲取信息和資料的能力，學生必須快速查閱大量信息和資料，才能對問題有全面、深入地了解，問題的數學轉化才準確、具體；實驗中每個人分工明確，同時又相互協作，一起討論實驗方案，充分討論數學模型和求解方案，在個性得到充分彰顯的同時，更注重團隊協作。

表5 所示清晰地列出了探索性數學實驗對學生創新素養的培養效果。

表5 探索性數學實驗對學生創新素養的影響

近年來，學生在全國大學生建模大賽中獲得全國一等獎2 項，二等獎5 項，省級獎17 項，較探索性數學實驗實施之前增加100%；學生科研近年來申請實用新型專利2 項，與教師申報校級科研課題3 項，發表論文5 篇。

4 結語

相對于既定的數學實驗，以任務驅動的探索性數學實驗，更能激發學生自主學習的積極性，提升了學生學習數學的興趣度、挑戰度和獲得感，有利于學生創新素養的培養。但探索性數學實驗實施過程中也存在一系列問題，比如：學生對背景資料的查閱、分析、整理不夠重視，知識點沒有完全吃透便急于開始實驗；實驗報告的撰寫浮躁、低級錯誤較多，如排版、字體字號不規范；在實驗過程中或多或少存在著依賴現象，對問題沒有自行深入學習、分析和研究，遇到問題便請教老師等。對于探索性數學實驗，我們將進一步規范流程和要求，完善評價體系，注重過程性評價，鼓勵學生進行思維、知識、理論和實踐創新，提升學生的創新素養，不斷鞏固實驗效果，為培養新時代創新型人才貢獻數學力量。