一道物理高考題目的多個變式及解析

摘 要：對2018全國1卷一道運動學和動力學結合的題目進行分析.給出該題目的三個變式（僅僅是改變一些條件），分別根據動能定理和運動學公式進行解析.

關鍵詞：煙花彈;爆炸;初速度;機械能;質心

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0092-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：王偉民（1964-），男，安徽省太和人，本科，中學高級教師，從事中學物理教學研究.

原題呈現 （2018理綜全國1卷第24題）一質量為m的煙花彈獲得動能E后，從地面豎直升空.當煙花彈上升的速度為零時，彈中火藥爆炸將煙花彈炸為質量相等的兩部分，兩部分獲得的動能之和也為E，且均沿豎直方向運動.爆炸時間極短，重力加速度大小為g，不計空氣阻力和火藥的質量.求：

（1）煙花彈從地面開始上升到彈中火藥爆炸所經過的時間;

（2）爆炸后煙花彈向上運動的部分距地面的最大高度.

這道題目短小精悍，只有區區一百多字，卻把物理情景交待的明明白白;該題目所給的已知條件很少，只有三個物理量——動能、質量和重力加速度（只給出這么多條件的大題，應該非常的少有），但求解問題的過程卻需要牽扯到多個物理原理和公式，考察知識點的個數并不少，體現了編者匠心獨具的高超編題水平.

本題滿分12分，屬于試卷中的“大題”，是理綜試卷物理部分的倒數第二題，在人們的心目中，這一位置正是試卷“壓軸題”的位置.雖說該題目考察的知識點不少，但是，與之前各年份的物理卷“壓軸”題目相比，似乎“壓軸”的分量不足——這或許是編者的有意而為吧——降低題目難度，也許可以改變長期以來師生心目中“物理學科是所有高考科目中難度最大學科”的認識，可以發現，2019年和2020年全國高考物理卷及地方高考物理卷在壓軸題的難度上大多依然沿襲了這一“難度風格”，難怪很多老師一致認為，2018年的高考或許會成為以后物理高考試卷在難度編制上的“風向標”.

實際上，該題目條件稍加改變，即可變形為與原題目類型相同，但難度相對較大，與往年高考“壓軸”題相“匹配”的多個變式題目來.

變式1 一質量為m的煙花彈獲得動能E后，從地面豎直升空.當煙花彈上升的速度為零時，彈中火藥爆炸將煙花彈炸為質量相等的很多碎片，這些碎片因火藥爆炸獲得的外力相同，獲得的動能之和也為E，且沿不同的方向向外運動（各個方向分布均勻）.爆炸時間極短，重力加速度大小為g，不計空氣阻力和火藥的質量.求：

（1）煙花彈從地面開始上升到彈中火藥爆炸所經過的時間;

（2）爆炸后煙花彈豎直向上運動的碎片距地面的最大高度;

（3）求證：在所有碎片未落地之前，它們在同一個球殼上.

分析 與原題目相比，改變了一個條件——將原題目中的條件“彈中火藥爆炸將煙花彈炸為質量相等的兩部分”更改為“彈中火藥爆炸將煙花彈炸為質量相等的很多部分”，這樣改變的結果，一方面使問題更具一般性（“兩個相等部分”是“多個相等部分”的特例，所以，后者更具一般性），同時也更與實際情況相符，生活中我們所見到的煙花在空中綻放，大多是煙花球被炸成很多碎片后向外擴展，在空中形成美麗的煙花圖案，很少有只炸出兩塊并分別沿豎直方向上下運動的情形.同時又增添了一個新的問題，這樣改編的結果，使得題目的難度系數明顯增大.

解析 （1）由E=12mv2得v=2Em=2Emm，所以，煙花彈從地面開始上升到彈中火藥爆炸所經過的時間為t=vg =2Emmg

（2）設煙花爆炸后被炸成n個質量相等的碎片，則每片碎片的質量為mn，每片碎片的動能為En，設豎直向上運動的碎片因火藥爆炸而獲得的初速度為v，煙花球未爆炸前從地面上升到最高點時（即速度為0時）的高度為h1，爆炸后豎直上升的碎片從爆炸點上升的最大高度為h，則有：

h1=Emg，h2=Enmng =Emg

所以，爆炸后煙花彈豎直向上運動的碎片距地面的最大高度為h=h1+h2 =2Emg

（3）證明：以煙花的爆炸點為坐標原點，水平方向為x軸的正方向（水平方向任意選擇，比如指向東方，南方或其他任意方向均可）建立平面直角坐標系，我們分析在該豎直平面內各煙花碎片的運動規律后，再推廣至一般情況.

設爆炸后的n個質量相等的碎片中，某個碎片的初始運動速度與x軸正方向的夾角為θ，速度大小為v，

因為En=12·mn·v2，所以v=2Em =2Emm

設t時間后，該碎片的坐標為（x，y））則有：

x=vtcosθ=2Emcosθmt，

y=vtsinθ-12gt2=2Emsinθmt-12gt2

由爆炸時刻開始，以從爆炸點自由下落的點作為參考點，探究爆炸后的碎片離開參考點距離的變化規律.易知，時間t后，參考點的坐標（X，Y）為：

X=0，Y=-12gt2

所以，t時間后，運動的碎片與參考點之間的距離d為：

d=（x-X）2+（y-Y）2=（2Emcosθmt）2+（2Emsinθmt）2=2Emmt

由d=2Emmt可知，在某個豎直平面內爆炸碎片離開參考點的距離，與其初始運動方向無關，是時間t的正比例函數.因為坐標系所在的豎直平面是任意選取的，所以，在空間內向各個方向運動的初始速度相同的煙花碎片，在爆炸后的任意時刻，都在同一個球面上——一個半徑隨時間均勻增加，球心作自由落體運動的球面上.

變式2 一質量為m的煙花彈獲得動能E后，從地面豎直升空.當煙花彈上升的速度為零時，彈中火藥爆炸將煙花彈炸為質量相等很多碎片，這些碎片因火藥爆炸獲得的外力相同，獲得的動能之和也為E，且沿不同的方向向外運動（各個方向分布均勻）.爆炸時間極短，重力加速度大小為g，不計空氣阻力和火藥的質量.求：

（1）從火藥爆炸到剛有煙花碎片觸及地面所用的時間;

（2）落地后，煙花碎片在地面上覆蓋圓面的半徑.

解析 （1）煙花獲得動能 并升高到最高點時，動能全部轉化為重力勢能，此時，煙花距離地面的高度為h=Emg.因為在爆炸點各碎片的質量和動能相同，所以，向各個不同方向運動的碎片的初始速度相同，不妨設碎片個數為n，初始速度為v0，則有：

12（mn）v20=En

∴v0=2Em

由于爆炸后的各碎片獲得的動能跟爆炸前的這塊碎片的重力勢能相等，所以，爆炸后每個碎片的機械能是爆炸前的2倍，不考慮空氣阻力的情況下，落至地面時碎片的速度是它在最高點因爆炸而獲得初始速度的2倍：

v=2v0 =2Em

其中豎直下落的煙花碎片最先到達地面，所用時間為：

t=v-v0g =2Em-2Emg =2Em-2Emmg

（2）以煙花在地面上的拋出點為坐標原點建立如圖1所示的平面直角坐標系，則在水平地面上（即圖1中的x軸）煙花碎片落地點離開O點最遠的點到O點的距離，就是煙花碎片在地面上覆蓋圓面的半徑.

設某煙花碎片的運動方向斜向上且與水平面的夾角為θ，落至地面時該碎片的坐標為（X，0），則有：

h=-v0tsinθ+12gt2

X=v0tcosθ

兩式結合，消去θ得：

X2=-14g2t4+（hg+v20）t2-h2

顯然，X2是t2的二次函數，二次項系數-14g2<0，所以X2有極大值：

圖1 圖2

X2max=g2h2-（hg+v20）2-g2=v40+2hgv20g2

∴Xmax=v0v20+2hgg=2Em2Em+2·Emggg=22Emg

變式3 一質量為m 的煙花彈獲得動能E 后，從地面開始沿與水平方向成60°角的方向傾斜升空.當煙花彈上升到最高點時，彈中火藥爆炸將煙花彈炸為質量相等很多部分，這些部分獲得的動能之和也為E（相對于運動的煙花） ，且沿不同的方向向外運動（各個方向分布均勻）.爆炸時間極短，各煙花碎片因火藥爆炸獲得的動能相等，重力加速度大小為g，不計空氣阻力和火藥的質量.求：

（1）最先觸及地面的煙花碎片到拋出點的距離;

（2）剛有煙花碎片觸及地面時煙花圖案在空中形成球面的半徑.

解析 煙花爆炸之后，由于爆炸時碎片間的作用力屬于系統內力，所以，整個煙花碎片組成系統質心的運動軌跡，不會因為煙花炸裂開來而有任何的改變，系統質心（即煙花碎片組成球面的球心）依然沿原有的拋物線軌道繼續往前運行.以煙花的拋出點為坐標原點建立如圖2所示的平面直角坐標系.

設獲得動能E之后，煙花從拋出點傾斜上升的初始速度為v0，由E=12mv20得：v0=2Em.從地面拋出時間t后，煙花在坐標系內的縱橫坐標分別為：

y=v0tsin60°-12gt2=32v0t-12gt2，

x=v0tcos60°=12v0t

兩式結合，消去時間t，得到煙花在空中運行的拋物線為：

y=-2gv20x2+3x，其頂點P的坐標（也是煙花的爆炸點）為（3v204g，3v208g）

設煙花碎片的個數為n，由于相對于運動的煙花，各碎片獲得的動能之和為E，所以，以運動煙花的質心（在爆炸點）為參照物，各煙花碎片獲得的動能相同，都是En，所以，各煙花碎片因爆炸而獲得的相對質心的速度大小相同，都是2Em

從煙花爆炸點P開始計時，設往后的時間t時刻，煙花碎片在空中組成的球面剛好與x軸相切（即最先有煙花碎片觸地），切點為B，則有：

3v208g-12gt2=2Emt，

即6E8mg-12gt2=2Emt

∴12gt2+2Emt-3E4mg=0

∴t=-2Em±2Em+4·12g·3E4mgg

=-2Em±7E2mg（負舍）

取t=-2Em+7E2mg

所以，最先觸地的煙花碎片，從煙花在最高點爆炸到最后觸地的過程中，水平運動的距離為（參見圖2）：

HB=v0tcos60°=2Em·-2Em+7E2mg·12

=（7-2）E2mg

因此，最先觸及地面的煙花碎片到拋出點的距離為：

OB=OH+HB =3v204g+（7-2）E2mg =（3+7-2）E2mg

（2）剛有煙花碎片觸及地面時煙花圖案在空中形成球面的半徑為：

AB=v0t =2Em·-2Em+7E2mg =（7-2）Emg

應該說，生活中很少見到圖2所示的情形，這主要是因為煙花綻放之后，向各個方向飛行的碎片由于相對于地面的速度不等，因而所受空氣的阻力不等，考慮空氣阻力時煙花碎片組成的圖案將不再是球形;同時，四散的碎片溫度會急劇降低而失去亮度，不再發光的碎片在夜晚的空中也就不能被眼睛看到了.

參考文獻：

[1]胡小波.基于知識 立于能力 顯現素養——2018天津高考物理壓軸題的多種解法分析[J].數理化解題研究，2020（12）：73-75.

[2]劉汝社.由一道經典題目引發的思考[J].中學物理教學參考，2020（11）：49.

[責任編輯：李 璟]