由一道2021年高考?？級狠S題引發的研究

摘 要：離心率是圓錐曲線的一個重要的基本量，求離心率的值或取值范圍是高考的重點、難點和高頻點. 該知識點的考查緊緊依托教材，源于課本，高于課本.往往由若干基本知識，經過類比、引申、改編而成.

關鍵詞：雙曲線;漸近線;離心率

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）34-0022-03

收稿日期：2021-09-05

作者簡介：

李昌成（1977.9-），男，四川省資陽人，本科，中學正高級教師，從事高中數學教學研究.

一、題目呈現

題目 （2021年新高考一模試卷第12題）已知F1，F2是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，過點F2作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點A，交另一條漸近線于點B，且AF2=13F2B，則該雙曲線的離心率為（）.

A.62B. 3C. 362D.33

二、總體分析

本題是新高考一模試卷中多選題的壓軸題，著重考查雙曲線的幾何性質和離心率. 該試題新穎而又有創造性，解法更是多樣化. 教師在平時的課堂教學中，要引導學生理解由離心率的變化帶來的雙曲線的變化，在解題過程中選擇正確的方法，這樣才能夠快速準確地求出雙曲線的離心率.

王尚志教授曾提出開展主題教學的主張——教師應以“章”或數學中的重要主題或選擇通性通法作為學習主題，防止學習內容的“碎片化”，使學習過程具有全局觀念下的連貫性，在主題學習活動中提高學生的數學核心素養.

筆者試著遵循以上的求解思路和學習主張，由具體推及一般，找到解決此類問題的通性通法，以期達到拋磚引玉之功效.

三、試題解答

題設中給出的是兩線段的長度關系，并不明確點F2是內比分點還是外比分點，因此需要分AF2=13F2B和AF2=-13F2B兩種情況求解.

情況1即AF2=13F2B.

解法1 利用平面解析幾何知識結合雙曲線的性質推理求解.

設OA所在的直線方程為y=bax，即bx-ay=0，則AF2=bcb2+a2=bcc=b.又OF2=c，所以OA=OF22-AF22=c2-b2=a.

由題及圖1，易得F2為AB的內比分點，所以F2B=3AF2=3b.

設∠AOF2=α，則∠AOB=2α.

在RtΔOAF2中，tanα=ba，在RtΔOAB中，tan2α=4ba，又tan2α=2tanα1-tan2α，

所以2·ba1-（ba）2=4ba，化簡整理，得b2a2=12，結合b2=c2-a2，以及e=ca，解得e=62.

解法2利用向量條件中所含的幾何關系和代數關系，借助直線的方程推理運算求解.

由已知條件得，直線OA方程為y=bax，①

直線OB方程為y=-bax，②

直線AB方程為y=-ab（x-c），③

聯立①③得xA=a2c，聯立②③得xB=a2ca2-b2.

由AF2=13F2B，有c-xA=13（xB-c），

所以3（c-a2c）=a2ca2-b2-c.（*）

整理，得2c4-5a2c2+3a4=0，所以2e4-5e2+3=0，即（2e2-3）（e2-1）=0.

又e>1，所以e=62.

情況2即 AF2=-13F2B.

結合解法1，AF2=b，OF2=c，所以OA=OF22-AF22=a.

由題及圖2，易得F2為AB的外比分點，所以F2B=3AF2=3b，AB=F2B-AF2=2b.

設∠AOF2=α，則∠AOB=π-2α.

在RtΔOAF2中，tanα=ba，在RtΔOAB中，tan（π-2α）=2ba，tan2α=-2ba，又tan2α=2tanα1-tan2α，所以2·ba1-（ba）2=-2ba，化簡整理，得b2a2=2，解得e=3.

綜合以上兩種情況，本題正確選項為AB.

評析 解法1本質上是幾何法，以垂直為切入點，又因為兩條漸近線關于x軸對稱，所以存在二倍角關系，將這些要素結合起來，建立雙曲線中基本量之間的關系式，從而順利求解;而解法2則是聯立直線方程，求出A，B兩點的橫坐標，再結合兩向量間的關系求解，思路自然，解題過程并不復雜. 在平時的解題教學中，教師要有意識地啟發、引導學生從不同的角度進行思考，同時鼓勵大家嘗試不同的解題思路和方法，逐步提高學生的思維能力和運算能力.

四、一般推廣

結論 已知F1，F2是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，過點F2作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為點A，交另一條漸近線于點B，且AF2=λF2B，則該雙曲線的離心率為e=2λ+1 .

解析 此處不明確點F2是內比分點還是外比分點，因此需要分兩種情況討論.

以下重點結合解法1求解，得出一般結論.

（1）若λ>0，即點F2為AB的內比分點（如圖1），可求得AF2=b，F2B=1λb，OA=c2-a2=b.

設∠AOF2=α，則∠AOB=2α.

由已知條件易得tanα=ba，tan2α=b+1λba=（λ+1）bλa.

又tan2α=2tanα1-tan2α，所以2·ba1-（ba）2=（λ+1）bλa.

結合b2=c2-a2，化簡，整理得λ=2a2-c2c2=2e2-1，所以e2=2λ+1，即e=2λ+1.

（2）若λ<0，顯然λ>-1，即點F2為AB的外比分點（如圖2），易求得AF2=b，F2B=-1λb，OA=c2-a2=b.

設∠AOF2=α，則∠AOB=π-2α.

由已知條件及圖可得AB=F2B-AF2=-1λb-b=-λ+1λb，因此tanα=ba，tan（π-2α）=-λ+1λba=-（λ+1）bλa.

又tan（π-2α）=-tan2α，所以tan2α=（λ+1）bλa.以下同（1），求得e=2λ+1 .

評析 本題是此類問題的一般推廣，因為參數的正負不明確，所以在研究時需要討論.根據直線與雙曲線的位置關系畫出對應的圖象，再利用數形結合，找到基本量之間的關系式，通過整理、變形、化簡，最終得到離心率. 通過求解的最終結果，發現點F2無論是線段AB的內比分點還是外比分點，（注：垂足A為起點，F2為分點，B為終點）都可以得出統一的結論，即e=2λ+1. 而這種類型的題，基本上是以選擇題的壓軸題出現. 只要大家理清了問題的本質，可以直接帶值求解，這樣既節省解題時間，又提高了解題效率.（有興趣的讀者可以針對文首的壓軸題分別代入λ=13和λ=-13進行求解驗證）

五、解題反思

本文是專門探討一類求解雙曲線的離心率的經典題型，即經過雙曲線的一個焦點的直線與其中一條漸近線垂直，與另一條漸近線相交，在明確長度關系的條件下，求離心率的問題.求解方案通常有兩類：一類是綜合幾何法，以直觀想象為基礎，以曲線的定義及幾何性質為抓手推理運算求解;另一類是解析幾何法，以數學運算為基礎，依托曲線的方程為切入點，通過運算推理求解. 直觀想象素養為第一方案的思路產生提供了保障，而數學運算素養為第二類方案的思路產生提供了支撐.同時邏輯推理素養是兩種方案中不可缺少的共同基礎.

通過研究近幾年的考題，發現題目中基本沒有給出圖形，因此這就需要解題者結合題意，快速準確地畫出圖形，并從中找出幾何關系，再轉化為數量關系求解. 有時也可以借助幾何直觀助力思考，從而不斷提高解題者的直觀想象能力和邏輯推理能力. 同時還可以借助向量、三角函數等知識簡化運算，培養學生的解題能力和思維能力.基于新課程改革的要求，如何在解題教學中落實學生的核心素養，是每一位教育工作者需要深入思考的問題. 在教學中注重數形結合的思想，方程的思想，在對圓錐曲線等解析幾何問題的解答過程中，需要將幾何問題代數化，培養學生的數學應用意識，切實將數學抽象、數學運算、直觀想象等核心素養落到實處.

參考文獻：

[1]陳言.基于數學教學主題 培養數學核心素養——以“再探圓錐曲線的離心率”教學為例[J].福建基礎教育研究，2019（07）：57-58.

[2]王尚志.如何在數學教育中提升學生的數學核心素養[J].中國教師，2016（09）：33-38.

[責任編輯：李 璟]