基于寬度與期望值的區間值映射的若干性質

張林芬，包玉娥

(內蒙古民族大學 數理學院，內蒙古 通遼 028043)

區間數及區間值映射是區間分析中的兩個重要組成部分.因此，Moore R E等[1-4]對區間數及區間值映射進行了研究，使得區間數及區間值映射成為國內外學者關注的熱點問題.

代兵等[5]給出了區間數絕對值的概念及相關的性質，并利用區間數的H-差和區間數絕對值的概念給出了區間值函數的極限概念及相關性質.李娜等[6]用區間數的半序關系給出了區間數集的有界及確界概念，并證明了確界的存在性定理.Luciano S等[7]利用區間數的寬度和期望值討論了區間值函數的廣義可微性(gH-可微性)問題，并得到了一系列有價值的結論.Bao Y E等[8-10]給出了區間值映射的D-可微性和方向可微性的概念及相關性質，并且利用區間數的寬度和期望值給出了一種新的區間數的距離公式及相關性質，證明了其完備性.

上述文獻[5-6]及已有的有關區間值映射的可微性方面的研究工作均在區間數的半序關系下涉及到區間數的H-差或gH-差.區間數的序關系及差運算的復雜性，對研究工作帶來了一定的難度.從而受文獻[7]的啟發，在文獻[8-10]的基礎上，利用區間數的寬度和期望值，給出區間數的一種新的全序關系，并討論區間數集的有界及確界的存在性問題.同時利用寬度函數和期望值函數討論區間值映射的極限、連續性及可微性問題.

1 區間數集的有界性

下面利用期望值與寬度給出區間數的一種全序關系，并討論此全序關系下的區間數集的有界性及確界的存在性問題.

設a為A的任意上界，a0為A的一個上界.若a0≤a，則稱a0為A的上確界.記作a0=supA.同樣的方法可定義A的下界和下確界b0=infA.

定義4[6]設A為一個非空的區間數集.若A既有上界又有下界，則稱A為有界的區間數集.

且易證a0為A的一個上界，b0為A的一個下界.

2 區間值映射的極限與連續性

下面利用期望值函數和寬度函數討論區間值映射的極限和連續性問題.

所以F(x)在x=x0處若存在極限，則有唯一的極限.

定理3 設:

于是根據實值函數的極限性質，有:

又由性質1得:

于是根據實值函數的極限性質有:

又因為存在δ>0，當0<|x-x0|<δ時,有:

于是根據實值函數極限的兩邊夾定理，有:

下面討論區間值映射的EW-連續性問題.

定理6 若區間值映射:

均在x0處EW-連續，則:

(i)F+G在x0處EW-連續；(ii) 若F-HG存在，則F-HG在x0處EW-連續.

所以F+G在x0處EW-連續.

3 區間值映射的可微性

本節利用期望值函數和寬度函數討論區間值映射的可微性問題.

定理7 設F:M→[R]是區間值映射，M是R中開集，如果F在x0處EW-可導(x0∈M)，則F在x0處EW-連續.

定理8 設F:M→[R]是區間值映射，M是R中開集，如果F在x0處H-可導(x0∈M)，則F在x0處EW-可導.

根據H-差的性質，有:

從而:

(1)

(2)

同理可得:

(3)

(4)

于是由式(1)和式(2)有:

(5)

(6)

同理由式(3)和式(4)可以推出:

(7)

(8)

因此如果F在x0處H-可導，則F在x0處EW-可導.

注1F在x0處EW-可導，但不一定H-可導.

例2 設區間值映射F(x)=[x2,x3+4],x∈(-1,1)，則對x=0∈(-1,1)，有:

所以F在x0處EW-可導，且FEW′(0)=[0,0].

4 結論

在研究區間值優化及區間值微分方程等理論中，區間值映射的極限及微分概念起著重要作用.本文基于區間數的期望值和寬度的全序關系，引進了區間數集的有界及確界原理.在此基礎上，借助寬度函數和期望值函數給出了區間值映射的EW-極限、EW-可微等概念，并討論了相關性質.本文的研究工作避免了對區間數差運算的討論，這對區間值映射的可微性及其應用問題的研究提供了一種新的思想方法.