MIMO無線通信系統容量研究

孫會楠

(哈爾濱華德學院 電子與信息工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150025)

多輸入多輸出技術(MIMO)是無線通信領域中的重大技術性突破。它是指無線通信信號的發射端和接收端分別使用多個天線，使信號通過多條路徑傳送和接收，從而改善通信質量。MIMO是4G通信系統的核心技術，MIMO系統在不增加使用成本和技術難度的情況下，能夠大幅度改善通信系統的信道容量，和傳統的單輸入單輸出(SISO)系統相比有著顯而易見的優勢。因此，MIMO技術在未來的無線通信領域有著舉足輕重的地位[1]。

本文首先推導了MIMO信道容量的計算公式，其次應用MATLAB軟件對不同條件下的信道容量進行了仿真分析，并和單天線(SISO)系統、單輸入多輸出(SIMO)系統、多輸入單輸出(MISO)系統的信道容量進行對比，最后證明MIMO系統的優越性。

1 傳統通信系統的信道容量

1.1 SISO系統的信道容量

對于高斯信道，發射端發射的總功率為P，噪聲功率為σ2，則信道的香濃容量為

(1)

式中ρ=P/σ2，表示接收端獲得的信噪比。對于參數不變的單天線系統，在某一時刻具有固定的信道復數增益h的SISO信道容量可表示為

C=lb(1+ρ|h|2) 。

(2)

當信噪比較大時，信道容量隨信噪比的增加而增加。它們之間成對數關系，大約ρ每增加3 dB就可以使C增加1 bit/(s·Hz)。

對于隨機信道系數，式(2)所描述的信道容量也可以是一個隨機變量。此時可以得到SISO系統的遍歷容量[2]：

(3)

圖1為所描述的SISO信道容量仿真結果，收發天線數目均為1。由圖1可知，信道容量僅隨信噪比(SNR)的增加而增加。

圖1 SISO系統的信道容量

1.2 SIMO系統的信道容量

(4)

C=lb(1+nRρ)。

(5)

與SISO系統相比，SIMO系統的分集增益為nR。圖2所示為所描述的SIMO信道容量的仿真結果，接收天線數目分別為1、3、5、7、9。由圖2可知，信道容量不僅隨信噪比(SNR)增加而增加，還隨接收天線數量的增加而增加。但如果天線數量達到了一定的程度，此時再增加天線數量，信道容量增加的幅度就十分有限。

圖2 SIMO系統的信道容量

對于隨機信道系數，該信道容量為

(6)

1.3 MISO系統的信道容量

(7)

C=lb(1+ρ) 。

(8)

由式(8)可以看出，MISO信道容量并沒有受到分集增益的影響，這是因為發射的總功率被平均分配到了各個發射天線上的緣故。圖3所示為所描述的MISO信道容量的仿真結果，發射天線數目分別為1、3、5、7、9。由圖3可知，信道容量不僅隨信噪比(SNR)增加而增加，還隨接收天線數量的增加而增加。但相對于SISO系統的容量增加的很少，當天線數量大于3時，再增加其數量對信道容量并沒有明顯的改善。

圖3 MISO系統的信道容量

對于隨機信道系數，該信道容量為

(9)

2 MIMO系統的容量分析

2.1 MIMO信道容量推導過程

圖4為 MIMO系統框圖。其中，發射天線數目為nT，接收天線數目為nR。假設信道為nR×nT維矩陣H。其中，Hi,j表示第i個發射天線到第j個接收天線之間的衰落系數；發射端發射的信號為nT×1維列向量x，xi表示第i個天線上發射的向量；接收端接收的信道噪聲為nR×1維列向量n，噪聲模型為獨立分布的零均值的復高斯白噪聲，方差為δ2[4]。

圖4 MIMO系統框圖

對于圖4所示的系統，可表示為

y=Hx+n。

(10)

發射端無法獲取信道狀態信息，所以通常情況下每個發射端發射的信號功率是相同的，假設發射端發射的信號總功率為P，則單個發射端的發射功率為P/nT。由此可以推導出發射信號的協方差矩陣為

RXX=E(XXH)，

(11)

式中P=Trace(RXX)，這是由于發射功率受限所致。通過信息論的分析方法可以得出，發射信號的最佳分布模型為高斯分布，即發射信號均為高斯變量且互相獨立。根據一般情況下高斯分布的特性可得

(12)

假設接收端接收到的信號功率等于發射的總功率，忽略其他因素造成的衰落等不利影響，則可以利用信道矩陣的奇異值(SVD)分解推導得出MIMO信道容量。根據SVD分解法，對H進行分解可得

H=UDVH，

(13)

式中：U和V均為酉矩陣，滿足UUH=InR,VVH=InT；D為對角矩陣，是矩陣HHH特征值的算術平方根。將式(13)代入式(10)可得

y=UDVHx+n，

(14)

在式(14)的兩邊分別乘以UH，可得

UHy=DVHx+UHn，

(15)

式中VHx、UHn與x、n的統計特性完全一致，故該系統可以等效為i個SISO系統的集合。對于這種系統，其等效的系統模型如圖5所示。

圖5 MIMO的等效系統模型

(16)

式中Pyi為第i個子信道接收端接收到的信號功率。通過前邊假設的兩個條件可得

(17)

因此信道容量為

(18)

假設m=min(nT,nR)，特征值和特征向量之間的關系為

(λIm-W)y=0,y≠0，

(19)

式中W是威沙特(Wishart)矩陣，其定義為

(20)

當且僅當λIm-W為奇異矩陣時，λ是W的一個特征值，因此可得

det(λIm-W)=0。

(21)

通過查找式(20)的根，得到信道矩陣的特征值λ，因此式(21)左邊的特征多項式為

p(λ)=det(λIm-W)，

(22)

式中m為式 (22)的冪次。對于det(λIm-W)的拉普拉斯最小項乘積式，每一行λIm-W的元素對應λ的一次乘積項[5]。由于系數為復數的m次多項式具有m個零點，故式(22)的特征多項式為

(23)

因此可得

(24)

用-nTσ2/P替換式(24)中的λ，可得

(25)

由式(18)得到固定信道系數的MIMO信道容量公式，即

(26)

因為HHH和HHH具有相同的非零特征值，所以信道矩陣H和HH也具有相同的信道容量。對于隨機信道系數的MIMO系統，式(26)表示瞬時時刻的信道容量。

2.2 MIMO系統的各態歷經容量

根據式(25)的定義，對于隨機信道系數的MIMO系統，其遍歷容量為[6]

(27)

式中：m=min(nT,nR)；符號EH[.]表示對信道矩陣求數學期望;矩陣W為

(28)

式(27)還可以寫作[7]

(29)

(30)

圖6 MIMO系統的信道容量

圖7所示為所描述的MIMO系統中斷容量的累積分布函數的蒙特卡羅仿真結果，信噪比取30 dB。由圖7可知，隨著天線數量的增加，信道容量也不斷增加；而且也可以看出，MIMO系統與單天線(1×1)系統相比信道容量有了很大幅度的提高。

圖7 MIMO系統中斷容量的累積分布函數

3 SISO、SIMO、MISO與MIMO信道容量的綜合比較

為了綜合比較分析傳統通信系統和MIMO的信道容量，分別選擇了1×1、3×1、5×1、1×3、1×5、3×3、5×5這七種收發天線構成方案。圖8和圖9分別為所述系統的各態歷經容量和中斷容量累積分布函數的綜合比較仿真結果，仿真方法采用蒙特卡羅仿真法。假設信道系數服從瑞利分布，信噪比取30 dB，蒙特卡羅仿真的迭代次數為10 000。

圖8 SISO、SIMO、MISO、MIMO系統的各態歷經容量的綜合比較

圖9 SISO、SIMO、MISO、MIMO系統的中斷容量累積分布函數的綜合比較

通過觀察收發天線數目為1×3和1×5的仿真曲線，可以總結出多個接收天線對信道容量造成的影響。接收端使用多個接收天線使信道獲得了分集增益，這些增益降低了衰落的不利影響，并增大了接收端獲得的信噪比(SNR)。因此SIMO系統的各態歷經容量和中斷容量相比SISO系統都獲得了不小的提升。然而由于信噪比與信道容量成對數關系，導致分集增益產生的作用很快趨于飽和，信道容量提升的幅度也就十分有限。從兩張仿真圖中也可以看出，當接收天線從3個到5個時，信道容量并沒有增大很多。

同理，通過觀察收發天線數目為3×1和5×1的仿真曲線，可以總結出多個發射天線對信道容量造成的影響。當發射端無法獲取信道狀態信息時，就無法在多個發射天線中采用波束形成技術和自適應分配發射功率。并且發射的總功率還被平均分配到了各個發射天線上，導致信道中基本沒有分集增益。這些因素使得MISO系統的中斷容量得到提升，但各態歷經容量卻沒有提升太多。從兩張仿真圖中也可以看出，3×1和5×1的各態歷經容量曲線幾乎是重合的。

通過觀察收發天線數目為3×3和5×5的仿真曲線，可以發現MIMO系統在改善信道的各態歷經容量和中斷容量方面具有明顯的優勢，兩張仿真圖中曲線的數據遠遠超過其他曲線。這是因為MIMO系統結合并放大了SIMO系統和MISO系統各自的優點，從而優化了信道容量所致。實際上，當收發天線數目為nT=nR時，信道容量可以近似地看成和nT成正比，即

C≈nTlb(1+ρ)，

(31)

所以在理論上來說，只要收發天線的數量足夠多，信道容量就可以趨近于無窮大。實際上這是不可能的，因為信道容量會受到物理信道自身的限制。

4 結論

MIMO系統突破了傳統單天線系統(SISO)的瓶頸，并且信道容量相比一般的分系統(SIMO和MISO)有了明顯的改善。通過仿真分析發現，在不考慮信道相關衰落特性的情況下，信道系數無論固定還是隨機變化，信道容量受到收發天線數量和信噪比的共同影響。其中同一收發天線中，信道容量隨信噪比的增大而增大；當收發天線數量增加時，信道容量也會增加，并且收發天線越多，信道容量隨信噪比增大的幅度也會越大。因此，增大收發天線的數量，可以明顯改善MIMO系統的信道容量。