嚴格對角占優張量的子直和

何建鋒

(楚雄師范學院數學與統計學院， 楚雄 675000)

矩陣作為代數學中的一個基本內容，已在科學和工程的各個方面得到廣泛應用. 隨著大數據分析的發展，人們對張量的研究日益增加. 目前，有關張量的研究成果已較為豐富[1-5]. 此處所提的張量也可以稱作超矩陣，相比于矩陣元素有2個下標，張量元素的下標個數可以大于2個. 鑒于矩陣與張量之間的聯系，許多矩陣理論中的內容已被推廣到張量上進行研究，如嚴格對角占優矩陣[6]、特征值[1]、正定性[1]和Perron-Frobenius定理[7]等.

方陣的子直和是矩陣和的一種推廣，FALLAT 和 JOHNSON[8]給出了方陣子直和的定義，并對其性質進行研究. 方陣子直和在矩陣的完備化[9]、區域分解方法中的重疊子域[10]等問題中均有涉及. 目前關于方陣子直和的研究已有許多結果[8,11-17].

本文利用矩陣與張量之間的維數關系，定義了張量子直和與S-嚴格對角占優型張量，證明了嚴格對角占優張量的k-子直和是嚴格對角占優張量，并給出了張量的子直和為S-嚴格對角占優型張量的一個充分條件.

1 張量的子直和

對于一個正整數n(≥2)，如果ai1i2…im(ij=1,2,…,n;j=1,2,…,m)，則=(ai1i2…im)稱為一個m階n維實張量，記為[m,n].

下面先給出幾個定義.

定義1[8]設方陣A和B的階分別為n1和n2，k為整數且滿足1≤k≤min{n1，n2}. 如果

其中A22和B11均為k階方陣，那么

稱為A和B的k-子直和，記為C=A⊕kB.

定義2[11]設矩陣A=(aij)n×n，n≥2，S是集合[n]的一個非空子集，如果以下2個條件成立：

則稱A是S-嚴格對角占優矩陣，簡記為S-SDD矩陣.

定義3[18]設張量=(ai1i2…im)[m,n]，如果對于所有的i[n]，有

由定義1和定義2，利用矩陣與張量之間的聯系，可定義張量子直和與S-SDD型張量：

定義4設張量=(ai1i2…im)[m,n1]，=(bi1i2…im)[m,n2]，n1,n2≥2，n=n1+n2-k，k為整數且1≤k≤min(n1,n2)，t=m-k，令

ci1i2…im=

其中，S1={1,2,…,n1-k}，S2={n1-k+1,…,n1}，S3={n1+1,…,n}，則張量=(ci1i2…im)[m,n]稱為與的k-子直和，記為=⊕k.

定義5設張量=(ai1i2…im)[m,n]，n≥2，S是集合[n]的一個非空子集，如果以下2個條件成立：

2 SDD張量和S-SDD型張量的子直和

本節證明2個SDD張量的子直和仍然是SDD張量，以及1個SDD張量與1個S-SDD型張量的子直和是S-SDD型張量.

定理1設張量=(ai1i2…im)[m,n1]，=(bi1i2…im)[m,n2]都是SDD張量，k為整數，且1≤k≤min(n1,n2)，n1,n2≥2，n=n1+n2-k. 如果aii…ibjj…j>0，iS2，j[k]，則與的k-子直和=⊕k是SDD張量.

證明分3種情形證明.

情形1. 當i1S1時，有

則

情形2. 當i1S2時，因為和是SDD 張量，所以

(1)

bi1-t,i1-t,…,i1-t.

(2)

根據定義4，有

ci1i1…i1=ai1i1…i1+bi1-t,i1-t,…,i1-t.

(3)

由式(1)～(3)，可知

情形3. 當i1S3時，有

則

綜上所述，當i1S1∪S2∪S3時，有

定理1表明2個SDD張量的子直和仍然是SDD張量，但是，2個S-SDD型張量的子直和不一定是S-SDD型張量.

例1張量=(aijk)[3,4]，其中

令S={1,2}，則張量是S-SDD型張量. 但是 2-子直和=⊕2不是S-SDD型張量，此時定義5中的條件(ii)不成立，因為，當i=1，j=5時，有

下面給出2個張量的子直和為S-SDD型張量的一個條件.

定理2設張量=(ai1i2…im)[m,n1]是S-SDD型張量，張量=(bi1i2…im)[m,n2]是SDD張量，S是S1的一個非空子集，n1,n2≥2，k為整數且1≤k≤min(m,n)，集合S1、S2、S3與定義4中的相同. 如果aii…ibjj…j>0，iS2，j[k]，則k-子直和=⊕k是S-SDD型張量.

證明先證明S=S1時的情形. 要證明張量是S-SDD型張量，需證明以下2個條件成立：

當S=S1時，S在[n1+n2-k]中的補集為S2∪S3.

從而條件(i)成立.

(2)下面分2種情形證明條件(ii)成立.

①當jS2時，由iS=S1，有

且|bi…i|>ri() (i[n2]). 從而

(|bj-t,…,j-t|-rj-t())×

由此可知當jS2時，條件(ii)成立.

②當jS3時，由iS=S1，有()=()，從而

綜上所述，當S=S1時，結論成立.

當|S|<|S1|時，證明過程類似. 由此可知，是S-SDD型張量.