向量空間理論的公理化研究

[摘 要]公理化方法是根據盡可能少的概念和彼此獨立的命題，通過嚴格的邏輯推理得到其他命題及結論，最終實現整個理論系統的構建.公理化方法最具代表性的著作是歐幾里得的《幾何原本》，從實質性公理化、形式公理化方法到現代形式公理化方法理論體系的建立和完善，許多數學家終生致力于探討新系統構建的一般性和統一性，而向量空間理論體系的建立與發展正是公理化研究的典型縮影.其中，在現代向量理論體系的建立中，四元數的研究是重要推動因素.皮亞諾、外爾、達布、舒馬克、維納等人在向量公理化的道路上提供了完善的理論支撐，做出了關鍵性的貢獻.

[關鍵詞]向量空間;公理化;線性系統;賦范向量空

[中圖分類號] O1-0;O183.1[文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2021）08-0072-04

公理化是指根據盡可能精簡的概念和盡可能獨立的命題，采用邏輯推導得到其他相關命題，最終建立起整個系統的過程.在向量理論被提出和發展的過程中，許多數學家不斷深化向量理論在數學和物理學領域的應用，并在向量理論的基礎上研究、建立向量空間理論，探索向量空間理論的公理化.

古埃及和古巴比倫是文明的發源地，在數學的發展進程中起到了重要作用.古希臘哲學家、科學家泰勒斯（Θαλ??，Thalês，公元前624年-公元前547年），他收集、整理了關于幾何與計算的豐富資料后，將實際生產、生活中的數學經驗進行總結，上升為理論，這是數學史上的飛躍.泰勒斯對數學發展的杰出貢獻是開創性地提出了命題證明的思想.只有論證、推理，才能確保命題的正確性，才能使數學具有理論上的嚴密性和應用上的普適性.泰勒斯的積極倡導，為畢達哥拉斯創立理性的數學奠定了基礎.

在探索演繹證明的道路上，畢達哥拉斯學派的希波克拉茨（Hippocrates，約公元前 470年-430年）做出了重要工作，他所撰寫的《幾何綱要》開創了希臘公理化論著的先河.希波克拉茨由一個命題出發，通過邏輯推導，得出另一個命題.在證明過程中強調了邏輯性、嚴謹性與規范性.柏拉圖的學生、著名數學家歐多克斯（Eudoxus，約公元前408年-前355年）處理不可公度比時，明確建立了以公理為依據的演繹法.

在前人研究的基礎上，先哲亞里士多德（Aristotle，公元前384年-前322年）透過現象看本質，將研究對象進行抽象化，不再局限于幾何，而是將真正的重點放在邏輯推導上.亞里士多德提出邏輯學理論，撰寫了《分析篇》，在歷史上第一次對公理化方法進行了系統論述.

歐幾里得（Euclid，約公元前330年-前275）更是集大成者，在亞里斯多德、希波克拉茨、歐多克斯等人的研究基礎上，以公理化方法為工具，撰寫了史學巨著《幾何原本》.以5條公理、5條公設為前提，提出關于點、線、面23個定義，在此基礎上推導出460余條結論，形成嚴密的邏輯演繹體系.《幾何原本》的誕生，標志著實質性公理化方法的創立， 是數學發展的不朽豐碑.

公理化方法自亞里士多德的《幾何原本》興起，在歐洲文藝復興時期迅速發展.十八、十九世紀，學術界對第五公設進行了廣泛的探討，做出重要工作的有意大利數學家薩開利（G.Saccheri，1667-1733）、俄國數學家羅巴切夫期基（H.N.JIoqaheBCKNN，1792-1856）等人.其中，羅巴切夫期基的重大學術成果《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》舉世聞名.在實質性公理化發展的進程中，非歐幾何、黎曼幾何、微分幾何粉墨登場、大放異彩.非歐幾何的建立標志著實質公理學向形式公理學過渡，表明人們的認識已從直觀空間上升到抽象空間.

希爾伯特（Hilbert David，1862-1943）在此基礎上，提出了希爾伯特公理體系，首次提出了一個簡明、完整、邏輯嚴謹的形式化，從此現代公理法思想進入了新階段.范疇論的奠基人、同調代數的創立者塞繆爾 · 艾倫伯格（Samuel Eilenberg，1913-1998）是杰出的形式主義者，繼承了希爾伯特、艾米·諾特（Emmy Noether，1882-1935）等人的理論研究，支持公理化統一論.許多數學家們聚焦于探討新系統構建的一般性和統一性，向量空間理論系統也順應了這一潮流.

向量空間是《高等代數》最為基本和重要的概念.向量空間的公理化始于格拉斯曼的《擴張論》，盡管格拉斯曼的著作在當時沒能產生巨大影響，他的論述太過艱深導致其他科學家望而卻步，使得從格拉斯曼發源的向量思想未能真正的大范圍被研究、完善和應用.格拉斯曼給出一種線性結構，用公理化方法介紹了研究對象的基本性質，探討了進行加、減、數乘和數除運算這四種運算定律.雖然現代向量理論與格拉斯曼系統是相互獨立的，格拉斯曼系統所描述的概念與現代向量空間理論有相當大的區別，但是對現代向量空間公理化研究的起步而言，格拉斯曼的工作是具有前瞻性和啟發性的.

一、皮亞諾的線性系統研究

在格拉斯曼的工作基礎上，意大利數學家皮亞諾（G.Peano，1858-1932）于1888年出版了《幾何演算———基于格拉斯曼的<擴張論>》.這部書主要對格拉斯曼的《擴張論》進行了評述，而在文章的末尾，作為總結部分，皮亞諾給出了蘊含他自己獨立思想的、并被他稱為“線性系統”的第一個公理化定義.

皮亞諾所給出的公理化系統定義如下：

設存在這樣一個系統，該系統滿足以下條件：

1.系統中兩個元素相等，記作[a=b];

2.系統中兩個元素相加，記作[a+b]，[a+b]也在這個系統之中，并且滿足：

[（a=b）<（a+c=b+c），a+b=b+a，a+（b+c）=（a+b）+c];

3.系統中存在兩個元素a和b，設m和n為正整數，有：

[（a=b）<（ma=mb）;m（a+b）=ma+mb;（m+n）a=ma+na;m（na）=（mn）a;1a=a.]其中元素ma表示正整數m和元素a的積;

4.系統中存在一個元素0，使得對任意系統中的元素a，總有0a=0（即元素0和元素a相乘，乘積總為0）.另外，[a-b]可以表示成[a+（-b）]，[a+0=a，a-a=0].

可以看到，皮亞諾對向量空間所做的公理化表述已經很接近現代意義下的向量公理化.雖然和格拉斯曼系統有所相似，但更加簡潔實用.從數學史上看，皮亞諾是第一個對線性系統做出公理化定義的數學家，他的研究對線性代數的發展意義重大.

1898年，皮亞諾將自己關于向量系統的公理化進一步完善，提出了第二個線性系統.他在幾何概念的基礎上陳述了十一個公理，運用反向思維，準備使用向量方法來讓幾何公理化.在他的公理中，前三個是在描述兩點間“等差”的概念，第四個說明了交換律的概念.從第五個開始涉及向量：5.若a是一個點，u是一個向量，則存在一個點b使[b-a=u];6.若a是一個正整數，u是一個向量，如果au=0，則u=0;7.若a是一個正整數，u是一個向量，則存在一個向量v使av=u;8.把向量u和v的內積記作u|v，則u|v是一個實數;9.內積滿足u|v=v|u;10.內積滿足（u+v）|w=u|w+v|w;11.內積u|u是一個正實數（u[≠]0）.

皮亞諾的第二次公理化顯然是對他第一次公理化的完善和補充，他的第二次公理化已經相當接近現代意義下的向量公理化系統，但可惜的是他的理念在當時并沒有得到廣泛傳播.當時的數學家中只有羅素在他的著作《數學原理》中提到了皮亞諾的線性系統，并用向量的公理化定義來解釋歐幾里得空間，他的研究從某種意義上來講可以看作是對皮亞諾向量公理的詮釋.

二、達布、舒馬克與漢默爾的公理化工作

達布（Gaston Darboux，1842-1917）是法國著名數學家.他在數學分析（積分、偏微分方程）以及微分幾何（曲線和曲面的研究）領域都有重要貢獻.在1875年，他在論文《關于靜力的合成》中研究了向量公理化的另外一種方法.和皮亞諾的理念完全不同，他分析了力學中力的合成（即平行四邊形法則）的各種證明，運用幾何方法處理問題，并設立了自己的一套系統：

給定以O為起點的n條有向線段，有如下四條公理：1.若任意改變分力的順序，合力不變;2.若各個分力繞點O任意旋轉，合力不變;3.力的合成法則同樣適用于分力的代數加法運算;4.合力的方向、大小可作為分力的連續函數.

到了1903年，達布的四條公理被德國人舒馬克（Rudolf Schimmack，1881-1912）和漢默爾（Georg? Hamel，1877-1954）引用.

舒馬克在1903年和1908年分別發表了兩篇同名的文章《關于向量加法的公理化建立》.文中首先定義了向量，然后分析了達布的公理化系統并進行討論，最后提出自己的觀點與結論，并將達布的4條公理拓展到7條.

比較達布和舒馬克的公理的不同之處，可以發現舒馬克把達布的第一條定理分成了三條來解釋，豐富了它的內涵，三條定理分別解釋了向量加法的唯一性、向量的交換性和向量的可結合性.另外，舒馬克用兩條公理來詮釋達布的第三條公理.

漢默爾的主要工作是他證明了達布的第四條公理.1901年到1904年，漢默爾在他的導師希爾伯特影響下，發表了兩篇關于證明達布第四公理的文獻，并指出了達布第四定理的必要性和合理性.后一篇論文《所有數的基和代數函數方程[f（x+y）=f（x）+f（y）]的非連續解》在前一篇的基礎上完成，并且更加翔實.漢默爾不僅針對代數函數方程進行了非連續解的探討，同時還給出了函數方程的所有解，并予以嚴格證明.

達布、舒馬克和漢默爾的工作使向量公理化又往前邁了一大步.

三、外爾和有限維向量空間

盡管皮亞諾、達布、舒馬克和漢默爾等人在向量的公理化方面做了很多努力，取得了一些成果，但是向量空間公理化的重要性并沒有得到共識，以至于在接下來的一段時間里進展緩慢.直到德國數學家外爾（Hermann Weyl，1885-1955）的出現，終于打破僵局.他研究了實數域上的有限維向量，將向量與空間聯系在一起.

外爾在20世紀上半葉是影響最深遠、研究最廣泛的數學家之一.他在分析學、拓撲學、超復數、廣義微分幾何學等方面都有非常重要的成就.1918年，外爾的著作《空間，時間，物質》出版.書中他以廣義相對論為基礎，采用新思維使向量空間公理化，將向量看作空間中的位移，把向量和空間中的點聯系到了一起.

進而外爾把基向量看作一個n元組，利用坐標來處理向量.他使用“張量”代替“向量”，從n維幾何概念開始，逐步討論了度量幾何、歐幾里得空間中的張量、非歐幾何的注釋、張量代數和張量分析等內容.

從上述分析不難發現，外爾所做的工作實際上是現代意義下有限維向量空間公理化.

四、賦范向量空間和向量理論的完善

在外爾之后，哈恩（Hans Hahn，1879-1934）、維納（Norbert Wiener，1894-1964）和巴拿赫（Stefan Banach，1892-1945）等人都各自給出了向量空間公理化體系，他們完善了賦范向量空間，并且對泛函分析和拓撲學有自己獨到的見解.

為了統一對奇異積分進行處理，哈恩在1922年發表了論文《連續線性算子》.文中他將賦范向量空間稱之為“線性空間”，定義了指標的完整性，并做了相應的泛函分析.之后，哈恩又在“線性空間”中提出“范數”的概念，使線性空間成了可度量的空間.哈恩一直致力于研究不同的賦范向量空間，討論這些函數空間上的線性變換、線性子空間、收斂序列和算子等概念.

哈恩的工作傾向于現實分析，他對向量空間的公理化并沒有投入太多精力;外爾關心的則是射影幾何和數學物理方面;而維納則更關注泛函分析，他的研究涉及了大量的拓撲結構，面向抽象空間.在1920年的國際數學家大會上，維納首次介紹了他的空間系統，他所給出的公理化定義其實與現代意義下的賦范空間非常接近，只是沒有提到其完備性.他的“向量系統”是包括點集K和向量集[σ]的系統，在其中他定義了向量加法[⊕]、純量乘法[?]以及模和范數[]的概念.

巴拿赫所做的研究工作在當時所產生的廣泛影響是外爾、維納等人無法匹敵的.他在嚴格抽象的公理框架下建立了一個完備的賦范向量空間——巴拿赫空間.確切地說，巴拿赫空間具有完備的范數，它包括“實巴拿赫空間”和“復巴拿赫空間”，分別將向量空間建立在實數域和復數域上.此外巴拿赫空間將外爾的有限維空間擴展到了無限維函數空間，深入的研究了空間拓撲.

1922年巴拿赫發表了一篇在1920年完成的博士論文，即《關于抽象集合上的運算及其在積分方程上的應用》，文中介紹了巴拿赫空間的公理化方法.另外，巴拿赫還在他1932年的著作《線性算子論》中總結了他關于賦范向量空間的所有成果，書中提到的關于泛函分析的拓撲定理、共鳴定理和閉圖像定理等在今天也被廣泛采用，引導后世的數學家們研究基于向量空間和泛函分析的各種理論，具有很大的參考價值.

五、現代意義下的向量空間公理化定義

向量發展到21世紀，經過多次完善，形成了現代意義下的向量空間.

設V是數域P上一個n維向量的非空集合，在V中定義了加法，即對于任意[α，β∈V]，存在[γ=α+β，γ∈V];在P與V之間還定義了數量乘法，即對于任意[k∈P，α∈V]，存在[δ=kα，δ∈V]與之對應，[δ]稱為k與[α]的數量積.若加法與數量乘法這兩種代數運算滿足8條公理，就稱V是數域P上的向量空間.

當然，向量空間的公理定義不止這一種表述方法，它還有其他的一些同義的可以相互轉換的等價公理.這一現象存在的特殊性主要在于向量空間的定義并非完全獨立，若元素的加法交換律（公理1）成立，則零元素的存在性（公理3）和負元素的存在性（公理4）等價.但若加法交換律不成立，兩者不等價.這種不同也造成了加法交換律，即通常意義下的公理1獨立和不獨立的兩種情況.此外，公理3與4可以用其他命題等價替換.

基和維數將向量空間分為有限維和無限維向量空間，而解析幾何的需求使科學家們開始關心向量的度量性質，從而衍生出內積空間和賦范向量空間.

六、小結

不管基于向量的抽象空間公理定義如何拓展，向量空間的中心思想和內涵是統一的.向量空間和基于向量空間的幾類空間構成了整個向量理論和線性代數核心理論的基礎支架，一代代數學家經過漫長的研究最后形成了向量相關理論簡潔、濃縮、實用的公理定義.向量空間的發展過程讓我們窺見數學之美麗深邃，而科學文化領域其他概念的發展大抵如此.

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[責任編輯：林志恒]