連續小推力非開普勒懸浮軌道研究綜述

潘曉，徐明

1. 上海航天控制技術研究所，上海 201109 2. 上海市空間智能控制技術重點實驗室，上海 201109 3. 北京航空航天大學 宇航學院，北京 100191

1 引言

現代航天學與火箭理論奠基人齊奧爾科夫斯基有一句名言：“地球是人類的搖籃，但是人類不會永遠被限制在搖籃里”。自1957年蘇聯發射第1顆人造衛星以來，人類已經開展了近地、月球以及太陽系內各行星的探測任務，宇宙航行與探索是人類在其發展中合乎規劃且不可阻擋的歷史進程。隨著深空探測任務日益復雜化，傳統的化學推進方式將無法勝任某些任務，以連續小推力為代表的一些新型推進方式[1]應運而生。在新型推進系統提供的外部動力作用下，航天器會偏離自然軌跡，形成多種類型的非開普勒軌道(NKO)[2]，具體包括連續推力軌道、多體問題軌道、太陽帆軌道以及繩系衛星軌道。上述軌道分類之間彼此也存在交叉，不是嚴格的并列關系。

本文所探討的連續小推力懸浮軌道是非開普勒軌道中討論較多的一種，其受力特征為除中心天體引力之外，還受到連續小推力作用；軌道特征是軌道平面不通過中心天體，而是懸浮在中心引力源的上空或下方。根據引力源的不同，懸浮軌道又可進一步分為日心懸浮軌道[3]、地心懸浮軌道[4]及其他行星懸浮軌道[5-7]。日心懸浮軌道，顧名思義位于太陽上方區域，憑借此特殊的空間位置，成為太陽物理研究、空間天氣監測、深空通信中繼等深空探測任務[8]的理想平臺。地心懸浮軌道可實現航天器長期駐留地球極區上空，有效彌補太陽同步軌道在高緯度地區觀測與通信導航任務中的不足，助力北極航運路線拓展，也利于探索極地蘊藏的油氣資源。

2 連續小推力技術發展史

連續小推力是相對常規化學推進器所能產生的脈沖式推力而言，不同于脈沖機動對軌道的松散控制，連續小推力推進可以實施全過程、高精度的軌控?；瘜W燃料推進與連續小推力推進方式的優缺點如表1所示。

表1 不同推進方式的優缺點

根據工作原理的不同，連續小推力可以劃分為4類：電推進、太陽帆推進、束能推進和微推進[9-10]。其中電推進[11]和太陽帆推進[8]是目前比較成熟和應用最多的連續小推力推進系統。

2.1 電推進技術

電推進器的工程研究始于20世紀50年代末[12]。1962年，靜態等離子體推力器(SPT)[13]被發明，它屬于霍爾推進器的一種，其中以SPT-70和SPT-100在衛星中的應用最為廣泛。這種推力器由于結構簡單、可靠性高以及比沖大的優點在航天器中大受歡迎，也成為迄今在空間用得最多的電推進器之一。

根據功率的不同，電推進可粗略的分為功率小于1kW的小功率電推進，廣泛應用于軍事和民用領域中的微小衛星[14-19]；功率在1～10 kW的中等功率電推進，應用于地球靜止軌道(GEO)衛星位置保持、高軌遙感衛星、高軌通信衛星任務以及中小型深空探測器主推進任務等，并逐步發展成為國際上主要GEO衛星平臺的標準配置[11,20]；以及功率大于10 kW的大功率電推進，可實現復雜空間操作，未來有望應用于國際空間站任務[21-24]。

電推進系統在航天任務中比較典型應用的有美國的“深空一號”探測航天器(Deep Space-1)[25]、“黎明”號(Dawn)[26]，日本的“隼鳥號”(Hayabusa)小行星探測器[27]，歐空局的“智能一號”月球探測器(Smart-1)[28]以及地球重力場和海洋環流探測衛星(GOCE)[29]。Deep Space-1于1998年發射，是電推進首次作為主推進系統在深空探測中的應用。Hayabusa于2003年5月9日發射，在兩年多的飛行期間，一直使用氙離子發動機航行，接近小行星時該離子發動機已經累計工作了25 800 h，產生了1400m/s的速度增量。Dawn于2007年9月27日發射，配備了先進的等離子推進系統，旨在訪問小行星帶最大的兩顆小行星：Vesta和Ceres。GOCE于2009年3月17日發射，啟用了先進的氙離子推進器系統，是第一顆使用電離子推進器持續抵消大氣阻力的衛星。電離子推進器系統由兩個冗余的推進器單元組成，可以產生1～20 mN穩定的平滑推力。GOCE超靈敏重力測量的成功取決于對衛星軌道和速度的細微控制，常規噴氣發動機不能抵償在GOCE軌道高度由氣壓產生的微小阻力，但電離子推進器系統可以。

中國的電推進技術最早始于1967年，但隨后由于各種原因，研究斷斷續續，直到2014年才開始有了重大進展[21]。目前中國中等功率霍爾電推進技術已處于成熟階段，正式投入工程應用。其中，40 mN霍爾推力器已經通過空間飛行驗證并在國際上首次完成2 500 h的地面1∶1長壽命試驗驗證[30]；截至2016年7月，80 mN霍爾推力器地面1∶1長壽命試驗已經超過8 000 h；為其配套的發射電流2.5 A的空心陰極，成功通過28 000 h/15 000次地面長壽命試驗驗證[30]，已具備在軌可靠穩定運行15年以上的能力，達到國際先進水平；2016年12月，北京控制工程研究所研制的“磁聚焦霍爾電推進系統”完成了全部在軌飛行驗證工作，這是世界上第一套完成在軌飛行驗證的磁聚焦霍爾電推進系統。在大功率霍爾電推進技術研究方面，針對未來載人空間任務動力需求，上?？臻g推進研究所通過國際合作，完成了10 kW級大功率霍爾推力器的研制，測試推力達到511.5 mN，比沖2 625 s，效率為63.6%，并通過500 h有限壽命試驗預估，預估壽命超過10 000 h[30]。2020年1月，中國第一款20 kW大功率霍爾推力器于成功完成點火試驗，點火時間累計達8 h，點火次數超過30次，總計在軌點火時間長達50 h。在試驗過程中，這款霍爾推力器點火可靠，運行平穩，工作參數穩定，實測推力1 N，比沖3 068 s，效率大于70%，性能指標達到國際先進水平，推力從小功率的“毫牛級”成功邁進了“牛級”時代。目前100 kW級的霍爾推力器也已經驗證，霍爾推力器投入實用指日可待。

2.2 太陽帆推進技術

太陽帆是一種利用太陽光子與大面質比薄膜帆面的交互作用，反射光壓產生推動力實現加速航行的新型航天器[31]。其優點包括質量小、收展比大、發射成本低、功耗低、無需燃料、能獲得持續小推力和航程長等。雖然太陽光壓力的量級較小，僅是毫牛量級，但連續的無能耗的光壓加速使其非常適用于太陽極地探測、小行星探測、地磁暴預報、平動點探測、星際航行等航天任務。

20世紀20年代，蘇聯科學家Tsiolkovs首次提出太陽光照射帆面，可產生光壓力以作為航天器的推動力[8]?？上У氖?，他們提出的新概念沒有引起重視。直到1958年，Garwin[32]發表了世界上首篇研究太陽帆的文獻。1960年，NASA發射了“回聲1號”(Echo-1)探測氣球，首次對太陽光產生的光壓力進行了測量[33]。之后美國和俄羅斯對太陽帆項目展開了研究，但或因太陽帆理論基礎還顯不足、太陽帆薄膜材料的性能不確定、研究項目資金缺乏等一系列外在因素計劃擱淺，或因帆面展開試驗失敗而終止任務。直到2010年5月21日，日本宇宙航空研究開發機構(JAXA)成功發射了世界上第一個太陽帆航天器“IKAROS”號，首次完成了太陽帆的在軌展開、在軌光壓加速航行以及加速飛掠金星任務[34]。圖1為IKAROS號航天器在軌實物。帆面展開后規格約為14 m×14 m，厚度僅為7.5 μm，在軌獲得了1.12 mN的光壓力。IKAROS的成功極大地推動了太陽帆在深空探測領域的工程應用，也進一步掀起了太陽帆的研究熱潮。同年11月19日由NASA研制的小型太陽帆“NanoSail-D2”[35]成功發射，并在隨后的階段順利完成地球軌道任務?！癗anoSail-D2”是一種很小的新型納米帆，是一個3單位的立方星，展開面積不到10 m2，總質量大約為4 kg。類似地,“CubeSail”[36]也是一種納米帆，展開面積約為25 m2，但是帆體的總質量卻減小到3 kg，可以投放到軌道半徑為700～800km的太陽同步軌道上。由歐盟出資資助的“DeorbitSail”[37]旨在演示驗證使用低成本超輕太陽帆作為拖曳帆使衛星離軌再入大氣層。在展開前被打包封裝在體積為(11×11×34) cm3的立方體平臺里，展開后通過三軸姿態控制。2015年7月10日，DeorbitSail順利發射并成功入軌，但入軌后衛星發生故障，任務失敗。2015年5月20日，由美國行星協會資助的“LightSail-1”[38]發射成功且太陽帆成功展開，但由于該軌道部署太低，導致LightSail-1無法正常航行，不能驗證其太陽帆作用。2019年6月25日，美國行星協會又主導發射了“LightSail-2”[39]，其軌道高度為距地720 km，大氣阻力較小，帆面總面積為32 m2，質量為5 kg，加速度值可達到IKAROS的10倍左右。LightSail-2發射與展開過程順利，首次成功演示了太陽驅動飛行，抬升軌道，LightSail-2開啟了一個新的行星際航行模式。太陽帆無質損、無限比沖的本質特征使其成為深空探測領域，尤其是非開普勒軌道任務領域的研究焦點。

圖1 太陽帆航天器IKAROS號Fig.1 Solar sail spacecraft “IKAROS”

除了太陽帆以外，2004年，芬蘭研究員Janhunen提出了另一種具有無限比沖的推進方式——電動太陽風帆(E-sail)[40]推進，通過利用與太陽風中高速運動的帶電粒子動量交換產生推力，從而推動航天飛行器完成空間飛行任務。不同于太陽帆，E-sail在結構上并不存在真正的“帆”結構，只是由處于同一平面的帶電金屬細鏈形成概念上的帆面，如圖2所示，而金屬細鏈的在軌展開比起超大面積柔性結構則要易于實現得多。另外，目前萬平米級的高性能太陽帆在距太陽1AU處所能產生的光壓力僅在0.1N量級，而E-sail則能產生接近1N的連續推力，進一步拓展了非開普勒軌道的任務類型。自概念提出以來，多位研究學者對其可能的任務應用進行了深入的探討，包括日心懸浮軌道，太陽系外探測、近地小行星采樣返回、人造拉格朗日點、引力拖車任務等[41-46]。以上研究說明了E-sail作為一種新興推進形式具有良好的應用前景。

圖2 電動太陽風帆概念Fig.2 The concept of electric solar wind sail

3 懸浮軌道動力學與控制

最早在20世紀60年代，Dusek[47]提出了利用推進力平衡引力可實現航天器的懸浮，生成軌道面不包含中心天體的周期軌道，這就是最早時期的懸浮軌道概念。20世紀70年代末，NASA開展了利用太陽帆實現與哈雷彗星交會的任務研究[48]，太陽帆迅速進入航天界的視野。1984年，Forward[49]提出太陽帆在太陽光輻射壓力的作用下可懸浮于黃道平面的上方或下方，圍繞太陽作周期運動，該軌道被稱之為日心懸浮軌道。之后，Forward提出了“Statite”[50]這一新概念航天器，該航天器的運動軌道并不是一種常規的彈道軌道，它靠近地球卻不占用擁擠的地球靜止軌道空間，并通過平衡太陽光壓力和地球引力的作用，可長期觀測地球的南北兩極區域。對Statite的研究也逐漸引起了學者們對地心懸浮軌道的重視。

懸浮軌道作為一種典型的非開普勒軌道，主要是在二體和三體模型下得到的結論。二體模型中存在中心天體，且航天器除受中心天體的引力外，還受到其他的作用力。如研究地心懸浮軌道時，中心天體為地球，對電推進航天器只考慮地球的引力與連續電推力；對于太陽帆航天器，太陽的引力提供太陽帆繞太陽旋轉所需的向心力，在特定旋轉坐標系下，只考慮地球引力與太陽光壓力。在某些特殊情況下，航天器在太陽和地球的引力場中運動，太陽和地球的引力相當，而由于航天器質量遠小于太陽或地球質量，所以僅忽略航天器對太陽和地球的影響，這種問題稱為限制性三體問題。在太陽-地球-普通航天器組成的限制性三體問題當中，存在5個平衡點，稱為經典拉格朗日點；而當航天器為太陽帆時，太陽帆能夠在經典拉格朗日點以外的點平衡，該平衡點稱為人工拉格朗日點。由于太陽帆的特殊性，大大拓展了平動點的存在范圍。在經典以及人工拉格朗日點附近的軌道可統稱為平動點軌道[51]，其中后者與二體模型下懸浮軌道的受力特征與軌道特征相似，因此人工平動點軌道也在本文的討論范疇之內。

3.1 日心懸浮軌道

英國工程院院士McInnes教授在日心懸浮軌道的動力學與控制方面做了大量的理論研究。他在文獻[3]中建立了太陽帆日心懸浮軌道動力學方程，指出了日心圓形周期懸浮軌道本質上是軌道動力學方程的平衡點，且可由軌道半徑、懸浮高度和軌道角速度3個參數描述，繼而可計算出維持該軌道所需的推力加速度大小和方向。文獻[52-53]依據軌道角速度的不同，首次定義了3種特殊的日心懸浮軌道，并分析了不同類型軌道的存在性、穩定性及可控性。具體來說，第一類特殊懸浮軌道的角速度等于同地心距的開普勒軌道角速度；第二類軌道角速度等于地球繞太陽公轉的角速度，這類軌道又被稱為地球同步懸浮軌道，應用最為廣泛；第三類軌道為最優懸浮軌道，在給定懸浮軌道半徑和懸浮高度的情況下，通過選擇角速度，使得太陽帆的光壓因子最小。受太陽光壓力方向限制，太陽帆生成任一條懸浮軌道都應滿足太陽光壓力方向與太陽光夾角小于90°。除了連續推力外，文獻[54]還提出了多脈沖推進下的開普勒弧序列構成的懸浮軌道，以35km的懸浮高度為例，10脈沖推進維持地球懸浮靜止軌道比連續推力維持消耗的燃料更多。McInnes教授還研究了非開普勒懸浮軌道與開普勒軌道的拼接方法；探討了懸浮軌道在空間天氣監測、月球遠端通信和太陽物理觀測中的應用[55]等。Bookless等[56]研究了具有常值加速度的太陽帆懸浮軌道動力學問題，他在二體、三體系統軌道動力學模型下分析太陽輻射加速度對動力系統的影響，發現太陽帆推進模式下系統存在人工拉格朗日平衡點，且適當的軌道控制可以產生周期性懸浮軌道族。McKay等[57]針對一種特殊的非開普勒懸浮軌道發表了非常完整和詳盡的綜述，該軌道的特征為航天器所受的推力加速度大小與重力加速度大小近似相等，在中繼通信、地球監測以及行星科學探索任務中有廣泛的應用。Niccolai等[58]討論了E-sail日心懸浮軌道的保持策略，用以探測太陽極地活動。

國內以清華大學李俊峰教授與寶音賀西教授為代表的許多高校學者也對日心懸浮軌道進行了大量基礎性的研究，完成了不同任務下的懸浮軌道的動力學分析與設計。李俊峰[2]討論了非開普勒軌道與傳統開普勒軌道的異同點，并通過分析非開普勒軌道的特點，從設計的角度出發，給出了非開普勒軌道的定義。寶音賀西[59]研究了在日地系統圓型限制性三體問題上新類型的太陽帆軌道。他指出這種類型的軌道是一種周期性軌道，和人工拉格朗日點有關系，并可以懸浮在黃道面之上，但是這種懸浮軌道穩定性極差，需要進行適當的姿態控制。緊接著，龔勝平[60-64]對太陽帆懸浮軌道的編隊以及控制問題展開了一系列研究。中科院空間科學與應用研究中心錢航[65-66]等主要研究了日心懸浮軌道的保持和穩定控制等問題，他采用特殊形式的系統動力學方程，結合最優控制方法對太陽帆日心懸浮軌道進行主動控制與仿真計算。國內對于E-sail的研究起步較晚，目前主要在研的團隊包括哈爾濱工業大學齊乃明教授團隊、西北工業大學袁建平教授團隊以及北京控制工程研究所。文獻[67]在Janhunen等[68]研究工作的基礎上，建立了E-sail姿軌耦合動力學模型，研究了E-sail日心懸浮軌道保持任務中所涉及到的軌跡優化問題和大角度機動姿態跟蹤控制問題。

此外，上述關于非開普勒懸浮軌道的研究都致力于動力學分析和軌道設計，未關注非開普勒軌道族研究中的另一個關鍵問題：從NKO動力學參數到相應軌道要素之間的解析推導，而其實后者對于支持未來的航天任務探索和軌道理論發展具有非常重要的意義。懸浮軌道受小推力作用懸浮于地球上方，針對于開普勒軌道的經典攝動理論[69]不再適用，這使得非開普勒軌道的動力學特性研究、控制與實際應用大多局限于數值分析，無法解析推演出航天器運動軌道的變化規律。解決該問題的思路之一是類比Kepler軌道，推導懸浮軌道的密切根數(OKE)解析解。Peloni等[70]在強非開普勒軌道和經典軌道元素之間建立了閉合的解析映射關系，但是他們研究的軌道局限于圓形周期懸浮軌道，即軌道半徑和高度都保持恒定。之后潘曉等[71]通過建立“虛擬地球”模型，利用衛星攝動理論[69]，解析推導了一般(周期和擬周期)非開普勒懸浮軌道的密切根數，與數值積分結果的對比表明該解析推導精度良好。懸浮軌道解析解除了應用于任務設計初步階段的快速計算，更重要的意義是提供了一種類似于軌道根數的語言來直觀描述非開普勒懸浮軌道的全局演化規律。

值得注意得是，文獻[72]表明，大多數日心懸浮軌道都是不穩定的，在攝動力或初始擾動下，懸浮高度與軌道半徑均會隨時間衰減，因此必須對日心懸浮軌道任務采取有效的軌道保持策略。在軌道保持方面，將系統非線性動力學方程在標稱軌道附近線性化后再進行分析研究是目前設計懸浮軌道保持控制器的常用思路。McInnes[73]基于標稱軌道附近的線性化動力學方程提出了軌道保持被動控制策略，指出在太陽帆帆面法線方向和太陽光夾角保持不變時懸浮軌道穩定。Bookless等[74]提出了圍繞拉格朗日點的擬周期軌道的狀態控制方法，他發現調節帆面面積，改變太陽帆螺旋角和偏航角可以起到穩定軌道的作用。錢航等[65-66]針對太陽帆日心懸浮軌道線性動力學模型，采用線性二次型調節器方法設計了相應的軌道保持控制律。Waters等[75-76]基于最優控制理論構造出太陽帆平動點及其附近Halo和Lyapunov軌道的維持策略，并分別給出各自的控制器收斂域；同時，Waters基于所構造的控制器實現了不同族周期軌道以及平動點之間的同異宿轉移?；裘饔⒌萚77]采用線性二次型最優控制對E-sail日心懸浮軌道穩定保持進行主動穩定控制，結果表明只需很小的力矩就能實現E-sail姿軌耦合系統的穩定。徐明等[78]注意到非共線型平動點的1維穩定流形、1維不穩定流形和2維中心流形可用于構造保Hamiltonian結構控制器(HSP)，不僅改變平衡點的拓撲性質，還可在非共線平動點附近生成新型穩定的擬周期軌道族。潘曉等[79]建立了僅使用Coriolis加速度和速度反饋的弱HSP控制器，系統的拓撲性質、Hill區域和平衡點均保持不變。通過改變Coriolis加速度因子即可有效改變部分軌道的走向，避免觸發不穩定條件。

3.2 行星懸浮軌道

McInnes和Simmons[4]將日心懸浮軌道族擴展至行星懸浮軌道。該軌道族要求太陽行星連線垂直于太陽帆的軌道平面，同樣，新的閉合軌道族以軌道半徑高度和周期為參數。如果太陽帆的指向和太陽光線均固定，繞行星中心的太陽帆軌道問題可以簡化為Stark問題[80]。與日心懸浮軌道類似，文獻[4]也定義了兩種特殊的太陽帆行星懸浮軌道：地球同步懸浮軌道與最優懸浮軌道。Bookless[81]在文獻[4，52]的動力學基礎上，研究了平衡點附近運動的穩定性與控制策略。根據線性動力系統的特征值，將平衡點分為穩定的橢圓型平衡點(中心)與不穩定的雙曲型平衡點(鞍點)。Bookless定義了平衡點附近軌道的可行域，發現了橢圓平衡點附近的穩定軌道與雙曲平衡點附近的不穩定軌道，后者可到達無窮遠處，可應用于星際轉移任務。之后，徐明[82]進一步對該模型進行了深入的分析和總結：利用Birkhoff正則形式，研究了非共振情況下平衡點附近的運動；給出了判斷太陽帆行星懸浮軌道穩定的充分必要條件及該判據的二階近似形式；證明了臨界破裂的KAM環被Lyapunov軌道的(1,1)-同宿軌道充滿，且該同宿軌道由Lyapunov軌道的穩定和不穩定流形構成。由于太陽帆懸浮軌道受太陽光壓力方向限制，上述文獻中的動力學模型都是考慮常值推力且推力方向恒定(太陽帆法向與太陽光方向平行)?；诖讼拗?，潘曉等[83]考慮連續電推力驅動下的行星懸浮軌道，在動力學模型中引入推力俯仰角，集中研究推力方向對懸浮軌道非線性動力學特性的影響機理，并提出了基于推力俯仰角控制的懸浮軌道拼接與鎮定策略。

在行星懸浮軌道中，還有一種特殊的軌道，稱為極地探測軌道(pole-sitter orbit)。通過將航天器始終布置在極軸上空并與極地保持相對靜止，憑借單星即可實現對極區不間斷、實時觀測，既提高了航天器的時間分辨率，也降低了地面站的跟蹤難度，如圖3所示?！皹O地探測器”(pole-sitter)的概念最早誕生于1980年[84]，Driver首次提出使用電推進(SEP)生成Pole-sitter軌道，并計算了恒定懸浮高度下所需的推力加速度。當懸浮高度為2.5×106km時，維持極地觀測所需的推力加速度最小，若高度繼續下降，推力加速度會急劇增加，無法實現。即使SEP比沖高，極地觀測任務的長期性也對星上電推進系統的質量提出了很高的要求，僅使用SEP很難實現觀測任務。之后1991年，Forward[50]基于太陽帆人工平衡點[85]啟發，提出將太陽帆懸浮于圓型限制性三體問題的經典拉格朗日點之上(或之下)，應用于極地通信的設想。對純太陽帆推進航天器而言，太陽光壓力取之不竭，任務周期理論上可以無限長；但是人工平衡點是不穩定的，在長周期任務中，仍要采用鎮定策略穩定軌道。于是Waters等[86]在“statite”(static satellite)概念基礎上，做了一些拓展工作。他們沒有選擇人工拉格朗日點，而是在L1點上方人工拉格朗日點附近的周期軌道族中，選擇運動角速度與地球同步的周期軌道作為觀測位置。雖然考慮到現實可行的太陽帆面質比，Waters和McInnes提出的方案對極地的覆蓋率不佳，但相對于Forward所提出的靜態觀測情況，在相同的面質比下，觀測性能有很大提升。

圖3 不同坐標系下的極地探測軌道概念[94]Fig.3 Pole-sitter concept in different frames[94]

上述研究揭示了純太陽帆推進航天器在極地觀測任務中的局限性：一是實際工程生產中太陽帆面積有限，導致面質比不大；二是當太陽帆靠近地球極地遠離太陽時，太陽帆推力加速度很小，不足以支撐任務。為解決上述問題，2008年Baig等[87]又在“statite”概念中引入融合太陽光壓推進(SRP)與電動推進的混合型航天器，SEP與SRP推進互補，既可一定程度上降低懸浮高度，也可減少電能消耗，緩解航天器質量壓力，延長任務壽命。之后以Ceriotti和Heiligers為代表的年輕學者深入探討了混合推進航天器實現極地觀測任務的方法思路[88-95]。Ceriotti等[88-90]在圓型限制性三體問題下研究混合推進航天器地球最優極地軌道，通過優化方法可調整太陽光壓輻射加速度以減少軌道維持所需的電推進燃料消耗。需要說明的是，僅僅依靠太陽帆光壓推進是無法實現Pole-sitter軌道的，必然要消耗電推進燃料。此外，Ceriotti還仿真了航天器從地球轉移至極軸上空、南北極軸上空區域轉換以及極地監測軌道的保持控制[94]。Heiligers[93]同樣使用混合推進器設計了赤道平面內與平面外的地心懸浮軌道，該軌道角速度與GEO相同，航天器對地保持靜止。結果表明懸浮于赤道平面上空/下方的地球同步懸浮軌道，相較于赤道平面內軌道，所需的推力加速度更小。

3.3 人工拉格朗日點

圓型限制性三體問題(CR3BP)中只有5個固定的平動點，然而引入太陽帆或者電推進等連續小推力可以得到一系列人工平動點。人工平動點的存在大大擴展了CR3BP中的平動點軌道資源，可以使任務設計更加靈活，選擇更為廣泛。McInnes在文獻[85]中首次提出了太陽帆人工拉格朗日點的概念，完整給出了太陽帆人工平衡點的存在區域與維持平衡所需的太陽帆性能參數，并分析了人工平衡點的線性穩定性。根據文獻[85]中的人工平衡點的定義、約束以及太陽帆面質比的計算公式，圖4給出了太陽帆-日地三體系統人工平衡點處光壓因子分布。文獻[96]還將上述研究拓展到非理想太陽帆的情況，結果表明人工平衡點的可行域對太陽帆的反射率很敏感。Baig等[87]研究了混合推進航天器在CR3BP引力模型中生成的人工平衡點，使用電推與光壓混合推進的模式既可突破太陽帆平衡區域的局限性，也可最大限度減少新增平衡區域的電推消耗。Aliasi等[97]在橢圓型限制性三體模型下，在太陽帆中引入電致變色材料板，通過僅改變太陽帆面質比，從而實現人工L1點的鎮定。類似的問題，Niccolai等[98]利用E-sail航天器維持太陽-地月系CR3BP中L1型人工拉格朗日點的穩定，通過調節E-sail的電網電壓來提供反饋控制。Ishimura等[99]考慮通過繩索連接錨與太陽帆，以給太陽帆增加配重。結構更改后的航天器其人工平衡點位置由錨重和繩長決定，在不改變太陽帆姿態與面質比的情況下，新平衡點較原人工平衡點遠離太陽，更靠近L2點。除了往新型航天器方向拓展，近年來針對人工平衡點的研究也逐漸延伸到小行星上。文獻[100]利用連續推力補償，求解了不規則小行星附近的人工平衡點，以擴大小行星上空懸停飛行任務的可行區域。

圖4 太陽帆-日地三體系統人工平衡點處光壓因子分布Fig.4 The lightness number required by artificial Lagrangian points in solar sail-CR3BP

在人工拉格朗日點附近也存在著周期軌道[101]，其求解方法與halo軌道類似。Baoyin在文獻[102]中研究了橢圓限制性三體模型下的人工平衡點，證明了在歸一化長度隨時間變化的旋轉坐標系中，存在平面人工拉格朗日點。應用攝動法，他還得到了日地連線上人工平衡點附近太陽帆halo軌道的三階解析近似解[103]。Waters在文獻[86]中進一步拓展，研究了任意人工平衡點附近的周期軌道近似解。Simo等[104]探究了太陽帆在地-月限制性三體模型中共線平衡點附近的周期軌道的近似求解方法，該軌道可確保月球背面和地球赤道地區的可視性，并能以新的方式實現月球通信。姚闖等[105]考慮了太陽帆的光學退化與變形，利用HSP控制器，生成非理想太陽帆在人工平衡點附近的有界擬周期軌道。

學者針對人工拉格朗日點以及其附近的有界軌道的潛在應用做了大量的研究。經典的拉格朗日點L1點與地球的距離約為0.01 AU，在該位置上，衛星能提前1 h進行地磁暴預報。為了獲得更早的預報時間，可將航天器置于離地球更遠的點進行觀測。NASA提出將太陽帆置于距離太陽0.974 AU處平衡，該方案的預報時間相比于經典L1處衛星，提前量增加了3倍。此外，人工平衡點由于其出黃道面的優勢，在導航方面也有著重要的應用。文獻[106]提出基于人工拉格朗日點太陽帆的導航衛星自主定軌方案，并進行了實驗仿真。太陽帆提供的實時位置信息能使導航衛星的定軌精度得到提高，但文獻[106]并未設計太陽帆星座構型，且太陽帆是受被動控制穩定在人工拉格朗日點處，其所需的面質比變化范圍比穩定在人工平衡點附近的情況更大。文獻[107-108]利用太陽帆CR3BP系統中的人工拉格朗日點部署服務于地月空間的立體導航星座。由于該任務中月球攝動不可忽略，太陽帆無法在人工拉格朗日點處保持自然靜止狀態。通過構造HSP控制器，可在人工平衡點附近生成有界擬周期軌道，代替人工平衡點作為星座選址，可有效降低保持太陽帆星座構型所需的控制力。文獻[109]概述性地討論了利用人工拉格朗日軌道在極地氣象學、環境遙感、通信和空間氣象應用的可能性。

4 懸浮軌道編隊飛行

航天器編隊飛行[110-111]通過利用多個航天器星間通信、分布式協同工作，可拓展單個航天器無法實現的功能，形成一個功能齊全、規模較大的航天器系統。并且由于多平臺的冗余設計，可通過對故障模塊的補發以及編隊構型的重新設計，避免任務失敗，具備可維護性和高可靠性。目前隨著非開普勒軌道的發展，以及對南北極開發和深空探測的需要，懸浮編隊飛行具有重要的研究和應用價值。另外，小推力懸浮軌道編隊問題與自然構型下的編隊，其動力學模型有諸多相似之處，因此許多針對自然構形編隊的研究方法都可以借鑒，用于探索小推力相對軌道。

在相對運動的描述上，航天器編隊飛行的本質是相對運動控制問題，因此相對運動特性分析是構型設計與控制的前提。目前編隊飛行的運動描述方法可以分為兩大類：一是動力學方法，即以位置、速度作為描述變量，典型的有著名的CW(或HCW)方程和TH方程[112]；二是運動學方法，即以軌道根數作為描述變量[113]，刻畫航天器相對運動狀態。龔勝平在文獻[60]中第一次提出了太陽帆編隊的概念，旨在利用多個小而輕型太陽帆實現大太陽帆的功能，緩解太陽帆技術與任務需求之間的矛盾。他利用軌道動力學理論，研究了日心懸浮軌道[60]、行星懸浮軌道[114]，以及人工拉格朗日點[115]附近太陽帆編隊相對運動的穩定性和控制問題。與傳統編隊的研究方法類似，通過將相對運動在主星懸浮軌道附近線性化，利用特征值分解等方法，分析相對運動的線性穩定性。針對不穩定運動，基于線性二次型和輸入反饋線性化等方法，建立控制器，實現任意參考相對軌道的跟蹤。特別地，太陽帆航天器維持懸浮編隊所需的控制力，可通過調整帆面姿態和面質比來提供，不需要額外的燃料消耗。Biggs和McInnes[116]考慮了太陽帆橢圓形三體限制問題中的編隊，并確定了一個為期一年的周期性軌道族，通過數值連續方法，每個軌道都對應于唯一的太陽帆方向。但是，他們沒有解決懸浮軌道的相對動力學問題。潘曉等[117]研究了電推力懸浮軌道的線性相對運動問題，重點關注了地球同步懸浮軌道編隊，探究了線性相對運動的穩定性、解析解與控制策略，并闡述了懸浮軌道編隊在地球表面成像和中繼通信等對地靜止軌道任務中的應用。利用運動學方法，文獻[62]進一步提出了相對軌道根數的概念，并提出了基于相對軌道根數的相對軌道設計方法。王偉等類比開普勒軌道，定義了非開普勒軌道的軌道根數，通過懸浮軌道根數對懸浮編隊做了大量的研究[118-120]，研究了日心圓形懸浮軌道之間的相對運動并獲得了相對距離范圍的半解析近似結果。之后，他們還將理論和方法推廣到文獻[119]中的橢圓軌道，并在文獻[120]中進一步消除了經典軌道元素的奇異性以避免原方法失效。

由于相對運動難以直接求解，以上大多數研究都是建立在線性動力學模型上或是獲得了近似解。即使這些相對運動是解析性的，但由于動力學的近似，其模型存在對航天器軌道動力學模型精確性過度依賴的問題，無法在長距離和長期任務中保持編隊構型。這在對J2不變相對軌道[121]的研究中，也有相同的問題。為了確保精度問題，眾多學者紛紛尋求數值的方法來研究非線性編隊飛行。Koon等[122]采用Poincaré截面和Routhian變換等技巧分析編隊相對動力學，給出一種J2不變軌道的構造思路：將編隊主從星分別放置于Poincaré截面的不動點及其閉軌，可以將相對構型保持在較長時間內。不過，由Poincaré截面得到的偽圓和偽橢圓軌道具有不同的交點周期和升交點漂移率，因此僅在Poincaré截面上選取編隊的初始條件并不能保證編隊構型的長期穩定。為了克服該方法的缺陷，徐明等[123-125]在該方法的基礎上，系統地研究了J2不變相對軌道的存在性、生成算法及控制維持等問題。他在文獻[125]中研究了從(E,Hz, Δr)到(Td,Ωd)的映射，其中E為軌道的Jacobi能量，Hz為角動量沿極軸的分量，Δr為偽圓軌道與偽橢圓軌道的距離測度，Td為節點周期，Ωd為角度漂移量。通過數值搜索發現，當Δr≠0時，相同的像(Td,Ωd)對應于不唯一的原像(E,Hz)，從而說明了有界相對軌道的存在性。同理，J2不變相對軌道數值編隊的方法可延拓到懸浮編隊[126]上使用，通過Poincaré截面和Routhian變換技巧，建立懸浮軌道五維動力學參數(κ,α,E,Hz, Δr)到(Td,Ωd)的映射(其中κ和α分別為推力加速度的大小和俯仰角)，由于映射是單射而非滿射，很容易找到兩條不同的懸浮軌道構成穩定有界編隊。采用數值方法得到的結果直接滿足有界條件約束而無任何簡化，因此可直接采用所得到的初值初始化相對軌道，得到任意尺寸和極長時間內(或者理論上無限長)的有界相對運動。

5 結論

連續小推力非開普勒懸浮軌道經過30多年的發展已經取得了不錯的理論成果，但目前的研究普遍沒有考慮其他天體攝動，建立的動力學模型與真實天體模型還有差距；且受限于柔性太陽帆的工藝問題與電推技術發展的不足，懸浮軌道在近幾年內還是很難應用于工程實踐。

針對現有研究的不足，還需在已有的基礎上進一步開展懸浮軌道的研究與探索，如考慮地心懸浮軌道的帶諧項和田諧項攝動，求解攝動下的非開普勒懸浮周期軌道；探究在推力器非理想工作情況下關于懸浮軌道的重要結論是否還成立等。非開普勒懸浮軌道理論研究極大豐富了非線性動力學領域的研究內容，擴展了軌道動力學學科的研究范疇，可為航天器軌道設計和任務規劃提供新的思路。隨著小推力技術的發展，非開普勒懸浮軌道還可應用于地球導航增強任務、小行星探測等，為近地與深空探測任務提供新的平臺。